9.3空间几何外接球和内切球【套路秘籍】---千里之行始于足下公式1.球的表面积：S＝4πR22.球的体积：V＝πR3二．概念空间几何体的
外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的内切球空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球【
修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一长（正）方体外接球【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个
顶点都在球的表面上，则此球的表面积为__________．【答案】【解析】因为长方体的顶点都在球上，所以长方体为球的内接长方体，其
体对角线为球的直径，所以球的表面积为，故填.【套路总结】1、长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处2.正方体的外接球，
则2R＝a（a为正方体的边长）3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝【举一反三】1.已知一个正
方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．【答案】π【解析】设正方体棱长为a，则6
a2＝18，∴a＝.设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，∴R＝.故球的体积V＝πR3＝π×3＝π.2.如图是一个空间几何体的三视
图，则该几何体的外接球的表面积是________.【答案】【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱，如图所示：其中，三角形是
腰长为的直角三角形，侧面是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为.∴该几何体的外接球的表面积为.故答案为.考向二棱柱的外接
球【例2】直三棱柱的所有棱长均为，则此三棱柱的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由直三棱柱的底面边长为
，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r，又由直三棱柱的侧棱长为，则球心到圆O的球心距d，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直
角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2＝r2+d2，∴外接球的表面积S＝4πR2．故选：C．【套路总结】一．直棱柱外接
球的求法-----汉堡模型补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同作图：构造直角三角形，利用勾股定理底面
外接圆的半径r的求法正弦定理直角三角形：半径等于斜边的一半等边三角形：半径等于三分之二高长（正）方形：半径等于对角线的一半注意：球
心应该是过底面外心的高上【举一反三】设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，AB=AC=AA
1，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是________.【答案】【解析】设三角形BAC边长为，则三角形BAC外接圆半径为，因为
所以即直三棱柱的高是.2.直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．【答案
】【解析】是直三棱柱，，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，是球的直径，；，，；故该球的表面积为考向三棱锥的外接球类
型一：正棱锥型【例3-1】已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为（
）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为底面正方形的边长为正四
棱锥的体积为，解得在中，由勾股定理可得：即，解得故选【套路总结】【举一反三】1.已知正四棱锥的各条棱长均为2，则其外接球的表面积
为()A.B.C.D.【答案】C【解析】设点P在底面ABCD的投影点为,则平面ABCD,故而底面ABCD所在
截面圆的半径,故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径R=,故外接球的表面积为故选C.2．如图，正三棱锥的四个顶点均在球的球面上，底面
正三角形的边长为3，侧棱长为，则球的表面积是A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，设，，，，又，，在中，，得：，，，故选：．类
型二：侧棱垂直底面型【例3-2】在三棱锥中，，，面，且在三角形中，有（其中为的内角所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（
）A.B.C.D.【答案】A【解析】设该三棱锥外接球的半径为.在三角形中，（其中为的内角所对的边）.∴∴根据正
弦定理可得，即.∵∴∵∴∴由正弦定理，，得三角形的外接圆的半径为.∵面∴∴∴该三棱锥外接球的表面积为故选A.【套路总结】侧棱垂直
与底面---垂面型【举一反三】1.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A.B.C.D.
【答案】D【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥其中，且底面，根据余弦定理可知：，可知根据正弦定理可知外接圆直径，如图
，设三棱锥外接球的半径为，球心为，过球心向作垂线，则垂足为的中点，在中，外接球的表面积故选2.已知三棱锥中，平面，且，.则该三
棱锥的外接球的体积为()A.B.C.D.【答案】D【解析】∵，∴是以为斜边的直角三角形其外接圆半径，
则三棱锥外接球即为以C为底面，以为高的三棱柱的外接球∴三棱锥外接球的半径满足故三棱锥外接球的体积故选D.类型三：侧面垂直与底
面型【例3】已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥外接球的表面积是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由三视图
得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE⊥底面BCDE.如图所示，矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为
BE中点，OG⊥AF.设OM=x,由题得在直角△OME中，，又MF=OG=1,AF=,，解（1）（2）得故选B.【套路总结】侧面垂
直与底面---切瓜模型【举一反三】1.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球
的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A.B.C.
D.【答案】D【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥，其中是边长为4的正方形，平面平面．设为的中点，为正方形
的中心，为四棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，则球心为过点且与平面垂直的直线与过且与平面垂直的直线的交点．由于为钝角三角形，故在的
外部，从而球心与点P在平面的两侧．由题意得，设球半径为，则,即，解得，∴，∴．选D．2．已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面
上，和所在平面相互垂直，，，，则球的表面积为．．．．【答案】C【解析】，，，，，的外接圆的半径为，和所在平面相互垂直，球心在边的
高上，设球心到平面的距离为，则，，，球的表面积为．故选：．3．三棱锥的底面是等腰三角形，，侧面是等边三角形且与底面垂直，，则该三棱
锥的外接球表面积为A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，在等腰三角形中，由，得，又，设为三角形外接圆的圆心，则，
．再设交于，可得，，则．在等边三角形中，设其外心为，则．过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线相交于，则为该三棱锥的外接球的
球心，则半径．该三棱锥的外接球的表面积为．故选：．类型四：棱长即为直径【例3-4】已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥
的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1，
将三棱锥补成一个正方体（棱长为1），则正方体外接球为正三棱锥外接球，所以球的直径为，故其表面积为．选A．【套路总结】两个直角三角形
的斜边为同一边，则该边为球的直径【举一反三】1．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为，则
球的体积为A．B．C．D．【答案】B【解析】如下图所示，设球的半径为，由于是球的直径，则和都是直角，由于，，所以，和是两个公共斜
边的等腰直角三角形，且的面积为，，为的中点，则，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，所以，三棱锥的体积为，因此，球的体积为，故选
：．考向四墙角型【例4】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根
据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径，则：.故
选：B．【套路总结】途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个
顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成
长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．【举一反三】1.已知四面体的四个面都为直角三角
形，且平面，，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】且为直角三角形又平面
，平面平面由此可将四面体放入边长为的正方体中，如下图所示：正方体的外接球即为该四面体的外接球正方体外接球半径为体对角线的一半，即
球的表面积：本题正确选项：2．已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是A．B
．C．D．【答案】D【解析】该几何体是把正方体截去两个四面体与，其外接球即为正方体的外接球，由．外接球的半径．该几何体外接球
的表面积是．故选：．3．在三棱锥一中，，、、两两垂直，则三棱锥的外接球的表面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】在三棱锥一中，
，、、两两垂直，以、、为棱构造棱长为1的正方体，则这个正方体的外接球就是三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面
积为：．故选：．考向五内切球【例5】正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【答案】
，．∴得：，∴．∴．【套路总结】将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据
分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.【举一反三】1．球内切于圆柱，则此圆柱
的全面积与球表面积之比是A．B．C．D．【答案】C【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，，．此圆柱的全面积与球
表面积之比是：．故选：．2．若三棱锥中，，其余各棱长均为5，则三棱锥内切球的表面积为．【答案】【解析】由题意可知三棱锥的四个
面全等，且每一个面的面积均为．设三棱锥的内切球的半径为，则三棱锥的体积，取的中点，连接，，则平面，，，，，解得．内切球的表面积为
．故答案为：．3．一个几何体的三视图如图所示，三视图都为腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为
A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知几何体是三棱锥，是正方体的一部分，如图：正方体的棱长为2，内切球
的半径为，可得：，解得，几何体的外接球的半径为：，该几何体的外接球半径与内切球半径之比为：．故选：．考向六最值问题【例6】已知
球的内接长方体中，，若四棱锥的体积为2，则当球的表面积最小时，球的半径为．．2．．1【答案】B【解析】由题意，球的内接长方体中，
球心在对角线交点上，可得：四棱锥的高为是长方体的高），长方体的边长，设，高为，可得：，即，那么：，（当且仅当时取等号）故选：．【举
一反三】1．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为．．．．【答案】C【解析】如图
所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选：．【运用套路】---纸上得来终
觉浅,绝知此事要躬行1．已知正三棱柱的底面边长为3，外接球表面积为，则正三棱柱的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析
】正三棱柱的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：外接球表面积为外接球的球心在上下两个底面的外心MN的连线的中点上，记为O点，如
图所示在三角形中，解得故棱柱的体积为：故答案为：D.2．已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，面，则球的体积
为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】取中点，连接且四边形为平行四边形，又为四边形的外接圆圆心设为外接球的球心，由球的
性质可知平面作，垂足为四边形为矩形，设，则，解得：球的体积：本题正确选项：3．已知三棱锥的各顶点都在一个球面上，球心在上，底面
，球的体积与三棱锥体积之比是，，则该球的表面积等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，且平面，所以，设球的半径为，
根据题目所给体积比有，解得，故球的表面积为.4．某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（）A．B．C．D．【答案
】B【解析】根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，故
：下底面的中心到底面顶点的长为：，所以：外接球的半径为：故：外接球的表面积为：．故选：B．5．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实
线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据三视
图可知，几何体是底面为矩形，高为的四棱锥，且侧面PAB垂直底面ABCD，如图所示：还原长方体的长是2，宽为1，高为设四棱锥的外接球
的球心为O，则过O作OM垂直平面PAB，M为三角形PAB的外心，作ON垂直平面ABCD，则N为矩形ABCD的对角线交点，所以外接
球的半径所以外接球的体积故选A6．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视
图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如
图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，其中底面．，，．则该阳马的外接球的直径为．该阳马的外接球的表面积为：．故选：．7．如图，边长
为的正方形中，点分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得、、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为(
)A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知△是等腰直角三角形，且平面．三棱锥的底面扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱
，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：．球的半径为，球的表面积为．故选：．
8．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积是：（）A．B．C．D．【答案】C【解析】
由三视图还原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2．把该三棱柱补形为正方体，则正方体对
角线长为．∴该三棱柱外接球的半径为：．则球O的表面积是：412π．故选：C．9．已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三
棱锥的体积为，则球的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由O为球心，OA＝OB＝OC＝R，可得O在底面ABC的射影为
△ABC的外心，AB＝6，，，可得△ABC为AC斜边的直角三角形，O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M，可得?OM?AB?BCO
M?124，解得OM＝2，R2＝OM2+AM2＝4+12＝16，即R＝4，球O的体积为πR3π?64π．故选：D．10．我国古代数
学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，，若，则堑堵
的外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，在直三棱柱中，因为，所以为直角三角形，且该三角形的外接圆的直
径，又由，所以直三棱柱的外接球的直径，所以，所以外接球的体积为，故选C.11．在三棱锥中..，，则该三棱锥的外接球的表面积为（
）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，由余弦定理可求得，再由正弦定理可求得的外接圆的半径，因为，所以P在底面上的射影为的外
心D，且，设其外接球的半径为，则有，解得，所以其表面积为，故选B.12．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外
接球的表面积为（）A．6πB．12πC．32πD．48π【答案】B【解析】由题得几何体原图如图所示，其中SA⊥平面ABC,B
C⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,所以AC=2,,设SC中点为O,则在直角三角形SAC中，OA=OC=OS=,在直角三角形SB
C中，OB=,所以OA=OC=OS=OB=,所以点O是四面体的外接球球心，且球的半径为.所以四面体外接球的表面积为.故选：B13．
已知在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意,
为截面圆的直径,设球心到平面的距离为,球的半径为。平面平面，到平面的距离为由勾股定理可得球的表面积为故选D。14．已知三棱
锥的体积为6，在中，，，，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则球的表面积等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，由
余弦定理得是直角三角形设三棱锥的高为则三棱锥体积，解得取边的中点为，则为外接圆圆心连接，则平面，如下图所示：则则球的表面积本题正
确选项：14．已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解
析】原题如下图所示：由，得：则设外接圆圆心为，则由正弦定理可知，外接圆半径：设到面距离为由为球直径可知：则球的半径球的表面积本题
正确选项：15．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，则三棱柱外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设的外接圆圆心为
，的外接圆圆心为，球的球心为，因为三棱柱的侧棱与底面垂直，所以球的球心为的中点，且直线与上、下底面垂直，且，，所以在中，，即球的半
径为，所以球的体积为，故选D。16．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】平面平面
，平面平面，，平面，平面，，所以，是边长为的等边三角形，由正弦定理得的外接圆的直径为，所以，该球的直径为，则，因此，三棱锥的外接
球体积为．故选：．17．已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（
）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵底面中，，，，的外接圆半径，面三棱锥外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积．故选：C．
18．三棱柱的侧棱垂直于底面，且,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析
】由于底面是直角三角形，其外心是斜边的中点，设上下底面的外心为，由于三棱柱的侧棱垂直于底面，故球心位于的中点处，画出图像如下图所示
.设球的半径为，则，故球的体积为，故选C.19．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【
答案】A【解析】根据几何体的三视图，可知该几何体是一个四棱锥如图：该四棱锥的外接球是所对应长方体的外接球且长方体的长宽高分别为2，
2,2故几何体的外接球半径R满足：4R2=4+4+12=20，解得：，故：S=，故选：A．20．我国古代《九章算术》将四个面都
为直角三角形的四面体称为鳖月需.如图是一个鳖月需的三视图，其中侧视图是等腰直角三角形，则该鳖月需的外接球的表面积是（）A．B．
C．D．【答案】B【解析】还原该几何体为三棱锥，其中平面BCD，BD⊥BC，把三棱锥扩展为长方体，长方体的体对角线的长，就是外接球
的直径，此时2R=AC=∴该鳖月需的外接球的表面积是故选：B21．在三棱锥中，底面，，，，，则三棱锥外接球的体积为（）A．B．
C．D．【答案】B【解析】由题意知，在三棱锥中，，，，所以,又由底面，所以,在直角中，，所以,根据球的性质，可得三棱锥外接球的直径
为，即，所以球的体积为，故选B.22.已知四棱锥，平面，，，，，.若四面体的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A
．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，，，四点共圆，.由，得，所以.设的中点为，的中点为，因为平面，所以平面.易知点为四面体
外接球的球心，所以，.故选：C23．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为A．B．
C．D．【答案】A【解析】由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面垂直于底面，高
为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心在高线上，且是等边三角形的中心，这个几何体的外接球的半径．则
这个几何体的外接球的表面积为故选：A．24．已知四面体外接球的球心恰好在上，等腰直角三角形的斜边为2，，则这个球的表面积为（
）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可得：为的中点，取中点，则为的中位线，由等腰直角三角形可得：点为外接圆圆心，且所以平面，所
以球心到面的距离为，外接球球半径为，故球表面积为.故选：C25．已知三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的体积为A．B．C．D．
【答案】A【解析】如图：，，的中点为外接球球心故外接球半径为体积本题正确选项：26．已知三棱锥的体积为，各顶点均在以为直径球面
上，，则这个球的表面积为_____________。【答案】16π【解析】由题意，设球的直径是该球面上的两点，如图所示，因为，所以
为直角三角形，设三棱锥的高为，则，解得，取的中点，连接，根据球的性质，可得平面，所以,在直角中，,即球的半径为，所以球的表面积为.
27．表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_____．【答案】【解析】如图所示，将正四面体补形成一个正方体
，∵表面积为的正四面体，正四面体棱长为，，解得，∴正方体的棱长是，又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，∴，∴，∴球的体积为
．故答案为：．28．已知三棱锥中，侧棱,当侧面积最大时，三棱锥的外接球体积为____【答案】【解析】三棱锥的侧面积为：，，相互之间
没有影响当上述三个角均为直角时，三棱锥的侧面积最大此时，，两两互相垂直以，，为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥的外接球外接球半
径三棱锥的外接球的体积：本题正确结果：29．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为______【答案】【
解析】直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，如下图所示：,所以球的直径为6，球的表面积为。30．在三棱锥中，平面平面，是边
长为的等边三角形，其中，则该三棱锥外接球的表面积为_____．【答案】【解析】如图所示，作中点，连接、，在上作三角形的中心，过点作
平面的垂线，在垂线上取一点，使得。因为三棱锥底面是一个边长为的等边三角形，为三角形的中心，所以三棱锥的外接球的球心在过点的平面的垂
线上，因为，、两点在三棱锥的外接球的球面上，所以点即为球心，因为平面平面，，为中点，所以平面，，，，设球的半径为，则有，，，即，解
得，故表面积为。31．已知圆锥的母线长为5，底面半径为4，则它的外接球的表面积为________【答案】【解析】如图，，可得，取中
点，作交延长线于，则为的外心，也即圆锥外接球的球心，设，则，，∴，得，∴外接球半径，∴圆锥外接球的表面积．32．四棱锥中，底面为矩
形，，，且，当该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为_________.【答案】【解析】由题意知当S到平面ABCD的距离最大时，
四棱锥的体积最大，此时满足平面SAD平面ABCD，且为等边三角形，边长为4，则S到AD的距离即为S到平面ABCD的距离，设球心O到
平面ABCD的距离OE=x,则由OD=OS得，解得，所以外接球的半径，则外接球的表面积为故答案为：33．已知三棱锥的各顶点都在球面
上，,平面,，,若该球的体积为，则三棱锥的表面积为__________．【答案】27【解析】如图所示，因为平面，所以，，，因为，，所以平面，所以，设的中点为，则，所以为三棱锥外接球的球心，由题知，解得，所以，在中，,，所以，在中，，在中，，所以三棱锥的表面积为.故答案为：27.34．在四面体中，与都是边长为2的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的体积为_______．【答案】【解析】取的外心为，设为球心，连接，则平面，取的中点，连接，，过做于点，易知四边形为矩形，连接，，设，.连接，则，，三点共线，易知，所以，.在和中，，，即，，所以，，得.所以.35．已知三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】作出图形如下图所示.设分别是的中点.点在平面内的投影是的外心，由于上的任意一点到的距离相等，则球心在上.因为，所以，于是是的中垂线，所以球心是，的交点，且是等腰的垂心.记三棱锥的外接球的半径为，由，得.又因为，所以.而，，，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：36．已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为__________．【答案】【解析】,是正三角形，是等腰直角三角形，设中心为，外心为，则是斜边的中点，所以，设三棱锥外接球球心为，则平面平面，由余弦定理，，，设球半径为，球的表面积为，故答案为.38．如图，已知四棱锥底面是边长为的正方形，侧面是一个等腰直角三角形，，平面平面，四棱锥外接球的表面积是________.【答案】【解析】过的外心即的中点作平面的垂线，该垂线过正方形的中心，所以点为该四棱锥外接球的球心，其半径，所以外接球的表面积是.1 |
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