第4讲双曲线的概念及标准方程
【知识梳理】
1.双曲线的定义：
平面内与两定点的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点、叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
2.双曲线的标准方程：
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 焦点 、 、 ，，的关系 期望数学岛
【题型分析】
题型一双曲线的定义
例1.设、是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点的距离等于9，则点P到焦点的距离为____________________
例2.已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为
。
变式训练一
1.点、是两个定点，动点P满足（为非负常数），则动点P的轨迹是（）
A.射线B.直线C.双曲线的一支D.以上三种情况都有可能
2.已知双曲线方程为，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点,
|AB|=m，为另一焦点，则△的周长为（）
A．B.C.D.
3.已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆、都外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
题型二双曲线的标准方程
例3.根据下列条件求双曲线的标准方程
（1），经过点（-5，2），焦点在轴上；
（2）与双曲线有相同的焦点，且经过点（，2）.
例4.已知双曲线上两点、，求双曲线的标准方程
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例5.若方程表示双曲线，则m的取值范围是（）
（A）m>―1（B）m>―2（C）m>―1或m<―2（D）―2
变式训练二
1.已知双曲线C：，，且其右焦点为，则双曲线C的方程为（）
A．B.C.D.
2.已知，则方程表示的曲线是（）
A.焦点在轴上的椭圆B.焦点在轴上的椭圆
C.焦点在轴上的双曲线D.焦点在轴上的双曲线
3.椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是（）
A.B.1或-2C.1或D.1
4.若方程表示双曲线，则实数的取值范围是
题型三双曲线的焦点三角形
例6.已知点P是双曲线上的点，、分别是双曲线的左右焦点，∠，求证：
变式训练三
1.设、为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠，求△的面积。
2.已知双曲线C：，且，焦点为、，点A在C上.若，则=
【经典练习】
1）双曲线上一点P，到点(5,0)的距离是15，则该点到(―5,0)的距离是（）
（A）7（B）23（C）5或25（D）7或23
2）设动点M到A(―5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则点M的轨迹方程是（）
（A）（B）（C）(x≤―3)（D）(x≥3)
3）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3,―4),(,5)，则双曲线的标准方程是（）
（A）（B）（C）（D）
4)若方程表示双曲线，则m的取值范围是（）
（A）m>―1（B）m>―2（C）m>―1或m<―2（D）―2
5)若椭圆与双曲线x2―15y2=15的焦点相同，则m的值为（）
（A）11（B）16（C）9（D）1
6）．若椭圆(m>n>0)和双曲线(a>0,b>0)有相同的焦点F1,F2，点P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为（）
（A）m―a（B）(m―a)（C）m2―a2（D）
7）.与椭圆共焦点，且过点Q（2，1）的双曲线方程式（）
A．B.C.D.
8）.已知双曲线C：的左、右焦点分别是、，P为C右支上的一点，且，则△的面积等于（）
A.24B.36C.48D.96
9）.若点O和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）
A.B.C.D.
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10）.已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为，点P在该双曲线上，线段的中点坐标为
（0，2），则该双曲线的标准方程为（）
A.B.C.D.
11．过定点(3,0)且与圆(x+3)2+y2=16外切的动圆圆心P的轨迹方程是.
12．已知双曲线的焦点为F1,F2，弦AB过F1且在双曲线的一支上，若|AF2|+|BF2|=2|AB|，则|AB|等于.
13.双曲线的一个焦点为，则的值为______________。
14.若双曲线和椭圆的一个交点为M，且F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，则。
15.已知双曲线，P为双曲线上一点，F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，且，则=。
16．代表实数，讨论方程所表示的曲线。
【课后巩固】
1.椭圆与双曲线有相同的焦点，则a等于（）
（A）（B）―1（C）1（D）―1或1
2．双曲线2x2―y2=k的焦距是6，则k的值等于（）
（A）6（B）24（C）±6（D）±
3．若方程表示双曲线，则实数a的取值范围是（）
（A）a<―2或a>3（B）―23（D）―23
4．“ab<0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）
（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件
（C）充要条件（D）不充分不必要条件
5．若双曲线的方程为，则其焦点坐标为（）
（A）(±5,0)（B）(±3,0)（C）(0,±3)（D）(0,±5)
6.设P为双曲线上的一点，、是该双曲线的两个焦点，若，则△的面积为（）
A.B.12C.D.24
7.若双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，且满足，
则△的面积为（）
A.1B.C.2D.4
8.已知双曲线（）满足如下条件：（1）；
（2）过右焦点F的直线的斜率为，交轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且.求双曲线的方程。
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