第22讲平移、旋转与轴对称
【考点总汇】
一、有关性质
1.平移的性质
（1）平移后的图形与原图形的对应线段（或在同一条直线上）且，对应角。
（2）连接各组对应点的线段（或在同一条直线上）且。
2.旋转的性质
（1）对应点到旋转中心的距离。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于。
（3）旋转前、后的图形。
3.轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的。
（2）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的。
4.中心对称的性质
（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被对称中心所。
（2）中心对称的两个图形是图形。
微拨炉：
平移、旋转、轴对称的不同之处在于平移前后的图形方向一致，旋转前后的图形方向不同，轴对称前后的图形方向相反。 二、坐标变换的规律
1.一般地，在直角坐标系中，将点向右（或左）平移个单位长度，可以得到对应点，（或）；将点向上（或下）平移个单位长度，可以得到对应点（或）。
2.一般地，在直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为。
3.一般地，在直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为。
微拨炉：
1.记住图形平移时点的坐标变化规律，图形左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；图形上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减。 2.关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为相反数；关于原点对称时，横纵坐标都互为相反数。
高频考点1、平移、旋转、轴对称的识别
【范例】下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
得分要领：
1.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合。
2.中心对称图形是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180度后与原图形重合。
【考题回放】
1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）
ABCD
2.下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）
ABCD
3.下列图形是中心对称图形的是（）
4.一个正五边形的对称轴共有条。
5.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再
将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的
涂法有种。
高频考点2、平移、旋转、轴对称性质的应用
【范例】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△（顶点是网格线的交点）和点。
（1）画出一个格点△，并使它与△全等且与是对应点。
（2）画出点关于直线的对称点，并指出可以看作由绕点经过怎样的旋转而得到的。
得分要领：
抓住图形的变化中的不变性
从“动”的角度去思考，明确“动中不动”
1.对应线段相等，对应角相等，形状、大小不变。
2.把握住平移方向、平移距离，旋转中心、旋转角度及旋转方向。
【考题回放】
1.如图，如果将△的顶点先向下平移3格，再向左平移1格到
达点，连接，则线段与线段的关系是（）
A.垂直B.相等C.平分D.平分且垂直
2.如图，已知在△中，，，将△绕点顺
时针方向旋转60到△的位置，连接，则的长为（）
A.B.C.D.1
3.如图，已知－3，－3，－2，－1，－1，－2是直角坐标平面上三点。
（1）请画出△关于原点对称的△。
（2）请写出点关于轴对称点的坐标，若将点向上平移个单位，使其落在△的内部，指出的取值范围。
高频考点3、图形的变化与点的坐标
【范例】（1）如图，将△绕点顺时针旋转90得到△，则点的坐标是（）
A.（1，1）B.（1，2）C.（1，3）D.（1，4）
第（1）题第（2）题
（2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（1，3），将线段向左平移2个单位长度，得到线段，则点的对应点的坐标为。
得分要领：
1.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减。
2.利用旋转变换作图，首先找出旋转中心、旋转方向和旋转角。
3.熟练掌握网格结构，找出图形变换后对应点的位置是解题的关键。
【考题回放】
1.已知线段是由线段平移得到的，点－1，4的对应点为4，7，则点－4，－1的对应点的坐标为（）
A.（1，2）B.（2，9）C.（5，3）D.（－9，－4）
2.如图，将△绕点0，1旋转180得到△，设点的坐标为，则点的坐标为（）
A.，B.，C.，D.，
第2题第3题
3.如图，正方形的两边，分别在轴、轴上，点5，3在边上，以为中心，把△旋转90，则旋转后点的对应点的坐标是（）
A.（2，10）B.（－2，0）C.（2，10）或（－2，0）D.（10，2）或（－2，0）
4.如图，在直角坐标系中，已知点－3，－1，点－2，1，平移线段，使点落在0，－1，点落在点，则点的坐标为。
第4题第5题
5.如图，已知直线与轴，轴分别交于两点，把△绕点按顺时针方向旋转90后得到△，则点的坐标是。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正
【例题】如图，在△中，，，，把△绕点旋转150后得到△，则点的坐标为（）
A.（－1，）B.（－1，）或（－2，0）
C.（，－1）或（0，－2）D.（，－1）
解：选A。在△中，，，
∴
∴∴
如图，当△绕点顺时针旋转150后，
得到△，过点作轴的垂线，
交轴于点，则△≌△
∴，
∴－1，
【规避策略】
考虑问题要周密
与图形旋转有关的题目，若没有明确旋转方向，应该注意分类讨论，要考虑顺时针方向和逆时针方向两种情况，以防漏解。同是，还要注意图形变化与点的坐标之间的联系。
【实战演练】
1.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
A.B.C.D.
2.如图，△的顶点坐标分别为4，4、2，1、5，2，沿某一直线作△的对称图形，得到△，若点的对应点的坐标是（3，5），那么点的对应点的坐标是（）
A.（0，3）B.（1，2）C.（0，2）D.（4，1）
第2题第3题
3.如图，将面积为5的△沿方向平移至△的位置，平移的距离是边长的两倍，则图中的四边形的面积为（）
A.5B.10C.15D.20
4.如图，△中，两个顶点在轴的上方，点的坐标是（－1，0）。将△绕点按顺时针方向旋转180后，记所得的图形是△。设点的横坐标是，则点的横坐标是（）
A.B.C.D.
第4题第5题
5.如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点旋转180到乙位置，再将它向下平移2个单位到丙位置，则小花顶点在丙位置中的对应点的坐标为（）
A.（3，1）B.（1，3）C.（3，－1）D.（1，1）
6.平面直角坐标系中，点，与点，关于原点对称，则。
7.如图，△是边长为6的等边三角形，将△向右平移得第2个等边三角形△；再将△向右平移得第3个等边三角形△，重复以上做法得到第5个等边三角形△，若，在△边上，则的值是。
8.如图，在平面直角坐标系中，△的三个顶点都在格点上，点的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△关于轴对称的△，并写出点的坐标。
（2）画出△绕原点旋转180后得到的△，并写出点的坐标。
9.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点。△的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：先将△向右平移3个单位后得到△，再将△绕点按逆时针方向旋转90后得到△；
（1）试在正方形网格中画出上述二次变换所得到的图象。
（2）求线段旋转到的过程中，线段所扫过的面积。
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
2.如图所示，选项中四个三角形不能由△经过旋转或平移得到的是（）
A.B.C.D.
3.如图是用围棋子摆出的图案（棋子的位置用有序数对表示，如点在（5，1）），如果再摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（）
A.黑（3，3），白（3，1）B.黑（3，1），白（3，3）
C.黑（1，5），白（5，5）D.黑（3，2），白（3，3）
第3题第4题
4.如图，在直角坐标系中，点的坐标分别为（1，4）和（3，0），点是轴上的一个动点，且三点不在同一条直线上，当△的周长最小时，点的坐标是（）
A.（0，0）B.（0，1）C.（0，2）D.（0，3）
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有种。
第5题第6题
6.如图，将一块斜边长为12cm，的直角三角板，绕点沿逆时针方向旋转90至△的位置，再沿向右平移，使点刚好落在斜边上，则这块三角板向右平移的距离为cm。
7.如图1，两个等边△，△的边长均为1，将△沿方向向右平移到△的位置，得到图2，则阴影部分的周长为。
三、解答题（共26分）
8.（10分）作图题：（不要求写作法）如图，△在平面直角坐标系中，其中，点的坐标分别为－2，1，－4，5，－5，2。
（1）作△关于直线对称的△，其中，点的对应点分别为点。
（2）写出点的坐标。
【培优训练】
9.（16分）正方形中，点分别是边的中点，连接。
（1）如图1，若点是边的中点，连接，则与关系为。
（2）如图2，若点为延长线上一动点，连接，将线段以点为旋转中心，逆时针旋转90，得到线段，连接，请猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论。
（3）若点为延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出三者之间的数量关系：。
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