“借”“还”结合难题不难
江苏省兴化市张郭中心校华新
在解初中数学部分习题时，根据题目自身的特点，选择先借后还的解题策略，能巧妙地突破解题难点，使解题过程简捷迅速，现略举几例加以说明。
一．借数
例1:19992
分析：借来1给底数999，凑数1000，在还去1，这样用完全平方公式解题较为简便明快。
解：9992=（999+1-1）2=（1000-1）2=1000000-2000+1=998001
例2：计算（2+1）（22+1）（24+1）(28+1)(216+1)
分析：借来式子“2-1”，反复运用平方差公式，使解题过程简便快捷。
解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
=（28-1）（28+1）（216+1）+1
=（216-1）（216+1）+1
=232-1+1
=232
二．借式
例3：化简
分析：将原式借来代数式，再还去，能使解题柳暗花明。
解：原式=
=
=
=
=
例4：已知a、b、c为三角形三边，且a3+b3+c3-3abc=0,求证△ABC是等边三角形。
分析:：将原式借来3a2b和3ab2,再还去式子3a2b和3ab2，然后进行因式分解，结合非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数应同时为0，使问题简化，得出结论。
解：a3+b3+c3-3abc
=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=（a+b）3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=（a+b+c）[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)
=（a+b+c）(a2+b2-ab-bc-ac+c2)
==0
∵a、b、c为三角形三边，∴a+b+c>0
∴(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2=0
∴a-b=0b-c=0a-c=0
∴a=b=c
∴△ABC为等边三角形
三．借物
例5：某啤酒厂回收旧瓶的一种方法是6只空瓶换啤酒一瓶（含瓶），某人买60瓶啤酒，喝完后，用空瓶再换啤酒，这样此人可喝到啤酒多少瓶？
解析：60瓶啤酒喝完后，换回10瓶啤酒，再喝完后向邻居借两个空瓶又换回啤酒两瓶，最后喝完把2个空瓶归还邻居，这样，此人共喝到啤酒72瓶。
四．借图
例6：如图是一个直径微6cm的半圆，AB是直径，让A点不动，把整个半圆绕点A逆时针旋转600角，此时B点移动到B′，求图中阴影部分的面积。
解：∵S阴影+S半圆AB=S扇形ABB′+S半圆AB′
∴S阴影=S扇形ABB′=
五．借参
分析：借参数自身代换，待参数求出值后，再还原给原式，也是叩开解题大门的钥匙。
例7．分解因式（x-4）(x-3)(x-2)(x-1)-120
解：将4个因式搭配相乘，出现了（x-4）(x-1)=x2-5x+4,(x-2)(x-3)=x2-5x+6,借m=x2-5x+5,则原式=（m-1）(m+1)-120=m2-121=(m+11)(m-11)再将m=x2-5x+5还给原式。
则原式=（x2-5x+5+11）(x2-5x-+5-11)=(x2-5x+16)(x2-5x-6)=(x2-5x+16)(x+1)(x-6)
例8：求
解：借A=
则A2=
=
=32-2×12
=8
∴A=
还给原式
∴=
借还类型的初中数学题的共同特点是先借后还，实际解题时可根据具体题目的特点，选择合理的借的方法，能巧妙的突破解题难点，从而达到事半功倍的效果，使解题过程简便快速。
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