初中数学中考高难度压轴题专项
Jeason_Lan
题号 一、综合题 总分 得分
评卷人 得分 一、综合题
（每空？分，共？分）
1、平面直角坐标系中，有A、B、C三点，其中A为原点，点B和点C的坐标分别为（5，0）和（1，2）．
（1）证明：△ABC为Rt△．
（2）请你在直角坐标系中找一点D，使得△ABC与△ABD相似，写出所有满足条件的点D的坐标，并在同一坐标系中画出所有符合要求的三角形．
（3）在第（2）题所作的图中，连接任意两个直角三角形（包括△ABC）的直角顶点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，求取到长度为无理数的线段的概率．
2、如图，抛物线与双曲线相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（－2,2），点B在第四象限内.过点B用直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，记抛物线顶点为E.
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
3、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.???
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
???(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD
向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
???①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值.
???????????????????????????????
4、如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．
5、已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
?
6、已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
?
7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，AP=?????，点Q到AC的距离是?????；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C?时，请直接写出t的值．
?
8、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．??
（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；?????
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？??????
（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
9、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。
?（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
10、如图，为⊙的直径，于点，交⊙于点，于点．
（1）请写出三条与有关的正确结论；
（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．
参考答案
一、综合题
1、【考点】相似形综合题；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式．
【专题】综合题；分类讨论．
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于H，如图1，只需运用勾股定理求出AB2、AC2、BC2，然后运用勾股定理的逆定理就可解决问题；
（2）△ABC与△ABD相似，对应关系不确定，故需分六种情况（①若△ABC∽△ABD，②若△ABC∽△BAD，③若△ABC∽△ADB，④若△ABC∽△DAB，⑤若△ABC∽△BDA，⑥若△ABC∽△DBA）讨论，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（3）图中的直角三角形的直角顶点有A、B、C、D1、D2、D3，只需求出任意两直角顶点的连线段的条数和长度为无理数的线段的条数，就可解决问题．
【解答】解：（1）过点C作CH⊥x轴于H，如图1，
∵A（0，0），B（5，0），C（1，2），
∴AC2=12+22=5，BC2=（5﹣1）2+22=20，AB2=52=25，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC为Rt△；
（2）①若△ABC∽△ABD，则有D1（1，﹣2）；
②若△ABC∽△BAD，则有D2（4，﹣1），D3（4，1）；
③若△ABC∽△ADB，则有D4（5，﹣10），D5（5，10）；
④若△ABC∽△DAB，则有D6（5，﹣2.5），D7（5，2.5）；
⑤若△ABC∽△BDA，则有D8（0，﹣10），D9（0，10）；
⑥若△ABC∽△DBA，则有D10（0，﹣2.5），D11（0，2.5）；
所有符合要求的三角形如图所示．
（3）图中的直角三角形的直角顶点有A、B、C、D1、D2、D3．
任意两直角顶点的连线段共有=15条，
其中AB=5，CD1=D2D3=4，CD2=D1D3=5，CD3=D1D2=3，
故长度为有理数的线段共7条，长度为无理数的线段共8条，
则取到长度为无理数的线段的概率为p=．
?
2、（1）∵点A（－2,2）在双曲线上
∴
∴双曲线的解析式为???????????????????????????????????????…………2分
∵直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍
∴可设B点的坐标为（m，－4m）（m＞0），代入双曲线解析式即可得到m=1.
∴抛物线过点A（－2,2）、B（1，－4）、O（0,0）
∴∴
∴抛物线的解析式为.?????????????????????????????????…………4分
（2）∵物线的解析式为.
∴顶点，对称轴为
∵B（1，－4）
∴，解之得：
∴C（－4，－4）
∴
由A、B两点坐标为（－2，2）、（1，－4）可求得直线AB的解析式为
设抛物线对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为
∴
∴.??????????????????????????…………8分
（3）∵
∴
∴当点D与点C重合时，显然满足条件
当当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线，其对应的一次函数解析式为
令
解之得：
当时，
∴存在另一点D（3，－18）满足条件.?????????????????????????????…………12分
3、?(1)点A的坐标为（4，8）???????????????
将A?(4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx
????????????8=16a+4b
???????得??????????????????????????
????????0=64a+8b
???????解得a=-,b=4
∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x?????????
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=
∴PE=AP=t．PB=8-t．
∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.
∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.
∴EG=-t2+8-(8-t)
???=-t2+t.
∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.????????????
②共有三个时刻.??????????????????????????????????
t1=，?t2=，t3=．?????????????????
?
4、解：（1）由抛物线C1：得
顶点P的为（-2，-5）??
∵点B（1，0）在抛物线C1上
∴
???????解得，a＝????????????
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G
∵点P、M关于点B成中心对称
∴PM过点B，且PB＝MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴顶点M的坐标为（4，5）????????????????
???????抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到
∴抛物线C3的表达式为?
（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称
????由（2）得点N的纵坐标为5
设点N坐标为（m，5）??????????
????作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G
????作PK⊥NG于K
????∵旋转中心Q在x轴上
∴EF＝AB＝2BH＝6
????∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）
????H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得
????PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104
????PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50
????NF2＝52+32＝34??????????????
????
①当∠PNF＝90o时，PN2+NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）?
②当∠PFN＝90o时，PF2+NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90o
综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点
的三角形是直角三角形．??????
5、解：（1）根据题意，得
解得．
．
（2）当时，
得或，
∵，
当时，得，
∴，
∵点在第四象限，∴
当时，得，∴，
∵点在第四象限，∴．
（3）
假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则
，点的横坐标为，
当点的坐标为时，点的坐标为，
∵点在抛物线的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴，
∴．
当点的坐标为时，点的坐标为，
∵点在抛物线的图象上，
∴，
∴，
∴，∴（舍去），，
∴，
∴．
6、解：（1）由已知，得，，
，
．
．设过点的抛物线的解析式为．
将点的坐标代入，得．
将和点的坐标分别代入，得
）
解这个方程组，得
故抛物线的解析式为
（2）成立．
点在该抛物线上，且它的横坐标为，
点的纵坐标为．
设的解析式为，
将点的坐标分别代入，得
??解得
的解析式为．
，．
过点作于点，
则．
，
．
又，
．
．
．
．
（3）点在上，，，则设．p(t,2)
，，．
①若，则，
解得．，此时点与点重合．
．
②若，则，
解得，，此时轴．
与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1，
点的纵坐标为．
．
③若，则，
解得，，此时，是等腰直角三角形．
过点作轴于点，
则，设，
．
．
解得（舍去）．
．
综上所述，存在三个满足条件的点，
即或或．
7、解：（1）1，；
（2）作QF⊥AC于点F，如图，
?
?AQ=CP=t，∴．
由△AQF∽△ABC，，
得．∴．
∴，
即．
（3）能．
??①当DE∥QB时，如图．
?
??∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
???此时∠AQP=90°．
由△APQ?∽△ABC，得，
即．解得．
②如图
?
当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP?∽△ABC，得，
即．解得．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
（4）或．
【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．
方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，．
由，得，解得．
方法二、由，得，进而可得
，得，∴．∴．
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图
?
，
8、解：
（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
?∴△AMN∽△ABC．
∴，即．
∴AN＝x．?
∴=．（0＜＜4）
（2）
如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=MN．
在Rt△ABC中，BC＝=5．
???由（1）知△AMN∽△ABC．
∴，即．?
∴，
∴．??
过M点作MQ⊥BC于Q，则．?
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．
∴．
∴，．
∴x＝．?
∴当x＝时，⊙O与直线BC相切．
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．
∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴△AMO∽△ABP．??
∴．AM＝MB＝2．?
故以下分两种情况讨论：
①当0＜≤2时，．?
∴当＝2时，?
②当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．
∵四边形AMPN是矩形，?
∴PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵MN∥BC，
∴四边形MBFN是平行四边形．
∴FN＝BM＝4－x．?
∴．
又△PEF∽△ACB．?
∴．
∴．
＝．
当2＜＜4时，．???
∴当时，满足2＜＜4，．????
综上所述，当时，值最大，最大值是2．
9、（1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A
???∴点A的坐标为（4，0）
???∵抛物线经过O、A两点
?????????
?解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A
???∴点A的坐标为（4，0）
???∵抛物线经过O、A两点
???∴抛物线的对称轴为直线
??????????
（2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA
???∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO
???又由（1）知抛物线的解析式为
???∴点D的坐标为（）
???①当时，
???如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D''
???∴点D''与点D也关于x轴对称
???∵点O在⊙D''上，且⊙D与⊙D''相切
???∴点O为切点???????∴D''O⊥OD
???∴∠DOA＝∠D''OA＝45°
∴△ADO为等腰直角三角形?????
∴点D的纵坐标为-2
?
???∴抛物线的解析式为
???②当时，
???同理可得：
???抛物线的解析式为
???综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或
（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得
???设点P的坐标为（x，y），且y＞0
①????当点P在抛物线上时（如图2）
???∵点B是⊙D的优弧上的一点
?????????
???过点P作PE⊥x轴于点E
???
???由解得：（舍去）
???∴点P的坐标为
???②当点P在抛物线上时（如图3）
???同理可得，
???由解得：（舍去）
???∴点P的坐标为
???综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为：
???或
10、解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦是直角三角形；⑧是等腰三角形．
（2）连结，则．
，，．
为⊙的直径，．
在中，，，．
，．
，是的中位线．
．
?
．
．
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