第10讲不等式与不等式组
【考点总汇】
一、不等式的基本性质
1.性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向。即如果，那么
。
2.性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向。即如果，，那么
（或）。
3.性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向。即如果，，那么
（或）。
4.性质4：如果，那么。
5.性质5：如果，，那么。
微拨炉：
当不等式的两边乘或除以同一个不为0的数时，要首先判断这个数的符号，若这个数为负数，则根据不等式的基本性质3，不等号的方向必须改变。 二、一元一次不等式组的解集的四种类型（设）
不等式组 数轴表示 解集 一般规律（口诀） （1） 同大取大 （2） 同小取小 （3） 大（小）小（大）
中间找 （4） 大（大）小（小）
解不了 微拨炉：
1.在去分母时，注意不要漏乘不含分母的项。 2.在最后系数化为1时，若利用不等式的基本性质3，要注意改变不等号的方向。 三、列一元一次不等式解应用题的步骤
1.审清题意找出不等式。2.设未知数。3.列不等式。
4.解不等式。5.写出答案。
高频考点1、不等式的性质
【范例】都是实数，且，则下列不等式的变形正确的是（）
A.B.C.D.
得分要领：
1.首先观察不等式左右两边是由原来的不等式经过怎样的变形得来的。
2.再对照不等式的性质，决定是否要改变原来不等号的方向。
3.特别注意在不等式的两边同乘（或除以）一个数时，这个数是正数（用性质2）还是负数（用性质3），判断不等号的方向变化与否。
【考题回放】
1.若，则下列式子中错误的是（）
A.B.C.D.
2.下列命题正确的是（）
A.若，，则B.若，则
C.若，则D.若，则
3.若，则下列不等式变形错误的是（）
A.B.C.D.
4.若关于的不等式可化为，则的取值范围是。
高频考点2、不等式（组）的解法及解集在数轴上表示
【范例】已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是（）
D
得分要领：
1.解不等式组，分别求出各个不等式的解集后，再找出这些解集的公共部分，作为不等式组的解集。2.把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变水等号的方向。
3.在系数化为1时，注意用的是不等式的性质2还是不等式的性质3，当应用不等式的性质3时，注意改变不等号的方向。
【考题回放】
1.一个关于的一元一次不等式组在数轴上的解集如图所示，则此不等式组的解集是（）
A.B.C.D.
2.不等式组的解集是（）
A.B.C.D.
3.一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（）
A.4B.5C.6D.7
4.解一元一次不等式组：并将解集在数轴上表示出来。
5.已知实数是不等于3的常数，解不等式组并依据的取值情况写出其解集。
高频考点3、一元一次不等式的应用
【范例】在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分。
（1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？
（2）小王获得二等奖（75~85），请你算算小王答对了几道题？
得分要领：
利用不等式在限制条件下探究不同的方案时，要注意挖掘问题中的隐含条件，由在解集范围的正整数解来设计具体的方案。
【考题回放】
1.铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长宽高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽之比为3：2，则该行李箱长度的最大值是cm。
2.小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元。已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块。
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
3.为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室，经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊。
（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？
（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需要集资150元。镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户集资20000元。经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了%（其中），则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了%，求的值。
【巧思妙解】巧用“加减”法解与不等式相关的问题
【例题】已知关于的方程组的解满足不等式组求满足条件的的整数值。
解：①+②得，
整理得，，
②－①得，
整理得：，
根据已知得
解这个不等式组得，
∴的整数值为，。
【实战演练】
1.不等式组的解集是（）
A.B.C.D.
2.一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（）
A.B.C.D.
3.某种商品进价为800元，标价为1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打（）
A.6折B.7折C.8折D.9折
4.不等式组的最小整数解为（）
A.－1B.0C.1D.2
5.已知关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（）
6.若不等式的解集是，则的值是（）
A.34B.22C.－3D.0
7.已知关于的不等式组有且只有三个整数解，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
8.若关于的不等式组有解，则实数的取值范围是。
9.若关于的不等式组的解集为，则。
10.已知关于的不等式组无解，求的取值范围。
11.同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元。购买2个足球和5个篮球共需500元。
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同关中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个。要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.若，则下列不等式不一定成立的是（）
A.B.C.D.
2.不等式的解集在数轴上表示正确的是（）
3.如图把两个不等式的解集表示在数轴上，则这两个不等式组成的不等式组可能是（）
A.B.C.D.
4.我们定义，例如，若满足，则整数的值有（）
A.0个B.1个C.2个D.3个
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.不等式的解集为，则的值为。
6.若关于的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是。
7.如果关于的不等式组的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数组成的有序数对共有个。
三、解答题（共26分）
8.（10分）（1）解不等式。
（2）若关于的不等式组恰有三个整数解，求实数的取值范围。
9.（7分）某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满。
（1）求该校的大小寝室每间各住多少人？
（2）预测该校今年招收的高一新生中，有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？
【培优训练】
10.（9分）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费：在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费。设小红在同一商场累计购物元，其中。
（1）根据题意，填写下表（单位：元）：
累计购物
实际花费 130 290 … 在甲商场 127 … 在乙商场 126 … （2）当取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？
（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？
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