第8讲曲线的轨迹方程
【知识梳理】
一、曲线与方程的概念
在直角坐标系中，如果某条曲线C（看作点的集合或是和某种条件的店的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
二、曲线轨迹方程的求法
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（，）表示曲线上任意一点M的坐标。
（2）写出适合条件的点M的集合.
（3）用，表示条件，列出方程.
（4）化方程为最简形式（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
3．相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律的运动，且动点的轨迹为给定或容易求得，则可先将,表示为,的式子，再代入的轨迹方程，然后整理得的轨迹方程，代入法也称相关点法。
4．几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，
然后得出动点的轨迹方程。
5．参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使,之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。期望数学岛
6．交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。
【题型分析】
题型一曲线与方程的概念
例1.下列方程分别表示什么曲线？
（1）（2）
（3）
变式训练一
1.方程表示的曲线是如图所示的（）
2.方程表示的曲线是（）
A.一个点B.一条直线C.一个圆D.两条线段
题型二曲线的交点
例2.曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？
变式练习2：
1.若曲线与有两个公共点，求实数的取值范围．
2.曲线与折线的交点有个。
题型三曲线轨迹方程的求法
例3、已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。
【解析】。
设,则
化简得
当时，方程为，表示一条直线。
当时，方程化为表示一个圆。
评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
与圆的半径都是1，.过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得.试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.
例4.已知△ABC中，A(-5,0)，B(5,0)，其内切圆圆心在直线x=3上，求点C的轨迹方程。
变式训练三（2）
已知A、B、C是直线上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.
例5.如图，从双曲线上一点Q引直线的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。
【解析】x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）
则N（2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①
又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0②
由①②解方程组得,代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0
期望数学岛
变式训练三（3）
已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
求点T的轨迹C的方程
【解析】
T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为（），则
因此①
由得②
将①代入②，可得
综上所述，点T的轨迹C的方程是
解法二：（几何法）设点T的坐标为
当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中，，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是
评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。
【解析】
解得A（k，k2）
∵OA⊥OB，∴OB：由解得B
设△AOB的重心G（x，y），则
消去参数k得重心G的轨迹方程为
解法二：设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则…（1）
∵OA⊥OB∴,即，……(2)
又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为。
变式训练三（4）
如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.
评析：1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是较难掌握的一类问题。
2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。
3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。
4.多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。距离的平方和等于38的点的轨迹方程是（）
2.过椭圆内一点P(1,0)引动弦AB,则AB的中点M的轨迹方程是()
(A)(B)
(C)(D)
3.若,则点的轨迹是()
(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线
4.已知M（－2，0），N（2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P的轨迹是（）
(A)双曲线(B)双曲线左支(C)一条射线(D)双曲线右支
5.椭圆的两个焦点F1、F2，椭圆上任意一点Q，从任意一焦点向的顶点Q的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为（）
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
6.已知动圆P与定圆C：相外切，又与定直线L相切，那么动圆圆心P的轨迹方程为
7.已知三角形ABC中，则点A的轨迹是________________.
8.抛物线的顶点的轨迹方程为_________________________.
9.若等腰三角形底边上的两个顶点是B（2，1），C（0，3），则另一顶点A的轨迹方程是
10.线段AB的两端点分别在两互相垂直的直线上滑动，且，求AB的中点P的轨迹方程。
11.已知动圆过定点A（4，0），且在轴上截得弦MN的长为8，求动圆圆心的轨迹C的方程
12.设圆C：，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程。（用两种以上的方法）
【拓展训练】
1.△ABC的顶点为A（-5，0）、B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（）
A.B.C.D.
2.在坐标平面上运动的抛物线（开口方向可任意）过点，原点到其准线的距离恒等于2，则抛物线的焦点的轨迹方程为
3.如图所示，正三角形ABC的边长为，G为中心，M为三角形ABC内一个动点，，求动点M的轨迹方程
4.如图，已知两点，以及一直线，设长为的线段在直线上移动．求直线和的交点的轨迹方程．
5.△ABC中，已知|BC|=2，Q,H分别为外心，垂心，QH//BC，是否存在两个定点E、F，使得|AE|+|AF|为定值？若存在，指出E、F两点的位置及此定值，若不存在，说明理由
期望数学岛
8
期望数学岛
x
y
N
M
C
B
G
O
A
A
B
C
D
E
P
O
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