第13讲空间向量复习测试
一、选择题(本大题共1小题，每小题5分，共0分)
1．的化简结果是（）
A.B.C.D.2
2．中，点E为上底面的中心，若，则，的值分别为（）
A.，B.，
C.，D.，
3.平面的法向量（1，2，-1），平面的法向量（，2，8），若，则的值是（）
A.2B.-2C.D.不存在
4.已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则（）
A.1B.-1C.D.
5.在正方体中，若E为的中点，则与直线CE垂直的直线是（）
A.B.C.D.
6.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列结论成立的是（）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
7.已知平面的一个法向量为（1，-1，0），则轴与平面所成的角的大小为（）
A.B.C.D.
8.已知=（2，-1，3），（-1，4，-2），（7，5，），若，，三个向量共面，则实数（）
A.B.C.D.
9.已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值为（）
A.B.C.D.
10.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，（2，-1，-4），（4，2，0），
（-1，2，-1），则直线PA与平面ABCD所成的角为（）
A.60°B.90°C.105°D.75°
11.在空间直角坐标系中，已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在OP所在的直线上运动，则当取最小值时，点Q的坐标为（）
A.（，，）B.（，，）C.（，，）D.（，，）
12.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）期望数学岛
A.B.
C.D.
二、填空题（每题5分，共20分）
13.平面的法向量（1，1，-1），平面的法向量（，0，1），若平面与平面的法向量成60°角，则。
14.若（1，0，-1）是直线的方向向量，（0，-1，1）是平面的法向量，则直线与平面所成角的大小是。
15.二面角的大小等于120°，A，B是棱上两点，AC，BD分别在半平面，内，AC⊥，
BD⊥，且AB=AC=BD=1，则CD的长等于。
16.在正方体中，给出下列四个命题：①；
②；③向量与向量的夹角为60°；
④正方体的体积为.
其中正确命题的序号是。
三、解答题（共70分）
17(10分).四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB的中点，
求证：MN⊥平面PCD
18.（10分）已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AB-C的余弦值。
期望数学岛
19.（12分）在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且
PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点。
（1）求证：PB⊥DM
（2）求BD与平面ADMN所成的角
期望数学岛
20.（12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N。
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值。
21.（13分）如图，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使.
（1）求证：平面AOD⊥平面ABCO
（2）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值。
22.（13分）如图，在直三棱柱中，底面为正三角形，点M在棱上，AB=4，，平面⊥平面。
（1）求证：M是棱的中点；
（2）求平面与平面ABC所成锐二面角的余弦值。
期望数学岛
期望数学岛
5
期望数学岛期望数学岛
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