第25讲圆的认识
【考点总汇】
一、垂径定理及推论
1.垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。
2.推理：平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的。
微拨炉：
1.在推论中，被平分的弦不能是直径，因为所有的直径均互相平分。 2.垂径定理及其推论是证明两条线段相等，两条弧相等及两条直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常作垂直于弦的线段，构造直角三角形。 二、弧、弦、圆心角的关系
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
微拨炉：
应用时一定注意“在同圆或等圆中”的条件；同时要特别注意一条弦所对的弧有两条。 三、圆周角定理及推论
1.定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的。
2.推论：
（1）半圆（或直径）所对的圆周角是，90的圆周角所对的弦是。
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角，它们所对的弧一定。
微拨炉：
1.注意定理及推论的条件是“同圆或等圆中”。 2.一条弦对着两第弧，对着两类圆周角，且这两类圆周角互补。 3.一条弦只对着一个圆心角，却对着无数圆周角。 四、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角。
微拨炉：
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
高频考点1、垂径定理及其应用
【范例】已知在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点（如图）。
（1）求证：。
（2）若大圆的半径，小圆的半径，且点到直线的距离为6，求的长。
得分要领：
1.找准相应线段的长：半径、弦长、弦心距。
2.利用垂径定理构造直角三角形：弦的一半、弦心距分别作为直角边、半径作为斜边。
3.利用勾股定理解决问题。
【考题回放】
1.如图，⊙的直径垂直弦于点，且，，则的长为（）
A.2B.4C.6D.8
第1题第2题第3题
2.如图，是⊙的直径，弦于，连接。下列结论中不一定正确的是（）
A.B.C.D.
3.如图，点是等边三角形外接圆⊙上的点，在以下判断中，不正确的是（）
A.当弦最长时，△是等腰三角形B.当△是等腰三角形时，
C.当时，D.当时，△是直角三角形
4.如图，圆的直径cm，且，垂足为，cm，则。
第4题第5题第6题
5.如图，是半圆的直径，点为圆心，，弦，，垂足为，交⊙于点，连接，设，则的值为。
6.如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点，并使与车轮内圆
相切于点，作交外圆于点，测得cm，cm，则这个车轮的外圆半径
是cm。
7.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图，
⊙与矩形的边分别相切和相交（是交点）。
已知，则⊙的半径为。
高频考点2、圆周角定理及其推论
【范例】（1）如图，△的顶点均在⊙上，若，则的大小是（）
A.30B.45C.60D.70
第（1）题第（2）题
（2）如图，□的顶点在⊙上，顶点在⊙的直径上，连接，，则的度数是（）
A.44B.54C.72D.53
得分要领：
1.同弧所对的圆周角、圆心角、弦、弦心距等要对应。
2.在解决圆周角问题时，常要考虑同弧所对的圆周角和圆心角的关系，找到一条弦，利用此关系进行角之间的转化和计算。
3.由于直径所对的圆周角是直角，所以在圆中，有直径时，构造直径所对的圆周角，利用解直角三角形的知识解决问题，这是圆中最常用的辅助线。
【考题回放】
1.如图，已知是△外接圆的直径，，的度数是（）
A.35B.45C.55D.65
第1题第2题
2.如图，已知点均在⊙上，为优弧，下列选项中与相等的是（）
A.B.C.D.
3.从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）
A.B.C.D.
4.如图，点在以为直径的半圆内，连接，并延长分别交半圆于点，连接并延长交于点，作直线，下列说法正确的是：
①垂直平分；②平分；③；④。
A.①②B.①④C.②④D.③④
5.如图，在半径为6cm的⊙中，点是劣弧的中点，点是优弧
上一点，且，下列四个结论：①；②cm；③；④四边形是菱形，其中正确结论的序号是（）
A.①③B.①②③④C.②③④D.①③④
6.如图，已知三点在⊙上，于，，则的度数是。
第6题第7题第8题
7.如图，△为⊙的内接三角形，为⊙的直径，点在⊙上，，则的度数等于。
8.如图，点在⊙上，点在的内部，四边形为平行四边形，则等于。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】在半径为13的⊙中，弦∥，弦和的距离为7，若，则的长为（）
A.B.C.或D.或
解：选A。如图所示，连接，过点作
于点，交于点
∵∥∴
∴
在Rt△中，由勾股定理得：
∴
在Rt△中，由勾股定理得：
∴
【规避策略】
1.注意考虑问题要全面，要考虑弦和在圆心的同侧和两侧的情况。
2.在已知圆的半径和两条平行弦的距离和一条弦长，求另一条弦长或已知圆的半径和两条平行弦长，求两条弦的距离时，要分两弦在圆心的同侧和两侧两种情况讨论，不要遗漏其中一种情况。
【实战演练】
1.下列说法正确的是（）
A.平分弦的直径垂直于弦B.半圆（或直径）所对的圆周角是直角
C.相等的圆心角所对的弧相等D.若两个圆有公共点，则这两个圆相交
2.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心到水面的距离是（）
A.4B.5C.6D.8
第2题第3题
3.如图，是圆的直径，cm，弦cm，则两点到直线的距离之和等于（）
A.12cmB.6cmC.8cmD.3cm
4.已知⊙的半径为5cm，圆内有两条弦∥，且cm，cm，则间的距离为（）
A.1cmB.7cmC.1cm或7cmD.不能确定
5.如图，为⊙直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（）
A.30B.40C.50D.60
第5题第6题
6.绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离为8m，桥拱半径为5m，则水面宽为（）
A.4mB.5mC.6mD.83cm
7.如图，点0，3，0，0，4，0，在⊙的一条弦，则。
第7题第9题第10题
8.在⊙中，圆心角，点是圆上不同于的一点，则的度数为。
9.如图，一个宽为2cm的刻度尺（刻度单位：cm）放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为cm。
10.如图所示，已知四边形是圆内接四边形，，
则度。
11.如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度cm，弓开的高cm，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆的半径。
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.如图，⊙中，，，则的度数是（）
A.75B.60C.45D.30
2.已知如图，圆柱的底面半径为13cm，高为10cm，一平面平行于圆柱
的轴，且与轴的距离为5cm，截圆柱得矩形，则截面
的面积是（）
A.240cmB.240cmC.260cmD.260cm
3.如图，在⊙中，弦，点是圆上一点，且，则
⊙的半径是（）
A.1B.2C.D.
4.已知⊙的直径cm，是⊙的弦，，垂足为，且cm，则的长为（）
A.cmB.cmC.cm或cmD.cm或cm
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.如图，是⊙的弦，于点，连接。点是半径上任意一点，连接。若cm，cm，则的长度可能是cm（写出一个符合条件的数值即可）。
第5题第6题第7题
6.如图，点都在⊙上，，，，则⊙的直径的长是。
7.如图，是⊙的直径，点在⊙上，点在线段上运动，设，则的最大值是。
三、解答题（共26分）
8.（12分）如图所示，该小组发现8m高旗杆的影子落在了包含一圆弧型小桥在内的路——于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动。小刚身高1.6m，测得其影长为2.4m，同时测得的长为3m，的长为1m，测得拱高（弧的中点到弦的距离，即的长）为2m，求小桥所在圆的半径。
【培优训练】
9.（14分）如图，在⊙上位于直径的异侧有定点和动点，，点在半圆弧上运动（不与两点重合），过点作直线的垂线交于点。
（1）如图1，求证：△∽△。
（2）当点运动到什么位置时，△≌△？请在图2中画出△并说明理由。
（3）如图3，当点运动到时，求的度数。
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