第26讲与圆有关的位置关系
【考点总汇】
一、点与圆的位置关系
1.设圆的半径为，点到圆心的距离为。则：点在圆外；点在圆上；点在圆内。
2.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定圆。
3.三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三边的的交点。
微拨炉：
1.共线的三点不能确定圆。 2.三角形的外心可能在三角形内部或外部或边上，且到三个顶点的距离相等。 二、直线与圆的位置关系
1.三种位置关系：、、。
2.切线的定义、性质与判定：
（1）定义：和圆有公共点的直线。
（2）性质：圆的切线过切点的直径。
（3）判定：经过半径的外端，并且于这条半径的直线是圆的切线。
3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的夹角。
微拨炉：
1.判定圆的切线，有切点时，用判定定理，无切点时，用数量关系。 2.切线长是指连接圆外一点和经过这点所作的切线的切点的线段的长度。 三、三角形的内切圆
1.定义：与三角形各边都的圆。
2.三角形的内心：三角形的圆心，是三角形三条的交点。
微拨炉：
1.三角形的内心一定在三角形的内部，且到三角形三边的距离相等。 2.正确区分三角形的内心与外心。
高频考点1、与圆有关的位置关系
【范例】已知⊙的半径是6cm，点到同一平面内直线的距离为5cm，则直线与⊙的位置关系是（）
A.相交B.相切C.相离D.无法判断
得分要领：
直线与圆的三种位置关系：
设圆的半径为，圆心到直线的距离为。
①直线与圆相交；②直线与圆相切；③直线与圆相离。
【考题回放】
1.已知⊙的半径，设圆心到直线的距离为，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则。其中正确命题的个数是（）
A.1B.2C.3D.5
2.如图，在矩形中，，是边上一点，且，⊙经过点，与边所在直线相切于点（为锐角），与边所在直线相交于另一点，且。当边或所在的直线与⊙相切时，的长是。
高频考点2、圆的切线的判定
【范例】如图，⊙的直径为10cm，弦为6cm，分别是的平分线与⊙的交点，为延长线上一点，且。
（1）求的长。
（2）试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由。
得分要领：
1.切线判定的两种思路
①“连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点时，则连接半径，证半径与直线垂直。
②“作垂直，证等径”：若未给出直线和圆有公共点时，可过圆心作出直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径。
2.在圆中求线段长度往往借助直角三角形解决。
【考题回放】
1.如图，是⊙的直径，点是上的一点，。
（1）求证：是⊙的切线。
（2）已知，，求的长。
2.如图，分别是⊙的直径和弦，于点，过点作半⊙的切线，与的延长线交于点，连接并延长与的延长线交于点。
（1）求证：是⊙的切线。
（2）若，，求线段的长。
高频考点3、圆的切线的性质的应用
【范例】如图，是⊙的直径，点在⊙上，过点作⊙的切线。
（1）求证：。
（2）延长到，使，连接与交于点，若⊙的半径为3，，求△的外接圆的半径。
得分要领：
由于切线垂直于过切点的半径，所以当有圆的切线时，常作过切点的半径，即“过切点，连半径”，将切线条件转化为垂直条件。
【考题回放】
1.如图，是⊙的弦，是⊙的切线，为切点，经过圆心，若，则的大小等于（）
A.20B.25C.40D.50
第1题第2题
2.如图，直角与⊙相切于点，弦∥，为圆上的两点，且，若⊙的半径为，，则弦的长为（）
A.B.C.D.
3.如图，Rt△中，，，，以斜边上的一点为圆心所作的半圆分别与相切于点。则为（）
A.2.5B.1.6C.1.5D.1
第3题第4题
4.如图，⊙的半径为3，是延长线上一点，，切⊙于点，则。
5.如图，直线与⊙相切于点，且∥，则。
第5题第6题
6.如图，为⊙外一点，与⊙相切，切点为，为⊙的直径，连接。若⊙的半径为2，，则。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】如图，直线相交于点，，半径为1cm的⊙的圆心在射线上，且与点的距离为6cm，如果⊙以1cm/s的速度沿由向的方向移动，那么⊙与直线相切时运动的时间为秒。
解：如图，作于点。
若⊙与直线相切，则…………………②
∵∴（cm）
∴⊙需要移动：6－2＝4（cm）………………………③
∴需要的时间为：（s）
答案：4。…………………………④
【规避策略】
1.注意考虑问题要全面，⊙与直线相切应分在点的左边或右边两种情况讨论求解。
2.在已知运动的圆与直线相切时，要注意是否分情况讨论，不要遗漏其中一种情况。
【实战演练】
1.如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦与小圆相切于点，则的长为（）
A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm
2.已知圆的直径等于8cm，一条直线与圆有公共点，圆心到直线的距离为，则（）
A.cmB.cmC.cmD.cm
3.如图，△中，，，，分别是的中点，则以为直径的圆与的位置关系是（）
A.相交B.相切C.相离D.无法确定
第3题第4题
4.如图，圆与正方形的两边相切，且与圆相切于点。若圆的半径为5，且，则的长度为（）
A.B.C.D.
5.如图，为⊙的直径，是⊙的切线，，点是边上（点不与点、点重合）的一个动点，某学习小组根据对点的不同位置的探究，给出下列结论，其中一定错误的是（）
A.B.C.D.
6.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在轴，轴上，以为弦的⊙与轴相切，若点的坐标为（0，8），则圆心的坐标为（）
A.（4，－5）B.（5，－4）C.（－5，4）D.（－4，5）
第6题第7题第8题
7.如图，已知△内接于⊙，是⊙的直径，与⊙相切，切点为，若，则。
8.如图，线段垂直射线于点，，⊙的半径是2，将绕点沿顺时针方向旋转，当与⊙相切时，旋转的角度为。
9.如图，已知是⊙的直径，，连接，弦∥，直线交直线于点。
（1）证明：直线是⊙的切线。
（2）若，，，求的长。
10.如图，已知是⊙的直径，且，是半圆的切线，点是半圆上的一动点（不与点重合），过点作于点，记。
（1）当时，求的长。
（2）当为何值时，与⊙相切？
说明理由。
（3）当时，求的值。
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.如图，是⊙的直径，弦于点，直线与⊙相切于点，则下列结论中不一定正确的是（）
A.B.∥C.∥D.
第1题第2题第3题
2.如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为1，则直线与⊙的位置关系是（）
A.相离B.相切C.相交D.以上三种情况都有可能
3.如图，为⊙的直径，为⊙外一点，过作⊙的切线，切点为，连接交⊙于，，点在右侧的半圆周上运动（不与重合），则的大小是（）
A.19B.38C.52D.76
4.如图所示，分别表示三个村庄，m，m，m，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个健身活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心的位置应在（）
A.中点B.中点
C.中点D.的平分线与的交点
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.在Rt△中，，直角边cm，以为圆心，3cm为半径作圆，则⊙与的位置关系是。
6.如图，Rt△中，，，，则△的内切圆半径。
第6题第7题
7.如图，在Rt△中，是直角，，，是边上的动点，设，若能在边上找到一点，使，则的取值范围是。
三、解答题（共26分）
8.（12分）如图，已知是⊙外一点，交⊙于点，，弦，劣弧的度数为120，连接。
（1）求的长。
（2）求证：是⊙的切线。
【培优训练】
9.（14分）如图（1）所示，是⊙的直径，是弦，直线和⊙相切于点，，垂足为。
（1）求证：。
（2）若把直线向上平行移动，如图（2）所示，交⊙于，两点，若题中的其他条件不变，这时与相等的角是哪一个？为什么？
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