第12讲立体几何中的向量方法
【知识要点梳理】
一、直线的方向向量和平面的法向量
1.直线的方向向量：是空间中任意一直线，A，B是直线上任意两点，则称为直线的方向向量。显然与共线的任意非零向量也是直线的方向向量。
2.直线垂直于平面，那么直线的方向向量叫做平面的法向量。所有与直线的方向向量共线的非零向量都是平面的法向量
二、空间直线、平面间的平行、垂直关系与空间向量的关系
设直线，的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则
（1），
（2）
（3）
（4），
（5），
（6）
三、空间角
1.线线角：直线与直线所成的角，若两直线的方向向量分别为，，则|〈，〉|=
2.线面角：直线与平面所成的角，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则期望数学岛
|〈，〉|
3.面面角和二面角：两相交平面所成的角，若两平面的法向量分别为和，则
=|〈，〉|
两个半平面所成的角即二面角，也可以用上面的公式解决，需要判定二面角的平面角是锐角还是钝角，以决定=|〈，〉|，还是=〈，〉
期望数学岛
【经典题型】
题型一直线的方向向量和平面的法向量
例1.已知A（1，0，1），B（0，1，1），C（1，1，0），求平面ABC的一个法向量。
变式训练一
1.若点A（，0，），B（，2，）在直线上，则直线的一个方向向量为（）
A.（，，1）B.（，1，）C.（，，1）D.（1，，）
2.已知平面内有一点A（2，-1，2），的一个法向量为=（，，），则下列四个点中在平面内的是（）
A.（1，-1，1）B.（1，3，）C.（1，-3，）D.（-1，3，）
题型二空间向量与平行、垂直关系
例2.如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知，=90°，，，.设点O是AB的中点。
求证：平面
例3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，的中点，
求证：平面EFG//平面
期望数学岛
例4.正三棱柱的所有棱长都为2，D为的中点。求证：平面。
例5.在正方体中，G为的中点，求证：平面平面GBD
期望数学岛
变式训练二
1.若直线的方向向量为（-1，0，-2），平面的法向量为=（4，0，8），则（）
A.B.C.D.与斜交
2.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，E，F，G分别为MB，PB，PC的中点，且AD=PD=2MA，求证：平面平面
题型三空间角的计算
例6.如图Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以AO所在的直线为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角。动点D在斜边AB上，当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值。
例7.在如图所示的几何体中，CDEF为正方形，ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=2BC，∠ABC=60°，
AC⊥FB.
（1）求证：AC⊥平面FBC；
（2）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值。()
例8.如图，正三棱柱中的所有棱长都为2，D为中点，求二面角的余弦值。期望数学岛
变式训练三
1.如图所示的长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，，M是线段的中点。
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的大小
2.如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD//AE，
BD⊥BA，BD=AE=2，O，M分别为CE，AB的中点。
（1）求异面直线AB与CE所成角的大小；(60°)
（2）求直线CD与平面ODM所成角的正弦值。()
题型四探索性问题
例9.如图，放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥B-ACD组成，其中AB⊥BC
它的正视图、俯视图、侧视图的面积分别为，，1.
（1）求直线与平面ACD所成角的正弦值；
（2）在线段上是否存在点P，使⊥平面ACD，若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由。
变式训练四
1.如图，在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，，的中点，点P，Q分别在棱，上移动，且.
（1）当时，证明：直线//平面EFPQ；
（2）是否存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求的值；若不存在，说明理由。
【经典练习】
1.直线的方向向量为（-1，1，1），平面的法向量为（2，，），若直线//平面，则的值为（）
A.-2B.B.D.
2.已知非零向量，及平面，若向量是平面的法向量，则是向量所在直线平行于平面或在平面内的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.将正△ABC沿其所在平面法向量平移到△，连接对应顶点，若AB=，则与所成的角的大小为（）
A.60°B.90°C.105°D.75°
4.已知等腰直角△ABC的一条直角边BC平行于平面，点，斜边AB=2，AB与平面所成的角为30°，则AC与平面所成的角为（）
A.30°B.45°C.60°D.90°
5.直线与轴，轴，轴的正方向所成的角分别为，，，则的一个方向向量为（）
A.（，，）B.（，，）
C.（，，）D.（，，）
6.如图，在四棱柱，中，侧棱⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC==2，AD=CD=，且点M和N分别为和的中点。
（1）求证：MN//平面ABCD
（2）求二面角的正弦值；
（3）设E为棱上的点.若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段的长。
7.已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点.
（1）证明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC与PB所成的角；
（3）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值
8.如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点。
（1）求证：平面；
（2）若⊥平面ABCD，且，求平面和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值。
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
（1）求证：PA//平面EDB
（2）求二面角F-DE-B的正弦值
10.（福建）如图，在长方体中，，E为CD中点。
（1）求证：⊥；
（2）在棱上是否存在一点P，使得DP//平面？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；
（3）若二面角的大小为30°，求AB的长。
【巩固练习】
1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.
（1）求证：PC⊥平面BED；
（2）设二面角A-PB-C的大小为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。
2.如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P为CE的中点。
（1）求证：AB⊥DE
（2）求平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值
（3）在△ABE内是否存在一点Q，使PQ⊥平面CDE？如果存在，求出PQ的长；如果不存在，说明理由。
期望数学岛
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