第12讲一次函数
【考点总汇】
一、一次函数的图像和性质
1.图象：（1）正比例函数：是经过点（0，0）和点（1，）的一条直线。
（2）一次函数：是经过点（0，）和点（，0）的一条直线。
（3）图象关系：一次函数的图象可由正比例函数的图象平移得到：时，
向移动个单位，时，向移动个单位。
2.性质：
的符号 增减性 的符号 所在象限 随的增大而
随的增大而
微拨炉：
与一次函数图象的关系 1.的符号决定一次函数图象经过的象限， 2.的绝对值决定直线的倾斜程度， 3.是一次函数图象与轴交点的纵坐标。 二、一次函数与方程（组）、不等式的关系
1.直线与轴交点的横坐标就是方程的解。
2.直线与直线的就是方程组的解。
3.直线在轴上方的点的横坐标就是不等式的解集；在轴下方的点的横坐标就是不等式的解集。
高频考点1、一次函数的图象和性质
【范例】一次函数的图象不经过下列哪个象限（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
得分要领：
一次函数中，的符号决定的是函数的增减性，（1）时，直线由左至右上升。（2）时，直线由左至右下降。
【考题回放】
1.若一次函数的函数值随的增大而增大，则（）
A.B.C.D.
2.一次函数的图像大致是（）
3.已知点，和点，）是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（）
A.B.C.D.以上都不对
4.已知直线，其中，是常数，且满足：，，那么该直线经过（）
A.第二、三、四象限B.第一、二、三、象限
C.第一、三、四象限D.第－、二、四象限
5.将一次函数的图象沿轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为。
6.在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过，两点，若，则。（填“”“”“”）
高频考点2、求一次函数的解析式
【范例】如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的解析式是（）
A.B.
C.D.
得分要领：
1.确定一次函数的关键是用待定系数法求。
2.考场答题三步走：（1）设一次函数解析式。（2）把直线上已知点的坐标代入，得关于的方程（组）。（3）解方程（组）得的值。
【考题回放】
1.若点－2，在正比例函数的图象上，则的值是（）
A.B.C.D.
2.已知函数经过（1，3）（0，－2），则（）
A.－1B.－3C.3D.7
3.写出一个图象经过一、三象限的正比例函数的解析式（关系式）。
高频考点3、一次函数的应用
【范例】某工厂现有甲种原料380千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产两种产品共50件。已知生产一件产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获得700元；生产一件产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。设生产两种产品总利润为元，其中种产品生产件数是。
（1）写出与之间函数关系式。
（2）如何安排两种产品的生产件数，使总利润有最大值，并求出的最大值。
得分要领：
应用一次函数知识解决实际问题常见的两种题型
1.利用一次函数的图象的性质，如增减性等来解决生活中的优化问题，它常与方程（组）或不等式（组）一起考查。
2.利用一次函数图象描述事物的变化规律，此问题要仔细分析图中各点以及每条直线（或线段）表示的意义，并善于从图象中获取有效信息。
【考题回放】
1.“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，
如图是他们离家的距离（千米）与汽车行驶时间（小时）之
间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶
的时间是（）
A.2小时B.2.2小时C.2.25小时D.2.4小时
2.已知水银体温计的读数（℃）与水银柱的长度（cm）之间是一次函数关系。现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度。
水银的长度（cm） 4.2 … 8.2 9.8 体温计的读数（℃） 35.0 … 40.0 42.0 （1）求关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）。
（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数。
高频考点4、一次函数与方程（组）不等式的关系
【范例】如图，直线与的交点的横坐标
为－2，则关于的不等式的整数解为（）
A.－1B.－5C.－4D.－3
得分要领：
1.二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成，而每个一次方程的图象都是一条直线；两条直线的交点坐标表示该方程组中各个方程的公共解，也就是这个二元一次方程组的解。
2.因为任何一元一次不等式都可以转化为或的形式，所以解一元一次不等式可以转化为当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
【考题回放】
1.将一次函数的图象向上平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
2.如图，直线与相交于点，点的横坐标为－1，则关于的不等式的解集在数轴等式的解集在数轴上表示正确的是（）
3.如图，已知函数与函数的图象交于点，则不等式的解集是。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】在平面直角坐标系中，点是坐标原点，过点1，的直线与轴交于点，且，则的值为。
解：∵点的纵坐标为2，则△中边上的高为2
则解得：
∴点的坐标为（4，0）
将（1，2），（4，0）代入得
解得
答案：
【规避策略】
在平面直角坐标系中，已知线段的长度求点的坐标时，注意线段的长度是一个正数，点到坐标轴的距离是坐标的绝对值。
【实战演练】
1.已知是的一次函数，下表中列出了部分对应值，则等于（）
－1 0 1 1 －1 A.－1B.0C.D.2
2.关于一次函数的图象，下列所画正确的是（）
3.对于函数（是常数，）的图象，下列说法不正确的是（）
A.是一条直线B.过点，
C.经过一、三象限或二、四象限D.随着增大而减小
4.对于一次函数，下列结论错误的是（）
A.函数的图象与轴的交点坐标是（0，4）B.函数的图象不经过第三象限
C.函数的图象向下平移4个单位长度得的图象D.函数值随自变量的增大而减小
5.把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
6.如图所示，函数和的图象相交于（－1，1），（2，2）两点。当时，的取值范围是（）
A.B.
C.D.或
7.点，点是一次函数图象上的两个点，且，则与的大小关系是（）
A.B.C.D.
8.两条直线和相交于点－2，3，则方程组的解是（）
A.B.C.D.
9.在一次函数中，若随的增大而增大，则它的图象不经过第象限。
10.已知一次函数（，是常数），与的部分对应值如下表：
－2 －1 0 1 2 3 6 4 2 0 －2 －4 那么方程的解是；不等式的解集是。
11.新定义：为函数（为实数）的“关联数”。若“关联数”为的函数为一次函数，则的值为。
12.市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买两种风景树共900棵。两种树的相关信息如下表：
项目
品种 单价（元/棵） 成活率 80 92% 100 98% 若购买种树棵，购树所需的总费用为元。
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若购树的总费用82000元，则购种树不少于多少棵？
（3）若希望这批树的成活率不低于94%，且使购树的总费用最低，应选购两种树各多少棵？此时最低费用为多少？
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.若实数满足，且，则函数的图象可能是（）
2.如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点2，，，3那么一定有（）
A.B.C.D.
3.一次函数的图象与的图象的交点不可能在（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于两点，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.如图，直线经过2，1，－1，－2两点，则不等式的解集为。
6.如图，△的直角边,分别与轴、轴重合，点的坐标分别是（0，4），（3，0），将△向右平移，当点A落在直线上时，线段AB扫过的面积是。
7.如图，已知一条直线经过0，2，点1，0，将这条直线向左平移与轴，轴分别交于点C、点D，若DB=DC，则直线CD的函数解析式为。
三、解答题（共26分）
8.（13分）如图，已知直线经过点－1，0与点2，3，另一条直线经过点，且与轴相交于点，0。
（1）求直线的解析式。
（2）若△的面积为3，求的值。
【培优训练】
9.（13分）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如下表所示：
每月用气量 单价（元/） 不超过75的部分 2.5 超出75，不超出125的部分 超出125的部分 （1）若甲用户3月份的用气量为60m，则应缴费元。
（2）若调价后每月支出的燃气费为（元），每月的用气量为（m），与之间的关系如图所示，求的值及与之间的函数解析式。
（3）在（2）的条件下，若乙用户2，3月份共用气175m（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2，3月分的用气量各是多少？
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