第7讲抛物线的几何性质
【知识梳理】
一、抛物线的几何性质
二、直线与抛物线的位置
1.直线与圆锥曲线相交于A（）、B（）两点，且直线的斜率为k，则相交弦长
=
=
2.中点弦问题（点差法）
设直线与抛物线的相交弦为AB，且AB的中点P（）
则直线的斜率
3.焦点弦的性质
抛物线过焦点F的弦AB，A(x1,y1),B(x2,y2),设A、B在准线上的射影分别为M、N
(1)，
（2）
（AB的斜率为k，倾斜角θ）
（3）以AB为直径的圆与准线相切
（4）
(5)
【经典题型】
题型一抛物线的简单几何性质
例1.抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，求抛物线的方程。
例2.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长。
变式训练一
1.若抛物线上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M的横坐标和的值分别为（）
A.9,2B.1,18C.9,2或1,18D.9,18或1,2
2.边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是（）
A.B.C.D.
3.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；
（1）焦点在y轴上；（2）焦点在x轴上；
（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；
（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号）______．
题型二抛物线的焦半径与焦点弦
例3.过抛物线的焦点F的直线的倾斜角，交抛物线与A,B两点，且A点在轴上方，求的取值范围。
例4.已知AB是抛物线的焦点弦，若，则AB的中点的纵坐标为
例5.已知抛物线的焦点弦的两端点为,,则关系式的值一定等于（）
A．4 B．C．D．的焦点弦，且，,若AB所在的直线与轴的交点坐标为
（0，2），则
2.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是，则（）
A．B．C．D．的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（）
A．B.6C.12D.
题型三抛物线的实际应用
例6.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知桥孔上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米。现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可再多装1000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度，则该货船在现有状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
变式训练三
1.一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过横断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB宽恰好是拱高OD的4倍。若拱宽为m，求能使卡车通过的的最小整数值。
题型四直线与抛物线的位置关系
例7.过点（-2，0）的直线和抛物线C:有且只有一个公共点，求直线的斜率。
例8.已知过点A（-4，0）的动直线与抛物线G:相交于B，C两点。当直线的斜率是时，。
（1）求抛物线G的方程；（2）设线段BC的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围。
变式训练四
1.过点作斜率为的直线，交抛物线于，两点，求．
2.如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。
（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程；
（2）若为锐角，作线段AB的垂直平分线交轴于点P，证明为定值，并求此定值。
3.直线l1过点M(-1,0)，与抛物线y2=4x交于P1、P2两点，P是线段P1、P2的中点，直线l2过P和抛物线的焦点F，设直线l1的斜率为k．
（1）将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f(k)；
（2）求出f(k)的定义域及单调区间．
【经典练习】
1.以轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是（）
A.B.C.或D.或
2.过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．
A．条B．条C．条D．条
3.直线与抛物线交于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则=（）
A.1或-2B.2或-1C.2D.3
4.若AB为抛物线y2=2px(p>0)的动弦，且|AB|=a(a>2p)，则AB的中点M到y轴的最近距离是（）
A．a B．p C．a＋p D．a－p
5..对于抛物线C:y2=4x，我们称满足y02<4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l:y0y=2(x+x0)与C（）
（A）恰有一个公共点（B）恰有两个公共点
（C）可能有一个公共点，也可能有两个公共点（D）没有公共点
6.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，则=．
7.抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m后，则水面宽是.
8．若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在轴左侧），则
10.设抛物线的焦点为F，准线为，P为抛物线上一点，PA⊥，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|=
11.已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线与直线交于两点，=，求抛物线的方程抛物线x2=4y的焦点为F，过点(0，1)作直线交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FAB，试求动点R的轨迹方程.y2=2px（p>0）的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．
14.如图,直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.求点Q的坐标；当P为抛物线上位于线段AB下方含A、B的动点时,求ΔOPQ面积的最大值.
【能力拓展】
1.过动点(a,0)，做倾斜角为的直线与抛物线y2=2px和x2=2py都相交，那么a的取值范围是（）
（A）a>－（B）a
3．已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（）
（A）x=p（B）x=3p（C）x=p（D）x=p
4.过抛物线y=4x2的焦点F作动弦AB，M点为线段AB的中点，则M到直线的最短距离为（）
A.B.C.D.
5.已知抛物线y2=x上存在关于直线l:y-1=k(x-1)对称的两点，求实数k的取值范围．
6.已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，抛物线上一点的横坐标为2，且该点到焦点的距离为2。
（1）求抛物线的标准方程；
（2）与圆相切的直线：交抛物线于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足，求的取值范围。
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