第27讲圆的有关计算
【考点总汇】
一、正多边形和圆
1.定义：各边，各角也都的多边形是正多边形。
2.正多边形和圆的关系：把一个圆，依次连接可作出圆的内接正边形。
微拨炉：
1.“各边相等”的多边形未必都是正多边形，如菱形；“各角相等”的多边形也未必都是正多边形，如矩形。 2.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 二、圆中的弧长与扇形面积
1.半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式为。
2.扇形面积：
（1）半径为的圆中，圆心角为的扇形面积为。
（2）半径为，弧长为的扇形面积为。
（3）判定：经过半径的外端，并且于这条半径的直线是圆的切线。
3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的夹角。
微拨炉：
1.弧长和扇形的面积公式中，是表示“1”的圆心角的倍数，不带单位。 2.在弧长公式中，已知中的任意两个量，都可以求得第三个量。 三、圆锥的相关计算公式
设圆锥的母线长为，底面半径为，则有：
1.定义：。2.。
微拨炉：
公式中的是母线长而不是弧长。
高频考点1、正多边形和圆的有关计算
【范例】如图，在正五边形中，连接，交于点，连接，下列说法不正确的是（）
A.△的周长等于B.平分
C.D.
得分要领：
正多边形的有关计算的常用公式
1.有关角的计算：正边形的中心角。
2.有关边的计算：
①（表示边心距，表示半径，表示边长）。
②（表示周长，表示边数，表示边长）。
【考题回放】
1.正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）
A.B.C.D.
2.如图1，正六边形的边长为，是边上一动点，过作∥交于，
作∥交于，
（1）①。②求证：。
（2）如图2，点是的中点，连接。求证：。
（3）如图3，点是的中点，平分，判断四边形是否为特殊四边形，并说明理由。
高频考点2、弧长和扇形面积的有关计算
【范例】如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径的长是（）
A.B.
C.D.
得分要领：
1.在解决弧长和扇形的相关计算问题时，首先找出扇形的圆心角与半径。
2.熟练掌握弧长公式及扇形面积公式是解决问题的关键。
【考题回放】
1.如图，在△中，，，，将△绕直角顶点逆时针旋转60得△，则点转过的路径长为（）
A.B.C.D.
2.圆心角为120，弧长为12的扇形半径为（）
A.6B.9C.18D.36
3.已知扇形的圆心角为45，半径长为12，则该扇形的弧长为（）
A.B.C.D.
4.在圆心角为120的扇形中，半径cm，则扇形的面积是（）
A.cmB.cmC.cmD.cm
5.如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形。则cm。
高频考点3、与圆有关的阴影面积的计算
【范例】如图，在△中，，是边上的一点，连接，使，是上的一点，以为直径的⊙经过点。
（1）求证：是⊙的切线。
（2）若，⊙的半径为2，求阴影部分的面积。（结果保留根号和）
得分要领：
1.求不规则图形的面积时，常转化为几个规则的图形面积的和与差。
2.本题需明确阴影部分的面积＝直角三角形的面积一扇形的面积。
【考题回放】
1.如图，菱形的对角线相交于点，，，以为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为（）
A.B.C.D.
第1题第2题
2.如图，是⊙的直径，弦，，，则（）
A.B.C.D.
3.如图，在□中，以点为圆心，的长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，延长与⊙相交于点。若的长为，则图中阴影部分的面积为。
第3题第4题
4.如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90的最大扇形，则：
（1）的长为米。
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为米。
【巧思妙解】巧用转化思想解题
【例题】如图，以等腰直角△两锐角顶点为圆心作等圆，⊙与⊙恰好外切，若，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）
A.B.C.D.
解：选B。∵在等腰直角三角形中，∴，
∴圆的半径为，又∵，
∴。
【实战演练】
1.一个扇形的弧长为5，它的圆心角为100，则该扇形的半径为（）
A.B.C.D.
2.如图，将含60角的直角三角形绕顶点顺时针旋转45后得到△，点经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分面积是（）
A.B.C.D.
第2题第3题
3.如图，是⊙的直径，点为的中点，，，则图中阴影部分的面积之和为（）
A.B.C.D.
4.半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（）
A.cmB.cmC.8cmD.4cm
5.如图，在Rt△中，，，分别以为圆心，以为半径画弧，三条弧与边所围成的阴影部分的面积是。
第5题第6题第7题
6.如图，△中，，，与⊙相切于点，则图中阴影部分的面积是
（结果保留）
7.如图，△是正三角形，曲线叫做正三角形的渐开线，其中弧，弧，弧的圆心依次是，如果，那么曲线的长是。
【限时小测】建议用时40分钟。总分60分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.如图，要拧开一个边长为cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为（）
A.cmB.cmC.cmD.cm
第1题第2题
2.如图，正方形中，分别以为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）
A.B.C.D.
3.如图，菱形的对角线分别为，，以为圆心的弧与相切，则阴影部分的面积是（）
A.B.C.D.
第3题第4题
4.如图，扇形的半径为1，，以为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为（）
A.B.C.D.
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上点处，折痕交于点，则整个阴影部分的周长为，
面积为。
6.如图，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60的扇形，则扇形的周长为。
第6题第7题
7.如图，在矩形中，，，把该矩形绕点顺时针旋转度得矩形，点落在的延长线上，则图中阴影部分的面积是。
三、解答题（共36分）
8.（8分）如图，点都在半径为6的⊙上，过点作∥交的延长线于点，连接，已知。
（1）求证：是⊙的切线。
（2）求弦的长。
（3）求图中阴影部分的面积。
9.（8分）如图，在Rt△中，，，，线段为半圆的直径，将Rt△沿射线方向平移，使斜边与半圆相切于点，得△，与交于点。
（1）求的长。
（2）求Rt△与△重叠（阴影）部分的面积。
10.（10分）如图，在正方形中，，是的中点，将△绕点逆时针旋转90后，点落在的延长线上点处，点落在点处。再将线段绕点顺时针旋转90得线段，连接。
（1）求证：∥。
（2）求点，点在旋转过程中形成的，与线段所围成的阴影部分的面积。
【培优训练】
11.（10分）如图，是⊙的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交⊙于，连接。
（1）判断与⊙的位置关系，并证明你的结论。
（2）若是的中点，⊙的半径为1，求图中阴影部分的面积。
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