圆锥曲线与方程题型一定义运用1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线上一点到焦点的距离为1，是直线上的两点，且，的周长是6，则（
）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，，则，故抛物线的焦点坐标是，由抛物线的定义得，点到准线的距离等于
，即为，故点到直线的距离为.设点在直线上的射影为，则.当点在的同一侧（不与点重合）时，，不符合题意；当
点在的异侧（不与点重合）时，不妨设，则，故由，解得或，不符合题意，舍去，综上在两点中一定有一点与点重合，所以，故选
A.2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线与抛物线相交于，两点，为的焦点，若，则点到抛物线的准线的距离为（）A．B．
C．D．【答案】A【解析】由题意得，设抛物线的准线方程为，直线恒过定点，如图过分别作于，于，连接，由，则，点为的中点，因为点是的中
点，则，所以，所以点的横坐标为1，所以点的坐标为，同理可得点，所以点到抛物线准线的距离为，故选A.3．（2019·河南高考模拟
（理））已知抛物线的焦点为，为准线，点为抛物线上一点，且在第一象限，，垂足为，若直线的斜率为，则点到的距离为（）A.B.C
.D.2【答案】A【解析】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，则，由抛物线的定义得，所以为等边三角形，又，所以|AF|=4,所以
到的距离等于，故选：A.题型二标准方程1.（2019·天津市宁河区芦台第一中学高考模拟（理））已知双曲线的离心率，点是抛物线上的
一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为双
曲线的离心率，所以，设为抛物线焦点，则，抛物线准线方程为，因此到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于，因为，所以，即，即双曲
线的方程为，选B.2．（2019·天津南开中学高考模拟）已知双曲线的离心率为，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，其中为坐
标原点，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得?①，?可得?，设?，?渐近线为?，可得?到渐
近线的距离为?，由勾股定理可得??，因为的面积为，所以?②?，又?③，由①②③?解得?，所以双曲线的方程为?,故选C.3．（201
9·山东高考模拟（文））若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题得，因为方程表
示焦点在轴上的椭圆，所以.故选：D4．（2019·河南高考模拟（理））“”是“方程表示椭圆”的()A.充要条件B.充分不必要条
件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】】方程表示椭圆，即且所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件故选C
题型三直线与曲线的位置关系1．（2019·山东高考模拟（文））已知是关于的方程的两个不等实根，则经过两点的直线与椭圆公共点的个
数是（）A.B.C.D.不确定【答案】A【解析】因为是关于的方程的两个不等实根所以，且，直线的斜率直线的方程为即整理得
故直线恒过点，而该点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交，即公共点有2个。故选A.2．（2019·河南高考模拟（理））已知椭圆，设过点的
直线与椭圆交于不同的，两点，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设直线，
代入，得，因为直线与椭圆交于不同的，两点，所以，解得且.设，，则，，，因为为钝角，所以，解得，.综上所述：.故选：B3．（2019
·安徽高考模拟（理））已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于、B两点，则l斜率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B
【解析】双曲线的渐近线为，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率；当
直线斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率.故选B.题型四弦长1.（2019·湖南高考模拟（理））已知椭圆的左焦点为，过
点作斜率为的直线交椭圆于两点，则的长度为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由可知，直线AB为，联立，消元得，设则，根
据弦长公式得，故选C.2．（2019·陕西高考模拟（文））双曲线的一条弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程是（）A.B.C
.D.【答案】C【解析】设弦的两端点，，，，斜率为，则，，两式相减得，即，弦所在的直线方程，即．故选：C3．（2018·海南高考模
拟（文））直线交双曲线的右支于两点，设的中点为，为坐标原点，直线的斜率存在，分别为，则（）A.-1B.C.1D.【答案】C
【解析】双曲线的渐近线方程为y=±x．设直线l的方程为y=kx+b，∵直线l与双曲线有2个交点A，B，故而k≠±1．联立方程组，消
去y得（1﹣k2）x2﹣2kbx﹣b2﹣a=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则x1+x2=，∴x0==
，y0=kx0+b=．∴直线OC的斜率为==．∴=1．故选：C题型五定点1．（2019·内蒙古高考模拟（理））已知椭圆：离心率为
，直线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆方程；（2）设直线交椭圆于，两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.【答案】
（1）（2）见解析【解析】（1）由直线被椭圆截得的弦长为，得椭圆过点，即，又，得，所以，，即椭圆方程为.（2）由得，由，得.由，设
的中点为，得，即，∴.∴的中垂线方程为.即，故的中垂线恒过点.2．（2019·安徽省泗县第一中学高考模拟（文））已知椭圆：的离心率
为，且椭圆上一点的坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线恒过轴上一
定点.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由已知，又，则.椭圆方程为，将代入方程得，，故椭圆的方程为；（2）不妨设直线的
方程，联立消去得.设，，则有，①又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，∴，由，得，将，代入上式得，将①代入上式求得或（舍），则直线恒过
点.若直线斜率为0也符合条件，故直线恒过定点.题型六定值1.（2019·江西师大附中高考模拟（文））已知离心率为的椭圆过点，分别
为椭圆的右顶点和上顶点，点在椭圆上且不与四个顶点重合．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与轴交于，直线与轴交于，试探究是否为定值
？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）是定值，定值为：【解析】（1）由题意得：，解得：椭圆的标准方程为：
（2）点不与四个顶点重合直线的斜率存在且不为设，且，直线的方程为：直线的方程为：在椭圆上，为定值题型七最值1.（2017·山
东高考模拟（文））已知椭圆C：过点，左右焦点为，且椭圆C关于直线对称的图形过坐标原点。（I）求椭圆C方程；（II）圆D：与椭圆C交
于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F1R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆D的直径，且直线F1R的斜率大于1，求的取值范围.【
答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）∵椭圆过点，∴，①∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点，∴，∵，∴，②由①②得，∴椭圆的方程为.
（Ⅱ）因为为圆的直径，所以点：为线段的中点，设，，则，，又，所以，则，故，则直线的方程为，即，代入椭圆的方程并整理得，则，故直线的
斜率.设，由，得，设，，则有，.又，，所以=，因为，所以，即的取值范围是.2．（2019·天津高考模拟（文））已知椭圆的离
心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O
为坐标原点），求△AOB面积的最大值。【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（I）由题设：，解得∴椭圆C的方程为（Ⅱ）.设1.当ABx
轴时，2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为由已知，得把代入椭圆方程消去y，整理得,有,,,当且仅当，即时等号成立.当时，
综上所述，从而△AOB面积的最大值为题型八离心率与渐近线1.（2019·陕西西北工业大学附属中学高考模拟（理））已知双曲线的
渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】已知双曲线的渐近线方程为，且，所以，得.，所以双曲
线的离心率为.故选：B2．（2019·山东高考模拟（文））已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于、两点.若，点到直
线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为A．B．C．D．【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为，为短轴的上端点，连接，如下图所示：由椭
圆的对称性可知，关于原点对称，则又四边形为平行四边形又，解得：点到直线距离：，解得：，即本题正确选项：3．（2019·天津市
新华中学高考模拟（理））已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D
．【答案】C【解析】∵抛物线的焦点坐标F(1,0)，p=2，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=1，设P(m,n)，
由抛物线定义知：.∴P点的坐标为.，解得：.则渐近线方程为.故选：C.1．（2019·天津高考模拟（理））己知点A是抛物线与双曲线
的一条渐近线的交点，若点A到抛物线的准线的距离为p，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】设，则由双
曲线方程可得渐近线方程为：若为抛物线与交点，则，可得即：由对称性可知，为抛物线与交点时，结论一致本题正确选项：2．（2019·天
津高考模拟（理））已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线在轴上方的一个交点，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（）A.B.
C.D.【答案】B【解析】因为抛物线与双曲线有相同的焦点，所以,由，得解得，所以不妨设,则,因此，，或，因为点在轴上方，所以因此，
选B.3．（2017·全国高考模拟（理））已知定点及抛物线：,过点作直线与交于，两点,设抛物线的焦点为,则面积的最小值为（）A
．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】因为，设，代入抛物线方程得，，，故选B.4．（2019·安徽高考模拟（理））椭圆的左右焦点
分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【答案】A
【解析】由题意得：，且，又由勾股定理得：，解得：本题正确选项：5．（2017·湖北高考模拟（文））已知是椭圆与双曲线的公共焦点，
P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）A．B．3C．6D．【答案】C【
解析】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，又，，两式相减，可得：，，.，，当且仅当时等立，的最小值为6，故选:C．6．（201
9·河南高考模拟（理））已知椭圆：的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答
案】D【解析】如图，由题意可得，，则2b2＝c2，即2（a2﹣c2）＝c2，则2a2＝3c2，∴，即e．故选：D．7．（2019
·横峰中学高考模拟（文））过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若|AF|=3，则|BF|=()A．2B．C．1
D．【答案】B【解析】如图所示，设，及，则点到准线的距离为，得到，即，又由，整理得，故选B.8．（2019·山东高考模拟（文））已
知双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为，所
以，故选D.9．（2019·山东高考模拟（文））已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的方程为（
）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为抛物线的焦点为，所以双曲线的右焦点也为,则有，因为双曲线的渐近线方程为,所以可设其方程为
,因为,则,解得，则双曲线的方程为,故选B.10．（2019·河南高考模拟（理））抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴，直线过抛物
线的焦点，则该抛物线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得抛物线的焦点在轴，设抛物线的方程为。把焦点代入直
线。所以11．（2019·海南高考模拟（理））已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（）A．B．C
．D．【答案】A【解析】由，得.设，，则，，.又到直线的距离，则的面积，当且仅当，即时，的面积取得最大值.此时，.故选A12．
（2017·河北衡水中学高考模拟（文））已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方
程是A.B.C.D.【答案】D【解析】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得，，即，联立，解得，，故所求双曲
线的方程为．故选D．13．（2019·四川高考模拟（理））已知双曲线：及双曲线：，且的离心率为，若直线与双曲线，都无交点，则的值是
（）A.B.C.D.【答案】B【解析】双曲线：及双曲线：,是共渐近线的双曲线，则直线与双曲线，都无交点，只能是直线和双曲线重
合，渐近线方程为:因为，故得到值为.故答案为：B.14．（2019·天津高考模拟（文））已知P为抛物线上一点，点M，若，则△POM
（O为坐标原点）的面积为_____________【答案】【解析】∵抛物线C的方程为y2＝4x∴M（，0）为抛物线的焦点设P（m，
n）根据抛物线的定义，得|PM|＝m4，即m4，解得m＝3∵点P在抛物线C上，得n2＝4324∴n＝±2∵|OM|∴△POF的面积
为S|OM|×|n|＝2．故答案为：．15．（2019·山东高考模拟（文））椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线交椭圆于，
两点，的周长为8，则该椭圆的短轴长为__________.【答案】【解析】因为的周长为8，所以，因为离心率为，所以，由,解得，则
该椭圆的短轴长为，故答案为.16．（2017·黑龙江哈尔滨三中高考模拟（文））在平面直角坐标系中，已知椭圆：经过点和点，斜率为的直
线经过点且交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）当与面积比值为7，求实数的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）椭圆的标准方程为
（Ⅱ）设点M，N，有有且有那么有实数的值为.17．（2019·安徽省泗县第一中学高考模拟（理））已知椭圆：的离心率为，且椭圆
上一点的坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.【答案】（1）
；（2）【解析】（1）由已知，又，则.椭圆方程为，将代入方程得，，故椭圆的方程为；（2）不妨设直线的方程，联立消去得.设，，则有，
①又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，∴，由，得，将，代入上式得，将①代入上式求得或（舍），则直线恒过点.∴，设，则在上单调递增，当
时，取得最大值.18．（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为圆的圆心．(1)求椭圆
的方程；(2)若M，N为椭圆上的两个动点，直线OM，ON的斜率分别为，当时，△MON的面积是否为定值?若为定值，求出此定值；若不为
定值，说明理由．【答案】（1）（2）为定值，详见解析【解析】（1）由题意可知，，圆的圆心为，所以，因此，联立，解之，故椭圆的方程为
.（2）设，当直线的斜率存在时，设方程为，由，消可得，则有，即，，所以.点到直线的距离，所以.又因为，所以，化简可得，满足，
代入，当直线的斜率不存在时，由于，考虑到关于轴对称，不妨设，则点的坐标分别为,此时，综上，的面积为定值.法二：设，由题意，可
得，所以，而因为，所以，故为定值.19．（2019·天津高考模拟（文））已知椭圆（），为其左右焦点，为其上下顶点，已知椭圆过点
，且四边形的面积为2．（1）求椭圆的方程；（2）设过定点的直线与椭圆相交于两点，若，当时，求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵椭圆过点，∴，又∵四边形的面积为2，∴，结合，解得，，∴椭圆的方程为.（2）依题意，可设，联立得，设，，由，解得，且，，且易知，由可得，∴，则，∵，∴，∴，∴，满足，∴，?设，则，∴，∴，∵在递减，故关于递增，∴．20．（2019·河南高考模拟（文））已知椭圆：，为坐标原点，为椭圆的左焦点，离心率为，直线与椭圆相交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）若是弦的中点，是椭圆上一点，求的面积最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】∵，为椭圆的左焦点，设椭圆的焦距为，所以，∵离心率为，∴，又，所以，∴椭圆的方程为：.（2）设，.∵是弦的中点，∴直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为：，即.由联立，整理得：，因为直线与椭圆相交，所以成立.∴，，∴，∴，∴直线的方程为：，，，∴.要使的面积最大值，而是定值，需点到的距离最大即可.设与直线平行的直线方程为：，由方程组联立，得，令，得.∵是椭圆上一点，∴点到的最大距离，即直线到直线的距离.而，此时.因此，的面积最大值为. |
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