第17讲全等三角形
【考点总汇】
一、全等三角形的性质及判定定理
1.性质
（1）全等三角形的对应边，对应角。
（2）全等三角形的对应边的中线，对应角平分线，对应边上的高，全等三角形的周长，面积。
2.判定定理
（1）三边分别的两个三角形全等（简写“边边边”或“”）。
（2）两边和它们的夹角分别的两个三角形全等（简写“边角边”或“”）。
（3）两角和它们的夹边分别的两个三角形全等（简写“角边角”或“”）。
（4）斜边和一条直角边分别的两个直角三角形全等（简写“斜边、直角边”或“”）。
微拨炉：
已知两边和一角判定三角形全等时，没有“SSA”定理，即不能错用成“两边及一边对角相等的两个三角形全等”。 二、角的平分线
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离。
2.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在。
3.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离。
微拨炉：
1.三角形的角平分线是一条线段，不是射线。 2.角的平分线的性质定理和判定定理互为逆定理。注意分清题设和结论。 高频考点1、全等三角形的判定与性质
【范例】如图，在△中，，，为延长线上一点，点在边上，且，连接、、。
（1）求证：△≌△（2）若，求的度数
得分要领：
判定全等三角形的基本思路
1.已知两边：（1）找夹角（SAS）；（2）找直角（HL或SAS）；（3）找第三边（SSS）。
2.已知两角：（1）找夹边（ASA）；（2）找一边（AAS）。
3.已知一边一角：（1）边为角的对边，找一角（AAS）；（2）边为角的邻边①找夹边角（ASA）；②找边的对角（AAS）；③找夹角边（SAS）
【考题回放】
1.如图，和相交于点，，，求证：∥。
2.如图，已知：在△和△中，点在同一直线上，，，∥。求证：。
3.已知，如图所示：，，于点，于点，求证：。
高频考点2、角平分线的性质与判定
【范例】如图，是△中的平分线，于点，，，，则长是（）
A.3B.4C.6D.5
得分要领：
解答与角平分线有关的题目时常作的辅助线：
1.过角平分线上一点向角两边作垂线，构造相等线段。
2.过角平分线上一点，作与角的一边平行的直线，构造等腰三角形。
3.过角平分线上一点，作角平分线的垂线，构造等腰三角形。
4.遇与角平分线垂直的线段时，延长垂线段与角的另一边相交，构造等腰三角形。
【考题回放】
1.如图，△中，，，分别是其角平分线和中线，过点作于，交，连接，则线段的长为（）
A.B.C.D.
2.已知是的平分线，点在上，，，垂足分别为点，，则的长度为。
3.如图，△中，，。
（1）用尺规作图作边上的中垂线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）。
（2）连接，求证：平分。
高频考点3、尺规作图
【范例】如图，已知线段及，只用直尺和圆规，求作△，使，，（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）。
得分要领：
利用“尺规”作三角形的“五种类型”
1.已知三角形的三边，求作三角形。
2.已知三角形的两边及其夹角，求作三角形。
3.已知三角形的两角及其夹边，求作三角形。
4.已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形。
5.已知直角三角形的一直角边和斜边，求作三角形。
【考题回放】
1.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
已知；线段，。
求作：△，使，。
2.如图，在△中，先作的角平分线交于点，再以边上的一点为圆心，过两点作⊙（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。
3.如图，点在△的边上，且。
（1）作的平分线，交于点（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）。
（2）在（1）的条件下，判断直线与直线的位置关系（不要求证明）。
4.如图，在Rt△中，。
（1）用尺规在边上作一点，使（不写作法，保留作图痕迹）。
（2）连接，当为度时，平分。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】已知，如图，，点为射线，上的动点（点不与点重合），且，在的内部、△的外部有一点，且，。
（1）求的长。（2）求证：点在的平分线上。
解：（1）过点作于点。
∵
∴
∴………………①
在Rt△中，设，则
则有解得：
∵∴即…………②
（2）∵
∴点在的平分线上………………………③
【规避策略】
1.理解定理的条件。在运用角的平分线的判定定理时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件，这是正确应用定理的前提。
2.显现基本图形。通过作辅助线，显现出角的平分线定理的基本图形，为正确应用定理奠定基础。
【实战演练】
1.如图，在△中，，，是高和的交点，则的长是（）
A.4B.6C.8D.9
第1题第2题
2.如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）
A.1处B.2处C.3处D.4处
3.如图，在△和△中，，，请你添加一个条件，使得△和△全等，并加以证明。你添加的条件是。
4.在Rt△中，，cm，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若cm，则cm。
5.如图，∥，的平分线与的平分线
相交于点，作于点。若，则两平行
线与间的距离为。
6.如图，Rt△中，，是边上一点，点分别是线段中点，连接。
求证：△≌△。
7.如图，在梯形中，∥，对角线平分，的平分线交于分别是的中点。
求证：。
8.不再添加其他线段，如图，△与△中，与相交
于点，，请你添加一个条件，不再标注或使用其他字母，
使，并给出证明。你添加的条件是：。
9.如图，，请在不添加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△≌△并证明。
（1）添加的条件是。
（2）证明你的结论。
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.如图，已知点在同一条直线上，，，
要使△≌△，还需要添加一个条件是（）
A.B.
C.∥D.
2.如图，已知△中，，，点是高
和的交点，则线段的长度为（）
A.4B.5C.D.
3.如图，在Rt△中，，，是的平分
线，于点。cm，则△的周长是（）
A.10cmB.8cmC.12cmD.9cm
4.如图，在△和△中，点在边上，边交边于
点。若，，，则等于（）
A.B.C.D.
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.如图，，要使△≌△，应添加的条件是（添加一个条件即可）。
第5题第6题
6.如图，在Rt△中，，的平分线交于点，，，则△的面积是。
7.点是△内一点，且点到三边的距离相等，，则的度数是。
三、解答题（共26分）
8.（12分）如图，在Rt△中，，平分，于点。若，，。
（1）求的长。
（2）求△的面积。
【培优训练】
9.（14分）已知，如图2，∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，
求证：∠BAP+∠BCP＝180°。
9
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