第19讲直角三角形
【考点总汇】
一、直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角。
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的。
3.在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的。
4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么。
微拨炉：
1.在应用“30角所对直角边等于斜边一半”的性质时，一是必须在直角三角形中，二是分清成倍数关系的直角边和斜边。 二、直角三角形的判定
1.有一个角是的三角形是直角三角形。
2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形。
微拨炉：
1.勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，是判断直角三角形的重要依据。 2.勾股定理是已知直角三角形得到边的数量关系；逆定理是已知边的数量关系得到直角三角形。体现了由“形”到“数”和由“数”到“形”的转化。
高频考点1、直角三角形的性质
【范例】如图，在Rt△中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于，若，，则的长是。
得分要领：期望数学岛
直角三角形斜边上中线的作用
1.联想到直角三角形斜边上的中线，可以沟通角与角或线段与线段之间的关系，把题设与结论有机地结合起来，使问题得以圆满的解决。
2.重要的辅助线——①遇直角三角形斜边的中点，添加斜边上的中线为辅助线；②构造直角三角形，凸显斜边上的中线。
【考题回放】
1.如图，在△中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则△的周长为（）
A.20B.18C.14D.13
第1题第2题第3题
2.如图，在Rt△中，，cm，点为的中点，则cm。
3.如图，某山坡的坡面m，坡角，则山坡的高的长为m。
高频考点2、勾股定理及逆定理
【范例】如图，Rt△中，，，，将△折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（）
A.B.C.4D.5
得分要领：期望数学岛
解图形折叠问题的思路
1.寻找出折叠前后的不变量（即相等线段，相等角）。
2.发现图形中直角三角形，并能灵活应用勾股定理。
3.利用勾股定理建立方程求解。
【考题回放】
1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，，3
2.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为。
高频考点3、用勾股定理解决实际问题
【范例】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，
周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意
是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为
20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰
好到达点处。则问题中葛藤的最短长度是尺。
得分要领：
立体图形最短线路问题的解法
1.将立体图形展开，转为平面图形问题。
2.根据轴对称的性质，寻找最短路径。
3.利用勾股定理进行计算，得出答案。
【考题回放】
1.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面10m高的地方，那么物体所经过的路程为m。
2.如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行m。
3.为解决停车难的问题，在如图一段长56m的路段开辟停车位，每个车位是长5m、宽2.2m的矩形，矩形的边与路的边缘成45角，那么这个路段最多可以划出个这样的停车位（）。
【巧思妙解】巧用面积求距离
【例题】在Rt△中，，，，则点到的距离是（）
A.B.C.D.
解：选A。如图（同左图），过点作于点。
在Rt△中，由勾股定理，得
。
根据三角形的面积公式，得，
解得。
【实战演练】
1.以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）
A.1，2，3B.2，3，4C.3，4，5D.4，5，5
2.如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，
以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，
则这个点表示的实数是（）
A.2.5B.C.D.
3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边cm，cm，现将△折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（）
A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm
4.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1m处折断，
树尖恰好碰到地面，经测量m，则树高为（）
A.mB.mC.mD.3m
5.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，则它的腰长为（）
A.7B.6C.5D.4
6.如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为（）
A.90B.60C.45D.30
7.如图所示，△中，于，在下列条件中
①；②；③；
④。基中一定能判定△是直角三角形的共有（）
A.3个B.2个C.1个D.0个
8.如图，△中，，，，求的长。
期望数学岛
9.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm。如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，求所用细线的最短长度。
10.如图，在△中，，，，垂足分别为为中点，与分别交于点，。
（1）线段与相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由。
（2）求证：。
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.如图是某水库大坝横断面示意图，其中分别表示水库上下底面的水平线，，的长是50m，则水库大坝的高度是（）
A.mB.25mC.mD.m
2.在△中，，，高，则△的面积为（）
A.84B.14C.14或4D.84或24
3.如图，在单位正方形组成的网格图中标有四条
线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
A.B.
C.D.
4.如图所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点与的距离
为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行
的最短距离是（）
A.B.25C.D.35
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.如图，在Rt△中，。点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的长为。
第5题第6题第7题
6.如图，在四边形中，，且，则的度数是。
7.如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边的中点重合，若，，则。
三、解答题（共26分）
8.（12分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载。某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点，再在笔直的车道上确定点，使与垂直，测得的长等于21m，在上点的同侧取点，使，。
（1）求的长（精确到0.1m，参考数据：，）。
（2）已知本路段对校车限速为40km/h，若测得某辆校车从到用时2s，这辆校车是否超速？说明理由。
【培优训练】
9.（14分）小明和同桌小聪对一道思考题进行了认真的探索。
【思考题】如图，一架2.5m长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙的距离为0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么点将向外移动多少米？
（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点将向外移动m，即，则，。而，在Rt△中，由得方程，解方程得，，∴点将向外移动m。
（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4m”改为“下滑0.9m”，
那么该题的答案会是0.9m吗？为什么？
【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从处沿墙下滑的距
离与点向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题。
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