第29讲数据的分析
【考点总汇】
一、数据的代表
1.平均数
（1）算术平均数：如果有个数，，…，，那么。
（2）加权平均数：若个数，，，…，的权分别是，，，…，，则叫做这个数的加权平均数。
2.中位数：将一组数据按照从小到大（或由大到小）的顺序排列后，若有奇数个数时，则取的一个数为中位数；若有偶数个数时，则取中间两个数的为中位数。
3.众数：一组数据中出现的数据，称为该组数据的众数。
微拨炉：
1.平均数的计算用到所有数据，在现实生活中较为常用，但它受极端值的影响较大。 2.中位数：（1）一组数据的中位数只有一个，不一定出现在这组数据中。（2）中位数与数据的排列位置有关，排列顺序由大到小或由小到大。 3.众数：一组数据的众数一定出现在这组数据中，并且可能不止一个，众数的单位与这组数据的单位相同。 二、数据的波动
方差：个数据，，…，的平均数为，则这组数据的方差为。
微拨炉：
1.方差反映了一组数据的波动大小，是指数据在它的平均数附近波动的情况。 2.只有当两组数据的平均数相同或相近时，比较方差才有意义。
高频考点1、平均数、众数、中位数的计算与应用
【范例】（1）期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”。上面两位同学的话能反映出的统计量是（）
A.众数和平均数B.平均数和中位数C.众数和方差D.众数和中位数
（2）雷霆队的杜兰特当选为2013－2014赛季NBA常规赛MVP。下表是他8场比赛的得分情况，则这8场比赛得分的众数与中位数分别是（）
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 30 28 28 38 23 26 39 42 A.29，28B.28，29C.28，28D.28，27
得分要领：
1.中位数要注意一定要按照大小顺序排列后，再根据奇（偶）数个数据求得。
2.平均数、中位数都只有一个，众数可以有多个。
3.求众数容易错认为是出现次数最多的数据的次数。
【考题回放】
1.若7名学生的体重（单位：kg）分别是40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是（）
A.44B.45C.46D.47
2.一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是（）
A.6B.7C.8D.9
3.某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试。他们的成绩如表所示：
候选人 甲 乙 丙 丁 测试成绩
（百分制） 面试 86 92 90 83 笔试 90 83 83 92 如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，根据四人各自的平均成绩，公司将录取（）
A.甲B.乙C.丙D.丁
4.有19位同学参加歌咏比赛，成绩互不相同，前10名的同学进入决赛，某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的（）
A.平均数B.中位数C.众数D.方差
5.已知一组数据：0，2，，4，5的众数是4，那么这组数据的中位数是。
高频考点2、方差的应用
【范例】一组数据6，4，，3，2的平均数是5，这组数据的方差为（）
A.B.C.D.
得分要领：
1.当分析数据的波动大小，稳定性大小，是否整齐时用方差来衡量。
2.只有在几组数据的平均数相等或接近的情况下，才可用方差比较数据的波动大小。
3.方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。
【考题回放】
1.数据－2，－1，0，1，2的方差是（）
A.B.C.D.
2.某校将举办一场“中国汉字听写大赛”，要求每班推选一名同学参加比赛，为此，初三（1）班组织了五轮班级选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是96分，甲的成绩的方差是0.2，乙的成绩的方差是0.8，根据以上数据，下列说法正确的是（）
A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定
C.甲、乙两人的成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
3.我市射击队为了从甲、乙两名运动员中选出一名运动员参加省运动会比赛，组织了选拔测试，两人分别进行了五次射击，成绩（单位：环）如下：
甲 10 9 8 9 9 乙 10 8 9 8 10 则应选择运动员参加省运动会比赛。
4.一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，，4，5，若这组数据的中位数为3，则这组数据的方差是。
5.甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是：，，则射击成绩较稳定的是（填“甲”或“乙”）。
高频考点3、“三数”与统计图表的综合应用
【范例】某厂为了了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平，随机抽取了50名工人加工的零件进行检测，统计出它们各自加工的合格品数是1到8这八个整数。现提供统计图的部分信息如图，请解答下列问题：
（1）根据统计图：求这50名工人加工出的合格品数的中位数。
（2）写出这50名工人加工合格品数的众数的可能取值。
（3）厂方认定，工人在单位时间内加工出的合格品数不低于3件为技能合格，否则，将接受技能再培训。已知该厂有同类工人400名，请估计该厂将接受技能再培训的人数。
得分要领：
1.处理统计图与“三数”问题的题目，读懂统计图是解题的关键。
2.切记众数不是某一数据出现的次数，众数可以有多个。
3.在解决实际问题中，要根据问题的不同环境、条件等具体分析。
【考题回放】
1.某班数学兴趣小组10名同学的年龄情况如下表：
年龄（岁） 12 13 14 15 人数 1 4 4 1 则这10名同学年龄的平均数和中位数分别是（）
A.13.5，13.5B.13.5，13C.13，13.5D.13，14
2.在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图。则这组数据的众数、中位数、方差依次为（）
A.18，18，1B.18，17.5，3
C.18，18，3D.18，17.5，1
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】商店某天销售了13双运动鞋，其尺码统计如下表：
尺码（单位：码） 38 39 40 41 42 数量（单位：双） 2 5 3 1 2 则这13双运动鞋尺码的众数和中位数分别是（）
A.39码、39码B.39码、40码C.40码、39码D.40码、40码
解：选B。这13个数据中出现次数最多的是39，共出现了5次，所以众数是39。
数据40在表中处于中间位置，且表中数据按由小到大的顺序排列，因此中位数是40。
【规避策略】
1.正确理解众数和中位数的概念是解答的关键。
2.认真审题，读懂表格中数据的含义。
【实战演练】
1.相山实初有7名同学参加百米竞赛预赛成绩各不相同，取前3名参加决赛，小红已经知道自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需知道7名同学成绩的（）
A.中位数B.众数C.平均数D.极差
2.为了备战2014年优育中考，某中学举行了第一次中考体育模拟测试，如表是该校九（4）班6位同学1分钟跳绳成绩：
学生 成绩（个） 156 174 164 148 156 182 这组数据中，众数和中位数分别是（）
A.156，156B.160，174C.156，160D.148，182
3.一组数据3，4，，3，4，7的众数是3，则这组数据的平均数、中位数分别为（）
A.3，5，4B.3，4C.4，3，5D.4，3
4.某市5月1－5日的最高气温如下（单位：℃）28，29，31，29，33，对这组数据，下列说法错误的是（）
A.中位数是31B.众数是29C.平均数是30D.方差是3.2
5.一组数据的方差为9，将这组数据中的每个数据扩大3倍，得到一组新数据的方差是（）
A.9B.27C.81D.243
6.在一周内，小明坚持自测体温，每天3次。测量结果统计如下表：
体温（℃） 36.1 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 次数 2 3 4 6 3 1 2 则这些体温的中位数是℃。
7.某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：
环数 7 8 9 人数 3 4 已知该小组的平均成绩为8环，那么成绩为9环的人数是。
8.某中学五班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据。下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3：4：4：8：6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人。
（1）他们一共调查了多少人？
（2）这组数据的众数、中位数各是多少？
（3）从该班任选一人，捐款数不低于25元的概率是多少？
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.在某次体育测试中，九（1）班6位同学的立定跳远成绩（单位：m）分别为1.71，1.85，1.85，1.95，2.10，2.31，则这组数据的众数是（）
A.1.71B.1.85C.1.90D.2.31
2.我市五月份连续五天的最高气温分别为23，20，20，21，26（单位：℃），这组数据的中位数和众数分别是（）
A.22，26B.21，20C.21，26D.22，20
3.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同。其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）
A.众数B.方差C.平均数D.中位数
4.某校为了了解七年级学生的身高情况（单位：cm，精确到1cm），抽查了部分学生，将所得数据处理后分成七组（每组只含最低值，不含最高值），并制成下列两个图表（部分）：
分组 一 二 三 四 五 六 七 104~145 145~50 150~155 155~160 160~165 165~170 170~175 人数 6 12 26 4 根据以上信息可知，样本的中位数落在（）
A.每二组B.每三组C.每四组D.每五组
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.某校举行健美操比赛，甲、乙两班各选20名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是1.65米，其方差分别是，，则参赛学生身高比较整齐的班级是。
6.一组正整数2，3，4，从小到大排列，已知这组数据的中位数和平均数相等，那么的值是。
7.如果一组数据，，…，的方差是3，则另一组数据，，…，的方差是。
三、解答题（共26分）
8.（12分）（1）为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况进行一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图。
①请将条形统计图补充完整；
②求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；
③根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？
（2）为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：
图1甲、乙射击成绩统计表
平均数 中位数 方差 命中10环的次数 甲 7 0 乙 1 图2甲、乙射击成绩折线图
①请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；
②如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；
③如果希望②中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什么？
【培优训练】
9.（14分）在对全市初中生进行的体质健康测试中，青少年体质研究中心随机抽取的10名学生的坐位体前屈的成绩（单位：厘米）如下：
11.210.511.410.211.411.411.29.512.010.2
（1）通过计算，样本数据（10名学生的成绩）的平均数是10.9，中位数是，众数是。
（2）一个学生的成绩是11.3厘米，你认为他的成绩如何？说明理由。
（3）研究中心确定了一个标准成绩，等于或大于这个成绩的学生该项素质被评定为“优秀”等级。如果全市有一半左右的学生能够达到“优秀”等级，你认为标准成绩定为多少？说明理由。
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