第14讲二次函数
【考点总汇】
二次函数的图象性质
图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 直线 直线 增减性 当时，随的增大而，当时，随的增大而 当时，随的增大而，当时，随的增大而 最值 当时，函数的
当时，函数的
微拨炉：
用配方法或顶点公式求二次函数的最值，配方时括号内加上一次项系数一半的平方后，应再减去一次项系数一半的平方，不要遗漏出现错误或公式运用错误。如，配方后为：。
高频考点1、二次函数的图象和性质
【范例】如图，点在半径为2的⊙上，过线段上的一点作直线，与⊙过点的切线交于点，且，设，则的面积关于的函数图象大致是（）
得分要领：
二次函数的顶点式：中的系数与二次函数的性质有以下三方面的关系：
1.时，开口向上，时，开口向下。
2.对称轴为；顶点坐标为。
3.增减性；当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大。
【考题回放】
1.已知抛物线与轴有两个不同的交点，则函数的大致图象是（）
2.在同一平面直角坐标系内，将函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（）
A.（－3，－6）B.（1，－4）C.（1，－6）D.（－3，－4）
3.抛物线的顶点坐标为。
4.已知二次函数。
（1）用配方法求其图象的顶点的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况。
（2）求函数图象与轴的交点的坐标(B在A的右边)，及△的面积。
高频考点2、求二次函数解析式及综合应用
【范例】已知二次函数图象的顶点坐标为（1，－1），且过原点（0，0），求该函数解析式。
得分要领：
求二次函数解析式的选择技巧
1.当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式形式。
2.当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式形式。
3.当已知抛物线与轴的交点，0，，0时，通常设为两根式。
【考题回放】
1.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”。
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数。
（2）已知关于的二次函数和，其中的图象经过点
1，1，若与为“同簇二次函数”，求函数的表达式，并求当时，的最大值。
2.如图，抛物线与轴交于两点，它们的对称轴与轴交于点，过顶点作轴于点，连接交于点。已知点的坐标为（－1，0）。
（1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标。
（2）求△与△的面积之比。
高频考点3、用二次函数解决实际问题
【范例】某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第天销售的相关信息如下表所示：
销售量（件） 销售单价（元/件） 当时，；
当时， （1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件。
（2）求该网店第天获得的利润关于的函数关系式。
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
得分要领：
利用二次函数解决实际问题的步骤
1.根据题意，列出抛物线解析式，或建立恰当的坐标系，设出抛物线的解析式，将实际问题转化为数学模型。
2.列出函数解析式后，要标明自变量的取值范围。
3.根据二次函数图象和性质解决问题，确定最值时，一般最值在顶点处取得，但也要注意，若顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据函数的增减性来确定最值。
【考题回放】
1.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：
温度/℃ -4 -2 0 1 4 植物高度增长量/mm 41 49 49 46 25 科学家经过猜想、推测出与之间是二次函数关系。由此可以推测最适合这种植物生长的温度
为℃。
2.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设m。
（1）若花园的面积为192m，求的值。
（2）若在处有一棵树与墙的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值。
高频考点4、二次函数与方程、不等式
【范例】二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（）
A.B.
C.D.或
得分要领：
二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数的图象与轴有两个交点，则两个交点的横坐标是相应的一元二次方程的两个解。
2.二次函数的图象与轴交点的个数由相应的一元二次方程的根的判别式的符号确定。
【考题回放】
1.“如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根。”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若是关于的方程的两根，且，则的大小关系是（）
A.B.C.D.
2.已知二次函数中，函数与的部分对应值如下：则当时，的取值范围是。
… －1 0 1 2 3 … … 10 5 2 1 2 … 3.已知二次函数与轴交点的横坐标为，则对于下列结论：
①当时，；②方程有两个不相等的实数根；③。其中正确的结论有（只需填写序号即可）。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】若关于的函数与轴仅有一个公共点，则实数的值为。
解：函数与轴仅有一个公共点
∴△
解得
答案：－1
【规避策略】
根据函数图象与轴的交点个数求函数解析式中参数的值，当题目中没有明确说明是二次函数时应分类讨论。确定字母参数的值。
【实战演练】
1.函数的图象与轴的交点情况是（）
A.当时，有一个交点B.时，有两个交点
C.当时，有一个交点D.不论为何值，均无交点
2.已知二次函数的图象如图所示，那么一次函数
和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）
3.已知二次函数的图象如图，其对称轴，
给出下列结果：①；②；③；
④；⑤，则正确的结论是（）
A.①②③④B.②④⑤
C.②③④D.①④⑤
4.把抛物线沿轴向右平移1个单位后，再沿轴翻折得到抛物线沿轴向右平移1个单位后，再沿轴翻折得到抛物线称为第二次操作，…，以此类推，则抛物线经过第2014次操作后得到的抛物线的解析为（）
A.B.
C.D.
5.二次函数的图象的顶点是。
6.已知二次函数的图象如图所示，
有下列5个结论：①；②③，
④；⑤的实数，
其中正确结论的序号有。
7.某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品，每台机器产生的次品数（千件）与每台机器的日产量（千件）（生产条件要求）之间变化关系如表：
日产量（千件/台） … 5 6 7 8 9 … 次品数（千件/台） … 0.7 0.6 0.7 1 1.5 … 已知每生产1千件合格的元件可以盈利1.6千元，但每生产1千件次品将亏损0.4千元。（利润＝盈利－亏损）
（1）观察并分析表中与之间的对应关系，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出（千件）与（千件）的函数解析式。
（2）设该工厂每天生产这种元件所获得的利润为（千元），试将表示为的函数；并求当每台机器的日产量（千件）为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
8.某宾馆有30个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天120元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于210元。设每个房间的房价增加元（为10的正整数倍）。
（1）设一天订住的房间数为，直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围。
（2）设宾馆一天的利润为元，求与的函数关系式。
（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
9.如图，抛物线交轴于两点，交轴于点，对称轴为直线，已知：
－1，0，0，－3。
（1）求抛物线的解析式。
（2）求△和△的面积比。
（3）在对称轴上是否存在一个点，使△的周长最小。若存在，请你求出点的坐标。若不存在，请你说明理由。
10.已知，如图，二次函数的图象与轴交于点0，4，与轴交于点，点4，0，抛物线的对称轴为。直线交抛物线于点2，。
（1）求二次函数的解析式并写出点坐标。
（2）点是线段上的一动点，过点作∥交于，连接，当△的面积最大时，求点的坐标。
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.二次函数的顶点的坐标是（）
A.（1，2）B.（1，－2）C.（，2）D.（，－2）
2.如图是二次函数的部分图象，
由图象可知不等式的解集是（）
A.B.
C.且D.或
3.已知抛物线过－2，0，0，0，－3，，3，四点，则与的大小关系是（）
A.B.C.D.不能确定
4.已知：两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的坐标为则二次函数（）
A.有最大值，最大值为B.有最大值，最大值为
C.有最小值，最小值为D.有最小值，最小值为
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.已知二次函数中，函数与变量的部分对应值如表：
… －1 0 1 2 3 4 … … 10 5 2 1 2 5 … 则和的值以及抛物线的顶点分别是。
6.如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的解析式为，小强骑自行车从拱梁一端沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面共需秒。
7.如图，已知抛物线经过（0，－3），请你确定一个的
值，使该抛物线与轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间。你确定
的值是。
三、解答题（共26分）
8.（12分）已知－3，和1，是抛物线上的两点。
（1）求的值。
（2）判断关于的一元二次方程是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由。
（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值。
【培优训练】
9.（14分）河北内丘柿饼加工精细，色泽洁白，肉质柔韧，品味甘甜，在国际市场上颇具竞争力。上市时，外商王经理按市场价格10元/kg在内丘收购了2000kg柿饼存放入冷库中。据预测，柿饼的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批柿饼时每天需要支出各种费用合计320元，而且柿饼在冷库中最多保存80天，同时，平均每天有8kg的柿饼损坏不能出售。
（1）若存放天后，将这批柿饼一次性出售，设这批柿饼的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式。
（2）王经理想获得利润20000元，需将这批柿饼存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）
（3）王经理将这批柿饼存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
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