第15讲图形初步知识
【考点总汇】
一、线和角
1.直线公理：经过两点有且只有直线。
2.线段公理：两点之间，最短。
3.余角和补角的性质：等角的补角；等角的余角。
微拨炉：
互余、互补是指两角间的数量关系，与角的位置无关。 二、相交线
1.对顶角的性质：对顶角。
2.垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有条直线与已知直线垂直。
（2）直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，最短。
3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的的长度，叫做点到直线的距离。
微拨炉：
对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角。 三、平行线
1.平行公理：经过直线外一点，有且只有直线与这条直线平行。
2.平行线的性质和判定：
（1）两直线平行同位角。
（2）两直线平行内错角。
（3）两直线平行同旁内角。
微拨炉：
1.平行线概念的前提条件是“在同一个平面内”。 2.正确理解“有且只有”的含义，它包含两层意思：“有”――表明存在一条与已知直线平行的直线；“只有”表明与已知直线平行的直线是唯一的。
高频考点1、立体图形的展开与折叠
【范例】如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，
“你”字一面相对面上的字是（）
A.我B.中C.国D.梦
得分要领：
确定正方体相对面的妙招
1.因为正方体的任何一个面都与其余的5个面中的4个面相邻、1个面相对，所以展开图中若存在1小正方形与4个小正方形有公共顶点，这4个小正方形都是它的相邻面，剩下的一个面就是它的相对面。
2.在一个正方体中，上、下所对的面是相对的面；左、右相对的面也是相对面。因此，展开图的每行或每列中若出现相连的3个面，不相邻的两个面就是相对面。
【考题回放】
1.一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，边起来的意思
是“预祝中考成功”，把它折成正方体后，与“成”相对的字是（）
A.中B.功C.考D.祝
2.过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其展开图正确的为（）
3.如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图。折叠制作完
成后得到长方体的容积是（包装材料厚度不计）（）
A.40×40×70B.70×70×80
C.80×80×40D.70×40×80
高频考点2、直线、射线与线段
【范例】如图，是线段上两点，是线段的中点，若10cm，4cm，则的长等于（）
A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm
得分要领：
1.解答有关线段的和差倍分问题的关键是理解线段的和、差及线段中点的概念，有时需要通过列方程求解。2.解答有关直线相交的交点个数问题，关键是通过画图找到直线相交最多交点个数的规律。
【考题回放】
1.如图，为抄近路践草坪是一种不文明的现象。
请你用数学知识解释出现这一现象的原因：
。
2.直线上有2013个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上有个点。
高频考点3、余角、补角、对顶角
【范例】将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与互余的角共有（）
A.4个B.3个C.2个D.1个
得分要领：
两角互余互补的关系式
①若互余，则或；
②若互补，则或。
【考题回放】
1.下列图形中，与是对顶角的是（）
2.已知和是对顶角，若，则的度数为（）
A.30B.60C.70D.150
3.如果与互为余角，则（）
A.B.C.D.
4.如图，，若，则的度数是（）
A.35B.40C.45D.60
5.若的补角为，则。
高频考点4、平行线的性质与判定
【范例】如图，是的平分线，∥,,则为（）
A.30B.60
C.80D.120
得分要领：
转化思想在平行线中的应用
1.证明两直线平行，可转化为证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补。
2.当要证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补时，转化为证明两直线平行。有些问题要经过“平行线――角――平行线”或“角――平行线――角”的多次转化。
【考题回放】
1.如图，已知直线被直线所截，那么的同位角（）
A.B.C.D.
第1题第2题
2.如图，能判定∥的条件是（）
A.B.C.D.
3.如图，∥，，则为（）
A.60B.65C.75D.80
第3题第4题
4.如图，把一块含有45角的直角三角板两个顶点放在直尺的对边上，如果，则的度数是（）
A.15B.20C.25D.30
【巧思妙解】巧添平行线，轻松角转化
【例题】如图，直线∥，若，，则的度数是（）
A.B.C.D.
解：选A。如图，过的顶点作∥，则由∥，得∥。
∴。
∵，，
∴。
∵∥，∴。
【实战演练】
1.已知线段cm，是线段上的一点，是的中点，是的中点，则（）
A.10cmB.6cmC.8cmD.9cm
2.如图，∥，点在上，且，，则的度数为（）
A.72B.36C.26D.46
第2题第3题第4题
3.如图，平分，∥，若，则的度数是（）
A.55B.50C.45D.30
4.如图，已知直线∥，，，则等于（）
A.100B.60C.40D.20
5.如图，若，则（）
A.70B.90C.110D.80
第5题第6题
6.如图，∥，，，则的度数是（）
A.40B.50C.60D.140
7.如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）
ABCD
8.小亮将一个直角三角板和一把直尺（如图所示）叠放在一起，
如果，那么是。
9.已知线段cm，直线上有一点，且cm，是线段的中点，求的长。
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.如图，点在直线上，若，则的度数是（）
A.50B.60C.140D.150
第1题第2题
2.如图，∥，分别交于点，，则的度数是（）
A.50B.120C.130D.150
3.下图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（）
4.如图，∥，∥，点分别在上，
若，则的大小是（）
A.30B.40C.50D.60
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.将一副直角三角板和如图放置（其中,）。使点落在边上，且∥，则的度数为。
第5题第6题
6.如图，岛在岛的北偏50方向，岛在岛的北偏西40方向，则从岛看两岛的视角等于。
7.如图，已知，则的度数为。
三、解答题（共22分）
8.（10分）一个角的补角加上10，等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数。
【培优训练】
9.（12分）如图所示，于点，于点，PG平分∠BGE，QH平分，请找出图中有哪些平行线，并说明理由。
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