第6讲抛物线的概念及标准方程
【知识梳理】
一．抛物线的定义：
F和一条定直线l（不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
二.抛物线的四种标准形式：
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
3.抛物线的焦半径公式：抛物线y2=2px（p>0）上一点A(xo,yo)到焦点的距离。
焦点弦长|AB|=x1+x2+p.
4.通径：过（圆锥曲线）焦点垂直于焦点所在的轴的弦叫做（该圆锥曲线的）通径.抛物线的通径长为
【经典题型】
题型一抛物线的定义
例1.点M与点到（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程．
例2.已知点，直线：，点是直线上的动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点所在曲线是（）
圆椭圆双曲线抛物线
变式训练一
1.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，则动点P的轨迹方程是（）
（A）y2=2x（B）y2=4x（C）y2=2x和y=0(x≤0)（D）y2=4x和y=0(x≤0)
2.已知点满足，则M的轨迹为（）
A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线
题型二抛物线的标准方程
例3.抛物线（m≠0）的焦点坐标是（）
(A)（0，）或（0，）；(B)（0，）(C)（0，）或（0，）；(D)（0，）
上。
变式训练二
1.已知抛物线的准线方程是x=—，求它的标准方程.
2.已知抛物线的标准方程是2y2+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程.
题型三两类最值问题
例5.已知抛物线的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点A（3，2），求的最小值，并求出取最小值时P点的坐标。
例6.已知点P是抛物线抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）
A.B.3C.D.
变式训练三
1.已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
2.设P是曲线上的一个动点,记点P到此抛物线准线的距离为M，P到直线的距离为N,则M+N的最小值为
【经典练习】
1.过定点A（3，0）且与轴相切的圆的圆心的轨迹为（）
A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线
2.已知抛物线的焦点在轴上，且其上一点（，-2）到焦点的距离为4，则实数的值是（）
A.4B.-2C.D.
3.焦点在轴上，且经过点P（-1，2）的抛物线的标准方程是（）
A.B.C.D.
4.已知抛物线，则它的焦点坐标是（）
A.（0，）B.（，0）C.（，0）D.（0，）
5.(★★★★)设抛物线C:的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）
A.或B.或
C.或D.或
6.已知双曲线的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（）
A.B.C.D.
7.已知抛物线C:的焦点为F，是C上一点，，则=（）
A.1B.2C.4D.8
8.已知点A(2，0)，抛物线C:的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点Ｍ，与其准线相交于点Ｎ，则：＝（）
A.2:B.1:2C.1:D.1:3
9.O为坐标原点，F为抛物线C:的焦点，P为C上一点，若，则△POF的面积为（）
A.2B.C.D.4
10.已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到轴的距离为（）
A.B.1C.D.
11．抛物线的准线方程是．
12．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，则=．
13.是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则=．
14.AB是抛物线的一条焦点弦，若抛物线方程为，，则AB的中点到直线的距离为
15.如图，AB是过抛物线焦点F的动弦，P为AB的中点，A，B，P在准线上的射影分别是M，N，Q.
则下列四个结论：①②③④，
其中正确的是
16.已知抛物线，点P是抛物线上一动点，点A坐标为（12，6），求点P到点A的距离与到轴距离之和的最小值
17.已知抛物线有一内接△OAB，O为坐标原点，A，B是抛物线上的点，，直线OA的方程为，且，求抛物线的方程。
18.已知抛物线，设A，B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于轴），且，线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6，0），求此抛物线的方程
【巩固训练】
1.过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于（）．
A．B．C．D．
2.抛物线y2=x关于x－y=0对称的抛物线的焦点坐标是（）
（A）(0,)（B）(0,－)（C）(,0)（D）(－,0)
3.抛物线上的点(－5,2)到焦点F(m,0)的距离是6，则抛物线的标准方程是（）
（A）y2=－2x,y2=－18x（B）y2=－4x,y2=6x
（C）y2=－4x（D）y2=－18x,y2=－36x
4.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A，B两点，线段AB的中点的纵坐标为2，则抛物线的准线方程为（）
A.B.C.D.
5.抛物线C：的焦点为F，M是抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为，则P的值为（）
A．2B.4C.6D.8
6．抛物线y2=2px(p>0)的动弦AB的长为a(a≥2p)，则弦AB的中点M到y轴的最短距离是（）
（A）a（B）p（C）(a+p)（D）(a－
7.设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则
8.已知抛物线的准线与直线以及轴围成的三角形的面积为8，则=
9.已知直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点。
（1）若|AF|=4，求点A的坐标；
（2）求线段AB的长的最小值
4
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