数考中学第四讲一元一次方程、分式方程、二元一次方程组的概念及应用一元一次方程的概念及其解法二元一次方程组的概念及其解法一次方程（组）的应
用分式方程及其应用考点3考点1考点4考点2【二元一次方程的概念、解法步骤】【分式方程的概念、一般解法】【一元一次方程的概念
、解法步骤】【列方程(组)解应用题的一般步骤、常用关系式】考点1一元一次方程的概念及其解法方程的概念含有未知数的等式叫做方程
。方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。【特别提醒】只要符合“含有未知数的等式”就叫做方程，不管它有解还是无解，因此
x+1=x-1也是方程。例：8x，4x+y，3x+7>12都不是方程；2x+4=9，5x=6y，7x+y=10都是方程。考点1
一元一次方程的概念及其解法等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式即:若a=b,则a
±c=b±c;（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式，即：若a=b,c≠0,则ac=bc
,a/c=b/c。考点1一元一次方程的概念及其解法一元一次方程?只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式
方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，是未知数的系数，是常数项。【特别提醒】一元一次方程只有一个根。解
方程后要代回去检验解是否正确；当遇到方程中反复出现相同的部分时，可以将这个相同部分看作一个整体来进行运算，从而使运算简便。考点1
一元一次方程的概念及其解法解一元一次方程的一般步骤步骤具体做法注意事项去分母若未知数的系数为分数,则去分母不要漏
乘不含分母的项去括号若方程中有括号,先去括号括号前是负号时,去括号后括号内各项均要变号移项把含未知数的项移到等号的一边,其他项移
到等号的另一边移项要变号合并同类项把方程化成的形式系数相加,字母及其指数均不变系数化为1方程两边同除以未知数的系数a,得到方程的解
x=分子、分母不要颠倒步骤具体做法注意事项去分母若未知数的系数为分数,则去分母不要漏乘不含分母的项去括号若方程中有括
号,先去括号括号前是负号时,去括号后括号内各项均要变号移项把含未知数的项移到等号的一边,其他项移到等号的另一边移项要变号合并同类
项系数相加,字母及其指数均不变系数化为1分子、分母不要颠倒考点1一元一次方程的概念及其解法1.(2017?湖南永州)x=1是
关于x的方程2x-a=0的解,则a的值是(B)A.-2 B.2C.-1 D.12.(2017?内蒙古
赤峰)正整数x,y满足(2x-5)(2y-5)=25,则x+y等于(A)A.18或10 B.18 C.10D.26解析：
x,y均为正整数，则2x-5，2y-5都为非零且大于-4整数；相乘等于25，只有三种情况：5或1或25。3.(2016?广东
广州)解方程:5x=3(x-4).解析：去括号,得5x=3x-12.移项,得5x-3x=-12.合并同类项,得2x=-12.系数
化为1,得x=-6.?考点2二元一次方程组的概念及其解法二元一次方程组二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的
整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是;使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。?两个（或两
个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一
次方程组的解。考点2二元一次方程组的概念及其解法二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是：消去一个未知数(简称消元)
，得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程。（1）代入消元法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它代入到另一个方程，
进行求解；（2）加减消元法：把这两个方程两边分别相加或相减消去一个未知数的方法。【特别提醒】当有同一个未知数的系数相等或者互为相反
数时，直接选择加减法。如果有未知数的系数为1或-1时，可以考虑用代入法。考点2二元一次方程组的概念及其解法?1.（2018·
天津）方程组的解是（A）A.B.C.D.解析：本题作为选择题，也可直接用答案代入。?2.(2017·湖南长沙)方
程组的解是考点3一次方程（组）的应用列方程(组)解应用题的一般步骤（1）审：审清题意,弄清已知量和未知量;（2）设：设未知数
;（3）列：找相等关系,列方程(组);（4）解：解方程(组);（5）验：检验方程的解是否正确且是否符合题意;（6）答：规范作答,注
意单位名称。【特别提醒】构建方程(或方程组)模型，首先应找到题目中的等量关系，可先用文字把等量关系写出来，再用等式表示，即可列出满
足题意的方程(或方程组)，解方程(组)即可。考点3一次方程（组）的应用典型应用题用到的关系式类型等量关系行程问题速度
×时间=距离工程问题工作效率×工作时间=工作总量计划数量×超额百分数=超额数量计划数量×实际完成百分数=实际数量销售问题售价-进价
=利润,标价×折扣率=售价进价×利润率=利润混合物问题各种混合物重量之和=混合后的总重量混合前纯物重量=混合后纯物重量混合物重量×
含纯物的百分数=纯物的重量航行问题静水速度+水速=顺水速度静水速度-水速=逆水速度数字问题要注意各数位上的数字与数位的关系倍比问题
倍比问题要注意一些基本关系术语,如:倍、分、大、小等考点3一次方程（组）的应用?1.(2017?广东深圳)一球鞋厂，现打折促
销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%,设上个月卖出x双,则可列方程(D)A.10%x=330 B.(1-10%)x=33
0C.(1-10%)2x=330 D.(1+10%)x=3302.（2018?安徽）《孙子算经》中有过样一道题，原文如下：“今
有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共
取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题。解：设城中有x户人家，由题意得x+x=100，解得x=75，代入题中
符合题意答：城中有75户人家。考点3一次方程（组）的应用?3.（2018?湖北黄冈）在端午节来临之际，某商店订购了A型
和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种
粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克.解：设A型粽子x千克，B型粽子y千克，由题意得：解得：，并符合题意.
答：A型粽子40千克，B型粽子60千克。考点4分式方程及其应用分式方程解分式方程的一般方法分母里含有未知数的方程叫
做分式方程。解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母;（2）解所
得的整式方程;（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。考点4分式方程
及其应用分式方程的特殊解法列分式方程解应用题的常见类型换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具
有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。分式方程的应用题主要涉及工程问题、工作量问题、行程问题等，每个问题中涉及三
个量的关系，如：工作时间="工作总量"/"工作效率"时间="路程"/"速度"如果工作总量和路程是已知条件，另外的两个
量又分别具有某种等量关系，常可以建立分式方程模型来解决。考点4分式方程及其应用列分式方程解应用题的一般步骤列分式方程解应用题
与列整式方程解应用题的步骤基本相同：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答。不同点：一是列分式方程解应用题是用分式
表示数量间的等量关系；二是列分式方程解应用题必须验根，既要检验是否为分式方程的增根(增根应舍去)，又要看是否满足应用题的实际意
义。【特别提醒】解分式方程必须验根,一般方法为把所解得的未知数的值代入最简公分母,若为零则为増根,不为零则为原分式方程的解；如果是
应用题，还要看是否满足应用题的实际意义。考点4分式方程及其应用?1.（2017·四川眉山）解方程:+2=.解:方程两边同乘x
-2,得1+2(x-2)=x-1,解得x=2,经检验,x=2是增根,原方程无解。2.（2018?江苏南京）刘阿姨到超市购买大米
，第一次按原价购买，用了105元。几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg。这种大米的原
价是多少？解：设这种大米的原价为每千克元，根据题意，得=40.解这个方程，得.经检验，是所列方程的解.答：这种大米的原价
为每千克7元。考点4分式方程及其应用?3.（2018·广东）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单
价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是
多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？解：（1）设B型芯片的单价为x元/条
，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，根据题意得：=，解得：=35，经检验，x=35是原方程的解，∴x﹣9=26．答：A型芯片
的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条。（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，根据题意得：26a+35（200﹣a）=6280，解得：a=80．答：购买了80条A型芯片。复习策略列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。应用题是考试中区分度较高的题目，是重点也是难点，它综合考察了学生的阅读理解、题意转化表达、计算等多种综合能力。在初中七年级阶段，数学应用题题目涉及到很多实际生活中的例子，例如：分段计费问题、销售利润问题等。应用题百变，然而万变不离其宗，只要掌握多个解题模型，就可以做到百战不殆了。数考中学赢在中考向2020年中考冲刺！！ |
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