第11讲空间向量的数量积与坐标表示
【知识要点梳理】
一、两个向量的夹角
1.定义：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作<,>.
2.<,>范围与性质：（1）范围：.（2）性质：<,>=<,>；<,>
二、空间向量的数量积
1.定义：已知两个非零向量，，则<,>叫做，的数量积，记作，即
<,>
2.空间两个向量数量积的运算律
（1）（2）（3）
三、空间向量的基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得.我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量。期望数学岛
四、空间向量的坐标运算
设，，则
（1）（2）
（3）（4）
（5）；
（6）；
（7）；
（8）<,>==
（9）设，，则
【典型题型】
题型一空间向量的夹角及数量积运算
例1.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于2，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，求下列向量的数量积：
（1）；（2）；
（3）；（4）
变式训练一
1.在空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=，则<,>=（）
A.B.C.D.0
2.以下命题正确的是（）
A.是，不共线的充要条件
B.
C.向量在向量上的射影向量的模为<,>
D.在四面体ABCD中，若，，则
题型二向量法求长度或距离
例2.如图，平行六面体中，AB=1，AD=2，，∠BAD=90°，
，则的长为（）
A.B.
C.D.
变式训练二
1.如图，在三棱锥A-BCD中，底面边长与侧棱长均为，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB=2AM,
,求MN的长
2.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，，将△ACD沿对角线AC折起，使得AB与CD成60°角，求折起后BD的长。
题型三利用向量求两直线所成的角
例3.如图，平面，且△ABC是的等腰直角三角形，平行四边形和平行四边形的对角线都分别互相垂直且相等，若，求异面直线与所成的角的大小。
变式训练三
1.已知空间四边形OABC的各边及对角线长都相等，E，F分别为AB、OC的中点，求DE与BF所成的角的余弦值。
2.如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，且侧棱底面ABC。
（1）设侧棱长为1，求证：
（2）若异面直线与所成的角为，求侧棱长。
题型四空间向量的基本定理
例4.在空间四边形OABC中，其对角线为OB，AC，M是OA的中点，G为△ABC的重心，用基向量，，
表示向量。
变式训练四
1如图，平行六面体中，，，，E为的中点，F为的交点。
（1）用基底表示向量，，；
（2）化简，并在图中标出化简结果。
题型五空间向量运算的坐标表示
例5.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设，
（1）若，且，求；（2）求与夹角的余弦值；
（3）若与互相垂直，求的值；（4）若，求的值。
变式训练五
1.如图所示的空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，
，则（）
A.（0，，-1）B.（，0，1）
C.（0，，1）D.（，0，-1）
2.已知=（，1，），=（，1，），则向量与的夹角度数为（）
A.90°B.60°C.30°D.0°
题型六利用向量证明垂直
例6.如图所示，已知==90°，且AD=BD=CD,.求证：平面ADC
例7.在正方体中，M是棱的中点，O是正方形ABCD的中心，用坐标法证明：。
变式训练六
1.如图所示，直线AB与平面内经过点B的三条直线BC，BD，BE所成的角都相等。求证平面.
2.在棱长为1的正方体中，E，F分别是，BD的中点，G在棱CD上，且，H为的中点，应用空间向量方法解下列问题：
（1）求证：；
（2）求EF与所成角的余弦值；
（3）求FH的长.
【经典练习】
1.已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（）
A.与B.与C.与D.与
2.已知空间四边形ABCD中，，且，，则AB与CD所成的角是（）
A．30°B.45°C.60°D.90°
3.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知，则△ABC是（）
A．直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D。等边三角形
4.在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，则等于（）
A.-2B.2C.D.
5.已知，，是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一个基底的一组向量是（）
A.，，B.，，
C.，，D.，，
6.已知（1，0，1），（-2，-1，1），（3，1，0），则等于（）
A.B.C.D.5
6.若（1，，2），（2，-1，2），且与的夹角的余弦值为，则（）
A.2B.C.或D.或
7.向量（，，1），（2，0，4），（，，2），则下列结论正确的是（）
A.，B.，C.，D.以上都不对
8.已知点A（，1，2）和点B（2，3，4），且，则实数的值是（）
A.或4B.或2C.3或D.6或
9.与向量（2，-1，2）共线，且满足方程：的向量
10.已知，，，，<,>，，则
11.已知，，则。
12.已知，，，若、、共同作用于一个物体，使物体从点移动到点，则合力所做的功是。
13.已知空间四边形OABC中，，且AO=BO=CO，M，N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证:OG⊥BC
14.在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都等于60°，N是CM的中点期望数学岛
（1）以、，为基向量表示向量，并求CM的长。
（2）求异面直线BN与AC所成的角的余弦值。
15.在正方体中，O为AC与BD的交点，G是的中点，求证：面GBD
【拓展提高】
1．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是（）
A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.形状不确定
2.如图所示，三棱柱中，，，设，，
（1）试用向量，，表示，并求；
（2）在平行四边形内是否存在一点O，使得平面？若存在，试确定O点的位置；若不存在，说明理由。
3.如图所示，正四面体V-ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M
（1）求证：AO、BO、CO两两垂直；（2）求〈〉
期望数学岛
期望数学岛期望数学岛
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期望数学岛期望数学岛
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