第30讲概率初步
【考点总汇】
一、确定性事件与随机事件
1.必然事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中发生的事件。
2.不可能事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中发生的事件。
3.随机事件：在一定条件下，的事件。
微拨炉：
随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同，但其发生的可能性大小都介于0与1之间。 二、事件的概率及求法
1.随机事件的概率：对于一个随机事件，我们把刻画其发生的数值，称为随机事件发生的概率，记为。
2.概率的求法：如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都，事件包含其中种结果，那么事件发生的概率。
3.事件发生的概率的取值范围是。特别地，（1）当为必然事件时，。（2）当为不可能事件时，。（3）当为随机事件时，的范围是：。
4.求概率的方法：用频率估计概率、列举法、列表法、画树状图法。
微拨炉：
1.常见的试验有以下两个共同特点：（1）每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；（2）每一次试验中，各种结果发生的可能性相等。 2.在中，由和的含义可知，进而，因此。 三、用频率估计概率
在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么事件发生的概率为，其中满足。
微拨炉：
事件的频率与概率既有联系又有区别，事件的频率与概率既非常接近，但不一定相等，当在相同的条件下，可以用事件的频率估计事件的概率，试验的次数越多，事件的频率就接近于事件的概率。
高频考点1、事件的类型及其发生可能性大小
【范例】下列事件中是必然事件的是（）
A.明天太阳从西边升起B.篮球队员在罚球线投篮一次，未投中
C.实心铁球投入水中会沉入水底D.抛出一枚硬币，落地后正面向上
得分要领：
1.事件肯定会发生，是确定性事件；事件根本不会发生，也是确定性事件。
2.对于确定性事件，肯定发生的是必然事件，肯定不会发生的是不可能事件。
3.根据描述事件的句子的正确性，可以判断事件是必然事件或不可能事件。即若这句话是正确的，是必然事件；若这句话是错的，是不可能事件。
【考题回放】
1.下列说法中不正确的是（）
A.抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B.把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件
C.任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件
D.一只盒子中有白球个，红球6个，黑球个（每个球除了颜色外都相同）。如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么与的和是6
2.某品牌电插座抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是（）
A.购买100个该品牌的电插座，一定有99个合格
B.购买100个该品牌的电插座，一定有10个不合格
C.购买20个该品牌的电插座，一定都合格
D.即使购买1个该品牌的电插座，也可能不合格
3.下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360。其中是随机事件的是。（填序号）
高频考点2、概率的计算
【范例】如图，管中放置着三根同样绳子，，。
（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率是多少？
（2）小明先从左端三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子连接成一根长绳的概率。
得分要领：
1.运用公式求简单事件发生的概率，即找到事件所有可能的结果种数和使事件发生的种数，再将两者相除，得到结果。切忌搞错两者之间的关系。
2.列表法或画树状图法要做到不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，再求出概率。
【考题回放】
1.已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和个黄球，这些球除颜色外其余都相同。若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则等于（）
A.1B.2C.3D.4
2.如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（）
A.B.C.D.
3.一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球。
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率。
（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数。
高频考点3、概率的应用
【范例】第十五届中国“西博会”将于2014年10月底在成都召开，现在20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人。
（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率。
（2）若该分会场的的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加。试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由。
得分要领：
游戏公平性的判断的三个步骤
1.画出树状图（或列出表格）。
2.根据概率公式求出事件的概率。
3.比较是否相等即可求得答案（或根据概率求其得分，得分相等就公平，否则就不公平）。
【考题回放】
1.如图，随机闭合开关，，中的两个，则能让两盏灯泡同时
发光的概率为（）
A.B.C.D.
2.小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔（不放回），若两人所取笔的颜色相同，则小明胜，否则，小军胜。
（1）请用树状图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果。
（2）请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利。
3.有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向大的数字获胜。现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？
AB
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】经过某处路口的汽车，它可能继续直行或向右转，若两种可能性大小相同，则两辆汽车经过该路口全部直行的概率为。
解：因为汽车经过某外路口可直行或向右转，且两种可能性大小相同，
所以两辆汽车经过该路口全部起先的概率为。
答案：
【规避策略】
1.注意求两步及两步以上的事件的概率要画树状图或列表把所有情况都列举出来，不要想当然作答。
2.要认真审题，细心解答。
【实战演练】
1.下列事件中，是必然事件的为（）
A.抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
B.淮南市7月份某一天的最低气温是－2℃
C.通常加热到100℃时，水沸腾
D.打开电视，正在播放节目《男生女生向前冲》
2.一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有个（）
A.45B.48C.50D.55
3.如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃。已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）
A.B.C.D.
4.“递减数”是一个数中右边数字比左边数字小的自然数（如：32，421，9732等），任取一个两位数，是“递减数”的概率是（）
A.B.C.D.
5.在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（）
A.B.C.D.
6.在1，2，3，4四个数字中随机选两个不同的数字组成两位数，则组成的两位数大于40的概率是。
7.袋中装有4个完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余3个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数是3的倍数的概率为。
8.甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有2个白球，1个黄球和1个蓝球；乙盒中有1个白球，2个黄球和若干个蓝球。从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍。
（1）求乙盒中蓝球的个数。
（2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率。
9.为迎接市教育局开展的“学雷锋．做有道德的人”主题演讲活动，某区教育局团委组织各校学生进行演讲预赛，然后将所有参赛学生的成绩（得分为整数，满分为100分）分成四组，绘制了不完整的统计图表如下：
组别 成绩 组中值 频数 第一组 95 4 第二组 85 第三组 75 8 第四组 65 观察图表信息，回答下列问题：
（1）参赛学生共有人。
（2）如果将各组的组中值视为该组的平均成绩，请你估算所有参赛学生的平均成绩。
（3）小娟说：“根据以上统计图表，我可以确定所有参赛学生成绩的中位数在哪一组，但不能确定众数在哪一组？”你同意她的观点么？请说明理由。
（4）成绩落在第一组的恰好是两男两女四位学生，区团委从中随机挑选两位学生参加市教育局组织的决赛，通过列表或画树状图求出挑选的两位学生恰好是一男一女的概率。
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.下列事件是必然事件的是（）
A.有两边及一角对应相等的两个三角形全等
B.方程有两个不等实根
C.面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比也是1：4
D.圆的切线垂直于切点的半径
2.NBA2013－2014赛季中，火箭队球员林书豪罚球投篮的命中率大约是83.3%。下列说法错误的是（）
A.林书豪罚球投篮2次，一定全部命中
B.林书豪罚球投篮2次，不一定全部命中
C.林书豪罚球投篮1次，命中的可能性较大
D.林书豪罚球投篮1次，不命中的可能性较小
3.如图，在一块菱形菜地中，对角线与相交于点，若在菱形菜地内均匀地撒上种子，则种子落在阴影部分的概率是（）
A.B.C.D.
4.随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，掷得面朝上的点数之和是5的概率是（）
A.B.C.D.
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为。
6.有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这线张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是。
7.已知可以取－2，－1，1，2中的任意一个值（），则直线的图象不经过第四象限的概率是。
三、解答题（共30分）
8.（12分）甲乙两同学玩转盘游戏时，把质地相同的两个盘分别平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图。游戏规则：甲乙两同学分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲胜；数字之和为奇数时乙胜。若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转盘。
（1）用树状图或列表的方法，求甲获胜的概率。
（2）这个游戏规则公平吗？请判断并说明理由。
【培优训练】
9.（14分）2014年5月，我市某中学举行了“中国梦．校园好少年”演讲比赛活动。根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并给出不完整的两种统计图。
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有人，并把条形图补充完整。
（2）扇形统计图中，，；C等级对应的扇形的圆心角为度。
（3）学校欲从获A等级的学生中随机抽取2人，参加市举办的演讲比赛。请利用列表法或树形图法，求获得A等级的小明参加市比赛的概率。
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