2020届高三文科数学一轮复习模拟练习卷
本试卷共页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将答题卡交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)复数满足,则在复平面内复数所对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(2)已知全集为实数集,集合,,则
A.B.C.D.
(3)改革开放四十年以来,北京市居民生活发生了翻天覆地的变化.随着经济快速增长、居民收入稳步提升,消费结构逐步优化升级,生活品质显著增强,美好生活蓝图正在快速构建.北京市城镇居民人均消费支出从1998年的7500元增长到2017年的40000元.1998年与201年北京市城镇居民消费结构对比如下图所示:
1998年北京市城镇居民消费结构201年北京市城镇居民消费结构
则下列叙述中不正确的是
A2019年北京市城镇居民食品支出占比同1998年相比大幅度降低 2019年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同1998年相比有所减少 2019年北京市城镇居民医疗保健支出占比同1998年相比提高约60% 2019年北京市城镇居民人均交通和通信类支出突破5000元,大约是1998年的14倍
(4)设且,“不等式”成立的一个充分不必要条件是
A.B.C.D.
(5)为了得到函数的图象,可将函数的图象上所有的点的
A.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变,再向左平移个单位长度
B.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变,再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,再向左平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
(6)执行如图所示的程序框图,输出的值为().
A.B.C.D.
(7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的棱中,最长的棱的长度为
(A)2 (B) (C) (D)
(8)设函数,其中,若存在唯一的整数使得,则的取值范围是()
A.B.C.D.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)若满足,则的最小值是
(10)为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数是.
第10题图第13题图
(11)已知向量=(–4,3),=(6,m),且,则m=__________.
(12)边长为的等边的三个顶点,,都在以为球心的球面上,若球的表面积为,则三棱锥的体积为__________.
(13)已知函数(其中,)的部分图象如图所示,则,.
(14)数列满足,,则____.
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题13分)
在△ABC中,a=3,,cosB=.
(1)求b,c的值;
(2)求sin(B+C)的值.
(16)(本小题13分)
已知是等比数列,满足,,数列满足,且是公差为2的等差数列.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
(17)(本小题13分)
如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧棱底面,为棱的中点,.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的余弦值.
(18)(本小题13分)
某学校为了解高一新生的体质健康状况,对学生的体质进行了测试.现从男、女生中各随机抽取人,把他们的测试数据,按照《国家学生体质健康标准》整理如下表.规定:数据≥,体质健康为合格.
等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 良好 及格 不及格 以下 总计 -- (1)从样本中随机选取一名学生,求这名学生体质健康合格的概率;
(2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人,求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率;
(3)表中优秀、良好、及格、不及格四个等级的男生、女生平均分都接近(二者之差的绝对值不大于),但男生的总平均分却明显高于女生的总平均分.研究发现,若去掉四个等级中一个等级的数据,则男生、女生的总平均分也接近,请写出去掉的这个等级.(只需写出结论)
(19)(本小题14分)
已知椭圆的离心率为,右焦点为,左顶点为,右顶点在直线:上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆上异于,的点,直线交直线于点,当点运动时,判断以为直径的圆与直线的位置关系,并加以证明.
(20)(本小题14分)
已知函数(为自然对数的底数).
(1)若函数的图象在处的切线为,当实数变化时,求证:直线经过定点;
(2)若函数有两个极值点,求实数的取值范围.
数学(科)参考答案及评分标准
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)A(2)C(3)B(4)C
(5)B(6)B(7)D(8)D
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)3(10)48
(12)
(13),(14)
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(本小题13分)
,得
.
因为,
所以.
解得.
所以.
(Ⅱ)由得.
由正弦定理得.
中,.
.
(16)(本小题13分)
解:(1)设数列的公比为,则
……………………2分
解得, ……………………3分
所以, ……………………5分
令,则
……………………7分
……………………9分
(2) …………………13分
(17)(本小题13分)
解:(1)因为底面,底面,
所以,
正方形中,
又因为,
所以平面,
因为平面,
所以.…………….4分
(2)正方形中,侧棱底面.
如图建立空间直角坐标系,不妨设.
依题意,则,
所以.
设平面的法向量,
因为,
所以.
令,得,即,
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为;………………11分
(3)由(Ⅰ)知平面,所以为平面的法向量,
因为,且二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为.…………………14分
(18)(本小题13分)
解:(1)样本中合格的学生数为:,样本总数为:,
这名学生体质健康合格的概率为.….5分
(2)设事件为“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”,.
事件为“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”,.
因为为独立事件,
故所求概率为
.….10分
(3)去掉的等级为优秀.….13分
(19)(本小题14分)
解:(1)依题可知,
因为,
所以
故椭圆的方程为.
(2)以为直径的圆与直线相切.
证明如下:由题意可设直线的方程为.
则点坐标为,中点的坐标为,
由得
.
设点的坐标为,则.
所以,.
因为点坐标为,
当时,点的坐标为,直线的方程为,
点的坐标为.
此时以为直径的圆与直线相切.
当时,直线的斜率.
所以直线的方程为,即.
故点到直线的距离
(或直线的方程为,
故点到直线的距离
)
又因为,故以为直径的圆与直线相切.
综上得,当点运动时,以为直径的圆与直线相切.
解法二:
(2)以为直径的圆与直线相切.
证明如下:设点,则
当时,点的坐标为,直线的方程为,
点的坐标为,
此时以为直径的圆与直线相切,
当时直线的方程为,
点D的坐标为,中点的坐标为,故
直线的斜率为,
故直线的方程为,即,
所以点到直线的距离
故以为直径的圆与直线相切.
综上得,当点运动时,以为直径的圆与直线相切.(20)(本小题13分)
(1)因为,
所以,.………………………………………………2分
又因为,所以直线的方程为,
所以直线经过定点.……………………………4分
(2)因为,所以.
设,则.
当时,,即在R上单调递增,则最多有一个零点,函数至多有一个极值点,与条件不符;……………………………5分
当时,由,得.
当时,;当时,.
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,即.…………………6分
令,解得.……………………………7分
因为,,所以,
因为在上单调递增,
所以在上有唯一零点,……………………………8分
当时,;当时,.
所以在上有唯一极值点.……………………………9分
又因为当时,.
设,其中,则,
所以,所以.
即当时,,
而,……………………………10分
因为在上单调递减,
所以在上有唯一零点,
当时,;当时,.
所以在上有唯一极值点.……………………………12分
综上所述,当有两个极值点时,.……………………13分
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