圆锥曲线问题的性质典型题1.过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、两点，若线段与的长分别是、，则等于A
.B.C.D.2.已知抛物线和动直线（，是参变量，且，）相交于，两点，直角坐标系原点为，记直线，的
斜率分别为恒成立，则当变化时直线恒经过的定点为A.B.C.D.3.已知为双曲线上任一点，过点
向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为，，则的值为A.B.C.D.与点的位置有关4.过抛物线的焦
点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则等于A.B.C.D.5.下列结论中，正确的有
①不存在实数，使得方程有两个不等实根；②已知中，，，分别为角，，的对边，且，则角的最大值为；③函数
与是同一函数；④在椭圆，左右顶点分别为，，若为椭圆上任意一点（不同于，），则直线与直线斜率之积为定值．
A.①④B.①③C.①②D.②④6.已知点为抛物线：上的动点（不含原点），过点的切线交轴于点，设抛物
线的焦点为，则A.一定是直角B.一定是锐角C.一定是钝角D.上述三种情况都有可能7.过的焦点作直线交抛物
线与两点，若与的长分别是、，则A.B.C.D.8.已知点在曲线：上，过原点，且与
轴的另一个交点为，若线段，和曲线上分别存在点，点和点，使得四边形（点，，，顺时针排列）是正方形，则称
点为曲线的“完美点”，那么下列结论中正确的是A.曲线上不存在“完美点”B.曲线上只存在一个“完美点”，其横坐
标大于C.曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于D.曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于9.
已知，过任作一条直线交抛物线于，两点，若为定值，则A.B.C.D.10.已知，，，其中是常
数且，若的最小值是，满足条件的点是椭圆一弦的中点，则此弦所在的直线方程为A.B.C.D.11.已知“
若点在双曲线上，则在点处的切线方程为”，现已知双曲线和点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，，
则直线过定点A.B.C.D.12.若双曲线的渐近线方程为，则等于?．13.设抛物线的焦点为，
点，若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为?．14.已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线
与相交于，与的一个交点为，若，则?．15.已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线
交于点，且，则的离心率为?．16.已知直线过点，且与抛物线交于、两点，则?．17.点
在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则?．18.已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点，
若直线，的斜率分别为，，则的值为?．19.已知抛物线，过定点作一弦，则?．20.已知椭圆的离心
率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2），分别为椭圆的左、右顶点，动点
满足，直线与椭圆交于点（与点不重合），以为直径的圆交线段于点，求证：直线过定点．21.已知，，抛
物线上一点到抛物线焦点的距离为．（1）求和的值；（2）如图所示，过作抛物线的两条弦和（点，
在第一象限），若，求证：直线经过一个定点．22.在平面直角坐标系中，设点，，以线段为直径的圆经过原点．（1）
求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定
点，并证明你的结论．23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线，切点为（异于
点）．直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值?若是，求出定值
；若不是，说明理由．24.已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与
直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．25.
已知圆与轴交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，圆在点处的切线与圆在点，处的切线分别交于
，，直线和交于点，设点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）曲线与轴正半轴交点为，则曲线是否
存在直角顶点为的内接等腰直角三角形，若存在，求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．26.
在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的
方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．27.已知抛物线，直线．（1）若曲线
上存在一点，它到的距离与到坐标原点的距离相等，求的坐标；（2）过直线上任一点作抛物线的两条切线，切点记为，，求
证：直线过定点．28.已知椭圆经过点，过点的动直线与椭圆交于，两点，当直线过椭圆的左焦点时，
直线的斜率为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在与点不同的定点，使得恒成立?若存在，求出点的坐标；若不存在
，请说明理由．29.已知椭圆的两个焦点为，．其短轴长是，原点到过点和两点的直线的距离为．（1）求椭圆
的方程；（2）若点是定直线上的两个动点，且，证明以为直径的圆过定点，并求定点的坐标．30.在平面直角坐标系中
，已知椭圆：的离心率为．且过点．（1）求椭圆的方徎；（2）动点在直线：上，过作直线交椭圆于，两点，
使得，再过作直线，直线是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．31.已知椭圆的左、右焦点分别
为，，离心率为，在轴上有一点满足．（1）求椭圆的方程；（2）直线与直线交于点，与直线交于点，且
，判断并证明直线与椭圆的交点个数．32.已知椭圆的上下顶点分别为点，，且点．，分别为椭圆的左、右焦点，且
．（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段的中点．直线与直线
交于点，为线段的中点，为坐标原点．求的大小．33.已知动点到定直线的距离比到定点的距离大．（1
）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于，两点，直线，分别交直线于点，，证明：以为直径的圆
被轴截得的弦长为定值，并求出此定值．34.已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是
否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理
由．35.左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）
为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明
理由．36.已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所
示．（1）求点的轨迹的方程；（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段
为直径的圆过点．37.已知椭圆经过点，离心率，直线的方程为．（1）求椭圆的方程；（2）经过椭圆右焦点的
任一直线（不经过点）与椭圆交于两点，，设直线与相交于点，记，，的斜率分别为，，，问：是否为定值，若是，求出此
定值，若不是，请说明理由．38.已知椭圆的离心率，直线与圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线
与椭圆相交于，两点，试判断是否存在实数，使得以为直径的圆过定点?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．39.
过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当
坐标为时，求直线的方程；（3）求证：是一个定值．40.已知椭圆经过点，离心率为，点为坐标原点．（1）求椭
圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点作任一条不垂直于坐标轴的直线，交椭圆于，两点，记弦的中点为，过做
的垂线交直线于点，证明，点在一条定直线上．41.已知抛物线的焦点为，准线为，圆被直线截得的线
段长为．（1）求抛物线和圆的方程；（2）设直线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，求证
：直线的斜率与直线的斜率的和为定值．42.如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，
以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的
两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．43.已知椭圆：的右焦点为，且点在椭
圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆：上异于其顶点的任意一点作圆：的两条切线，切点分别为，（，不在坐
标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为，，证明：为定值．44.已知椭圆的离心率为，右焦点为，右顶点为，
为直线上的任意一点，且．（1）求椭圆的方程；（2）过且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点（点在第一象限
），动直线与椭圆交于，两点，且，位于直线的两侧，若始终保持，求证：直线的斜率为定值．45.已知椭圆
：的离心率，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线（是坐标原点）与椭圆相交于点，试证明在椭圆上存在不
同于、的点，使（不需要求出点的坐标）．46.已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，直线
与抛物线相交于不同的，两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（3）如果，直线是否
过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．47.如图，在平面直角坐标系中，为圆上的一动点，点，点
是中点，点在线段上，且．（1）求动点的轨迹方程；（2）试判断以为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由．4
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，短轴两个端点为，，且四边形是边长为的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若，
分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于
点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．49.设双曲线
（，）的一个焦点坐标为，离心率，，是双曲线上的两点，的中点．（1）求双曲线的方程；（2）求直线方程；（3）如果线
段的垂直平分线与双曲线交于，两点，那么，，，四点是否共圆?为什么?50.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点
是以为直径的圆与双曲线的一交点．（1）求双曲线的方程；（2）若为该双曲线上任意一点，直线，分别交双曲线于，两点，
，，请判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是请说明理由．51.如图，分别过椭圆左右焦点、的动直线、相
交于点，与椭圆分别交于、与、不同四点，直线、、、的斜率、、、满足．已知
与轴重合时，，．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点、，使得为定值．若存在，求出点坐标并求出此定值，若不
存在，说明理由．52.已知动点和定点，的中点为．若直线，的斜率之积为常数（其中为原点，），动点的轨迹为
．（1）求曲线的方程；（2）曲线上是否存在两点，，使得是以为顶点的等腰直角三角形?若存在，指出这样的三角形共有
几个；若不存在，请说明理由．53.已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点为直线上且不在轴上的任意一
点．（1）求周长的最小值；（2）设直线和的斜率分别为，，直线和与椭圆的交点分别为，和，．ⅰ）证明：；ⅱ
）当直线，，，的斜率之和为时，求直线上点的坐标．54.已知椭圆的左顶点为，左焦点恰为圆的圆心．（1
）求椭圆的方程；（2）过点且与圆相切于点的直线，交椭圆于点，与椭圆右焦点的连线交椭圆于，若三点，，
共线，求实数的值．55.已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，
焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设直线的斜率为，经过、两点分别作抛
物线的切线、，若切线与相交于点．当变化时，点的纵坐标是否为定值?若是，求出这个定值；否则，说明理由．
56.已知圆的方程为，设点，直线．（1）若点在圆内，试判断直线与圆的位置关系；（2）若点在圆上
，且，，过点作直线，分别交圆于两点，且直线，的斜率互为相反数．（1）若直线过点，求的值；（2）试问
：不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．57.已知抛物线的焦点也
是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为．（1）求的方程；（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，
两点，且与同向．（i）若，求直线的斜率；（ii）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋
转时，总是钝角三角形．58.设，是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点，不重合），为坐
标原点．（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在轴上，求直线的方程；（2）设为轴上一点，且，直线
与椭圆的另外一个交点为，证明：点与点关于轴对称．59.如图所示，已知椭圆的离心率为，过左焦点且斜率
为的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）求证：点
在直线上；（3）是否存在实数，使得四边形为平行四边形?若存在求出的值，若不存在说明理由．60.已知椭圆经过点
，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，点是椭圆的右顶点．直线与分别与
轴交于点、，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．61.已知是抛物线
上一点，经过点的直线与抛物线交于，两点（不同于点），直线，分别交直线于点，．（1）求抛物线方程及其
焦点坐标；（2）已知为原点，求证：为定值．62.已知直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，且当时，
．（1）求椭圆的方程；（2）设点的坐标为，直线，与直线分别交于，两点．试判断以为直径的圆是否经过点?
并请说明理由．63.在平面直角坐标系，已知椭圆：过点，其左右焦点分别为，，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）
若，分别是椭圆的左右顶点，动点满足，且交椭圆于点．①求证：为定值；②设与以为直径的圆的另一交点为
，问直线是否过定点，并说明理由64.在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，且点在椭圆上．（1）求椭圆
的方程；（2）已知点，分别是椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于点，的任意一点，
直线交于点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．65.已知椭圆．（1）如果椭圆的离心率，经过点．
①求椭圆的方程；②经过点的两直线与椭圆分别相交于，，它们的斜率分别为，．如果，试问：直线的斜率是否为定值?并
证明．（2）如果椭圆的，，点，分别为椭圆的上、下顶点，过点的直线，分别与椭圆交于，两点．若的面积
是的面积的倍，求的最大值．66.已知椭圆过点，且离心率．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上存在点
关于直线对称，求的所有取值构成的集合，并证明对于，的中点恒在一条定直线上．67.已知以原点为中心，为右焦
点的双曲线的离心率．（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点的直线与过点（其中）的直线
的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交于、两点，求的面积．68.如图，椭圆（）的离心率是，过点
的动直线与椭圆相交于，两点．当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2
）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．69.
已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有．当点
的横坐标为时，为正三角形．（1）求的方程；（2）若直线，且和有且只有一个公共点，（i）证明直线过定点
，并求出定点坐标；（ii）的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．70.给定椭圆：，称圆心在原点
，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．（1）求椭圆和其“准圆”
的方程；（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线，交“准圆”于点，．（ⅰ）当点为“准圆”与轴正
半轴的交点时，求直线，的方程并证明；（ⅱ）求证：线段的长为定值．71.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心
率为，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于，两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点，且
直线的斜率为．（i）求四边形面积的最大值；（ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说
明理由．72.已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于，两点．（1）求椭
圆的标准方程；（2）直线是否过定点?若过定点，求出点的坐标，若不过点，请说明理由．73.椭圆的左、右焦点
分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上除长
轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点作斜率为
的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点．设直线，的斜率分别为，，若，试证明为定值，并求出这个定值．74.在
平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线
与椭圆交于，两点，直线（）与椭圆交于，两点，且，如图所示．（i）证明：；（ii）求四边形的面积的最
大值．75.已知，是抛物线：上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为，为坐标原点．（1）若抛物线的焦点在
直线的下方，求的取值范围；（2）设为上一点，且，过，两点分别作的切线，记两切线的交点为，求的最小值
．76.已知点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线交椭圆于，两点，且，，三点不重合．（1）
求椭圆的方程；（2）的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由?（3）求证：直线，的斜率之和为定
值．77.已知抛物线，过点作直线交抛物线于点（点在第一象限）．（1）当点是抛物线的焦点，且弦长时，
求直线的方程；（2）设点关于轴的对称点为，直线交轴于点，且．求证：点的坐标是，并求点到直线
的距离的取值范围．78.已知动圆过定点，且与直线相切，其中．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设、是
轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值时，证明直线恒过定点，并
求出该定点的坐标．79.如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．（1）求证：，，
三点的横坐标成等差数列；（2）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程；（3）是否存在点，使得点关于直线的对称
点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．80.
已知是非零实数，抛物线的焦点在直线上．（1）若，求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于两点，过
分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，、的重心分别为．求证：对任意非零实数，抛物线的准线与轴的交点在以
线段为直径的圆外．参考答案，仅供参考1.C2.D【解析】将直线与抛物线联立，消去，得，所以，；所以，所以，所
以所以，解得，所以．令，得，所以直线过定点．3.C【解析】设，则，即，由双曲线的渐近线方程为，则
由解得交点；由解得交点．，，则有4.C【解析】设，则．设直线为，联立直线方程与抛物线方程可得，．
．5.A【解析】对于①，函数在定义域内单调，不存在实数，使得方程有两个不等实根，正确；对于②，因为，所以，，
则角的最大值为，故错；对于③，函数与的定义域不同，不是同一函数，故错；对于④，设，，，则故正确．6.A【
解析】设点，则抛物线在点处的切线的斜率，则切线方程为，令，得，即，又因为点，所以，，所以，所以．7.
C【解析】提示：考虑特殊位置时，，所以．8.B【解析】作出图形如图所示，过点作垂直于轴，设点的坐标为
，因为，故，因为，故，又因为当增大时，由抛物线趋势可知的增幅大于的增幅，故仅存在一个点使得，即“完美点”
唯一．9.D【解析】设直线方程为，联立消去得．设，则，．于是有要使得为定值，有，即．10.D【解析】因
为，所以，即．又，，所以，．设以为中点的弦的端点为，，故，，又两式相减，得．故所求方程为．11.C【
解析】设，，则切点分别为，的切线方程为，．因为点在两条切线上，所以，．所以，两点均在直线上，即直线的方程
为，显然直线过点．12.13.【解析】由题意得在抛物线上，可知，到准线的距离为．14.【解析】直线，代
入，得，又，所以，解得，即，（舍去）．来自QQ群33944496315.【解析】不妨设椭圆的焦点在轴上，中
心在原点，即，点为椭圆上顶点，为右焦点，设，则由，得，即，代入椭圆方程得，．16.【解析】由题可设直线的
方程为，与抛物线联立，得，得，．17.【解析】由题意右焦点坐标为，从而有，又点在双曲线的右支上，解得或（舍
去）．18.【解析】将直线代入椭圆的方程，得，解得，，因为为椭圆的上顶点，所以，所以，，所以．19.
【解析】直线的斜率不存在时，的方程为，代入，解得从而直线的斜率存在时，设的方程为，代入中，消去得设
，，则则有从而综上，．20.（1）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．所以原点到直线的距离，所以
，又椭圆的离心率为，所以，则，所以，所以椭圆方程为．?（2）设，则直线的方程为：，联立消去得，，
，则，，故，又以为直径的圆上与线段交于点，则，故直线方程为，即，直线过定点．21.（1）由点
到抛物线焦点的距离为，结合抛物线的定义得，即，抛物线的方程为，把点的坐标代入，可解得．?（2）解法1：显然直
线，的斜率都存在，分别设，的方程为，，联立，得，联立，得，设，，，，则，，同理，，故注意到点，在第
一象限，，所以，故得，，所以，即直线恒经过点．解法2：设，，，，显然直线的斜率存在，设的方程为，，联立得，
所以，同理，，故注意到点，在第一象限，，所以，故得，直线的方程为，化简得，即直线恒经过点．22.（1
）由题意，得，则由，得因此，动点的轨迹的方程为．?（2）设直线的方程为，，，则．由消去并整理，得则
有直线的方程为将代入，得整理，得将代入，得因此，直线恒过定点．23.（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程
为．?（2）因为函数的导函数为，设，则直线的方程为，因为点在直线上，所以．由，解得，所以直线的
方程为，由，得，所以，．由，得，，故的值为定值．24.（1）因为过点，所以，解得，所以抛物线方程
为，所以焦点坐标为，准线为．?（2）设过点的直线方程为，，，所以直线为，直线为：，由题意知，，由可得
，所以，，所以，所以为线段的中点．25.（1）设，则处的切线为，则，，则则，曲线的方程；?
（2）由于直线不与坐标轴平行或垂直，可设，则，联立整理得，由于恒成立，设两个根为，，则，同理，，由知：
，得：①时，得得：或．②时，得得：或．综上，共分三种情况两条直角边所在直线方程为：；两条直角边所在直线方程
为：；两条直角边所在直线方程为：．26.（1）据题意，，所以为点到直线的距离，连接，因为为线段的中垂线与
直线的交点，所以，所以点的轨迹是抛物线，焦点为，准线为直线，所以曲线的方程为．?（2）据题意，，过点的切
线斜率存在，设为，则切线方程为：，联立方程可得，由直线和抛物线相切，可得，即因为，所以方程存在两个不等实根，设
为，，因为，，由方程可知，，所以切线，所以，结论得证．27.（1）设，则，即，与抛物线方程联立，得．?（2
）设直线方程为，代入抛物线方程整理得，，可得．特别地，，，这时切点为，，过定点．一般地，，，切点为，，所以，，
所以，所以，所以过点，综上所述，直线过点．28.（1）椭圆经过点，可得，又设左焦点为，有，即，，
解得，，则椭圆方程为．?（2）假设存在与点不同的定点，使得恒成立．当直线的斜率为时，由对称性可得在
轴上；当直线的斜率不为时，设，并设直线的方程为，代入椭圆方程可得，，设，，可得，，由假设可得，即为，即有
，即，即有，即为，解得；当直线的斜率不存在时，依然成立．故存在与点不同的定点，使得恒成立．29.（1）
由题意可得，即，直线的方程为，即为，由题意可得，解得，即有椭圆的方程为．?（2）由题意可设，，由，，且，
可得，即，即为．以为直径的圆的方程为，化简为，可令，即有，解得，可得以为直径的圆过定点，定点的坐标为．3
0.（1）因为椭圆：的离心率为．且过点，所以解得，，所以椭圆的方程为．?（2）因为直线的方程为，设
，，当时，设，，由题意知，联立所以，所以，又因为，所以为线段的中点，所以直线的斜率为，又，所以
的方程为，即，所以恒过定点．当时，直线为，此时为轴，也过点，综上，恒过定点．31.（1）
设椭圆的焦距为，由题意有：解得，．所以．则椭圆的方程为：．?（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：
．则，，由，得，即．联立得．因为．所以直线与椭圆的交点个数是．32.（1）依题意，得，又，在
中，，所以，所以椭圆的标准方程为．?（2）设，，则，，因为点在椭圆上，所以，即，又，所以直线的方程
为，令，得，又，为线段的中点，所以，所以，，因为所以，．33.（1）设点的坐标为，因为动点到
定直线的距离比到定点的距离大，所以且，化简得，所以轨迹的方程为．?（2）设，，因为，，三点共线，所
以，又，所以，直线的方程为，令，得．同理可得．所以以为直径的圆的方程为，将代入上式，可得，令，即
或，故以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．34.（1）联立方程有，有，由于直线与抛物线相切，得，所以，所以
．?（2）假设存在满足条件的点，直线，有，设，，有，，，，，当，满足时，为定值，所以．35.（1）
因为椭圆焦点在轴上，且过点，所以．设内切圆的半径为，点的坐标为，则的重心的坐标为，因为，
所以．由面积可得，即，则解得，，即所求的椭圆方程为则椭圆方程为．?（2）设，，，则切线，的方程分别为，
．因为点在两条切线上，所以，．故直线的方程为．又因为点为直线上，所以，即直线的方程可化为，整理得，
由解得因此，直线过定点．36.（1）由题意可得：直线的斜率存在，设方程为：，设，，动点，由可得．可
得．；；由可得，即点的轨迹方程为．?（2）设直线的方程为：（且），由可得，可得，因为直线与抛
物线相切，所以，可得，可得，又由可得，可得，所以以线段为直径的圆过点．37.（1）由点在椭圆上，离
心率，得，，且，解得，，，椭圆的方程：．?（2）椭圆右焦点，显然直线斜率存在，设的斜率为，则直线的方
程为．代入椭圆的方程：．整理得．设，，则有，令中，得，从而，，．又因为，，共线，则有，．所以将
代入得．所以（定值）．来自QQ群33944496338.（1）因为直线：与圆相切，所以，所以，因为椭圆
的离心率，所以，所以，所以所求椭圆的方程是．?（2）直线代入椭圆方程，消去可得：，所以，所以或，设，，
则有，，若以为直径的圆过点，则，因为，，所以，所以，所以，解得，所以存在实数使得以为直径的圆过定点．
39.（1）双曲线的，，可得双曲线的渐近线方程为，即为．?（2）令可得，解得，（负的舍去），设，，由
为的中点，可得，，解得，，即有，可得的斜率为，则直线的方程为，即为．?（3）设，即有，设，，由
为的中点，可得，，解得，，则为定值．40.（1）由题意可知：椭圆的离心率，则，将点代入椭圆，解得：，，所
以椭圆的标准方程．?（2）由题意可知：直线的斜率存在，且不为，，直线，设，，，则整理得：，由韦达定理可知：，
，则，，则直线的斜率为，直线，解得：即有取何值，的横坐标均为，则点在一条定直线上．41.（1）
圆心到直线的距离，因为圆被直线截得的线段长为，所以，所以，所以，．?（2）设直线，与抛物线联立得．设，，
则，，则直线的斜率与直线的斜率的和为．42.（1）设所在直线的方程为，抛物线方程为，联立两方程消去得
．设，，则．由题意知，，且，所以，所求抛物线的方程为．?（2）由点为抛物线上的点，得．由题意知直线，的斜
率均存在，且不为，设直线的方程为，则直线的方程为．由得，因而．由得，因而．从而直线的斜率，为定
值．43.（1）由题意得，，所以，又点在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的标准方程为．?（2）由（1）知，
：，设点，，，因为，不在坐标轴上，所以，直线的方程为，化简得同理可得直线的方程为把点的坐标带入得
所以直线的方程为，令，得，令，得，所以，，又点在椭圆上，所以，即，为定值．44.（1）设，，
，则，，，所以，又，所以，，，从而椭圆的方程为．?（2）由（1）知，设，，设的方程：，代入椭圆方程，得
，则又，是椭圆上位于直线两侧的动点，若始终保持，则，即，，即，得．故直线的斜率为定值．45.（1）
依题意，，，点在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的方程为．?（2）由得，，由椭圆的对称性知，，由，知，所
以直线的方程为，即，由，得，，所以直线与椭圆有两个不同的交点，即在椭圆上存在不同于，的点，使．46
.（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，所以，．所以抛物线的标准方程为．?（2）设，与联
立，得，设，，所以，，所以?（3）假设直线过定点，设，得，设，，所以，．由解得，所以过定点．
47.（1）由已知，得垂直平分，从而又，所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆．设椭圆方程为，则结合，解得因此
，动点的轨迹方程为．?（2）设点，则有设的中点为，则以为直径的圆的圆心为半径为因为圆的圆心为，半径，所
以于是因此，以为直径的圆与圆内切．48.（1），，，所以，所以椭圆方程为．?（2），，设，，则，，直线，将
代入椭圆方程，得因为，所以，所以，所以所以（定值）．?（3）设存在满足条件，则，，．则由，得从而得，所以
存在满足条件．49.（1）依题意得，解得．所以，故双曲线的方程为．?（2）设，，则有两式相减得由题意得，
，，所以，即．故直线的方程为．?（3）假设、、、四点共圆，且圆心为．因为为圆的弦，所以圆心
在垂直平分线上；又为圆的弦且垂直平分，故圆心为中点．下面只需证的中点满足即可．由得
，．由（1）得直线方程：．由得：，，所以的中点．因为，，，，所以，即、、、四点在以点为圆心，
为半径的圆上．50.（1）．【解析】根据题意，由，得．又有：所以双曲线方程为：．?（2）．【解析】设，，，满足．
由，，得，所以．再由直线的方程为：联立双曲线方程得：消去得：．所以，．同理可得：，所以．51.（1）当
与轴重合时，，即，所以垂直于轴，得，，得，，椭圆的方程为．?（2）焦点、坐标分别为、．
当直线或斜率不存在时，点坐标为或．当直线、斜率存在时，设斜率分别为，，设，，由得：，所以：．则：．
同理：．因为，所以，即．由题意知，所以．设，则，即，由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足此方
程，所以点在椭圆上，存在点和点，使得为定值，定值为．52.（1）设直线，的斜率分别为，，因为，所以
，，由可得：，化简整理可得，所以，曲线的方程为．?（2）由题意，且，当直线的斜率为，则与重合，不
符合题意，所以直线，的斜率都存在且不为，设直线的斜率为，所以直线的斜率为，不妨设，所以直线的方程为，直线
的方程为，将直线和曲线的方程联立，得消整理得，解得，所以，以替换，可得，由，可得，所以，
即，（1）当时，方程有，所以方程有唯一解；（2）当时，，解得；（3）当时，方程有，且，所以方程
有三个不等的根．综上，当时，有一个三角形符合题意；当时，有三个符合题意的三角形．（注：（3）也可直接求解：当时，方
程，因为，所以，又因为，所以，故方程有三个不等的根．）.53.（1）令关于的对称点为，则的坐标为
，．所以周长的最小值为．?（2）ⅰ）令，，，，．ⅱ）设，，令，来自QQ群339444963由得，所以得同样
可算得由，得，整理得解得又因为，所以得：．或得：．综上：或．来自QQ群33944496354.（1）圆方程化为
，可得，所以又因为顶点为，所以，故椭圆的方程为．?（2）设方程为，代入，得，解得，，从而又右焦点坐标，
所以方程为，代入，得所以得，从而．由，，三点共线，知，故，即，解得所以方程为，故圆心到的距离为
，即圆半径为，从而．55.（1）设椭圆的方程为，，半焦距为．由已知条件，得，所以，解得．所以椭圆的方
程为：．?（2）假设点的纵坐标为定值．因为直线的斜率为，且过故可设直线的方程为，，由，消去并整理得，
所以，．且．所以，因为抛物线的方程为，求导得，所以过抛物线上、两点的切线方程分别是：，：，即，，依
题意，点的坐标满足方程组得，因为，，且故由式可解得，于是由方程组中得，所以，即点的纵坐标
为定值．56.（1）当点在圆内时，，即，所以圆心到直线的距离（为圆的半径），所以与圆相离．
?（2）由点在圆上，且，得，即．①记直线的倾斜角为，则，又，所以直线的倾斜角为，所以．②记
直线的斜率为，则直线的方程为，将代入圆的方程得，化简得因为是上述方程的一个根，所以，．由题意知，同理
可得，所以所以不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率总为定值．57.（1）由知其焦点的坐标为．因为也是椭
圆的一个焦点，所以又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点坐标为
，所以联立得，，故的方程为．?（2）如图，设，，，．（i）因为与同向，且，所以，从而，即，于
是设直线的斜率为，则的方程为．由得．而，是这个方程的两根，所以由得，而，是这个方程的两根，
所以将代入得，即，所以，解得，即直线的斜率为．（ii）由得，所以在点处的切线方程为，即
．令得，即，所以，而，于是，因此是锐角，从而是钝角．故直线绕点旋转时，总是钝角三角形．58.（1
）椭圆的右焦点为，因为线段的中点在轴上，所以点的横坐标为．因为点在椭圆上，将代入椭圆的方程，
得点的坐标为．所以直线（即）的方程为或．?（2）要想证明点与点关于轴对称，只需证明与的斜率之
和为零即可．以下给出证明：由题意知直线的斜率存在，且不为零．设直线的方程为，，，由得，所以，，．在中，令，
得点的坐标为，由，得点的坐标为，设直线，的斜率分别为，，则又所以，即点与点关于轴对称．59.（
1）由题意可知，，于是，．所以，椭圆的标准方程为．?（2）设，，，即．所以，，，，于是．因为，即在直线
上．?（3）设存在这样的平行四边形，则为中点．设点的坐标为，则．因为解得．于是，解得，即．所以，当
时四边形的对角线互相平分，即当时四边形是平行四边形．60.（1）由题意，得解得，．所以椭圆的方程是．
?（2）以线段为直径的圆过轴上的定点．由方程组消去，得由点在椭圆内部，得恒成立．设，，则有而，则直线
的方程为直线的方程为从而，．若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立．由，，得恒成立．因为所以解得．
故以线段为直径的圆过轴上的定点．61.（1）将代入，得所以抛物线方程为，焦点坐标为．?（2）设，，，，
法一：因为直线不经过点，所以直线一定有斜率，设直线方程为，与抛物线方程联立得到消去，得则由韦达定理得直线
的方程为，即，令，得，同理可得．又，，所以所以，即为定值．法二：设直线方程为．与抛物线方程联立得
到消去，得则由韦达定理得直线的方程为，即，令，得，同理可得．又，，所以所以，即为定值．62.
（1）当时，直线的方程为，设点在轴上方，由解得．所以，解得．所以椭圆的方程为．?（2）由得
，显然．设，，则，．，．又直线的方程为，解得，同理得．因为，所以，又因为所以，所以以为直径的圆过
点．63.（1）易得且，解得所以椭圆的方程为．?（2）设，，①易得直线的方程为，代入椭圆得，．
由得，，从而，所以．②直线过定点，理由如下：依题意，，由得，，则的方程为，即，所以直线过定点．64
.（1）已知椭圆的焦距为，所以又点在椭圆上，所以联立得故椭圆的方程．?（2）法1：由条件可得直线
的方程为：，设．由得，易知，为方程的两根，则所以，，则故直线的方程为．令，得，即，则，所以法2：，，
易得，且．又，，三点共线，则．因为，，所以，则所以65.（1）①由已知得，，，联立解得，．椭圆的方程为
．②直线的斜率为定值．由已知直线代入椭圆的方程消去并整理得所以，从而同理因为，所以即为定值．?（2）解
法一：，直线方程为，联立得所以．到的距离直线方程为，联立得所以，所以所以所以令，则当且仅当，即
时，取“”，所以的最大值为．解法二：直线方程为，联立得直线方程为，联立得令，则当且仅当，即时，
取“”，所以的最大值为．66.（1）因为椭圆过点，所以．因为，所以．所以椭圆的方程为．?（2）方法一
：依题意得．因为椭圆上存在点，关于直线对称，所以直线与直线垂直，且线段的中点在直线上．设直线的方
程为，，．由得．由，得因为，所以的中点坐标为．又线段的中点在直线上，所以．所以．代入，得或
．所以．因为，所以对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上．方法二：因为点在直线上，且关
于直线对称，所以，且．设，的中点为．则．又在椭圆上，所以．所以．化简，得．所以．又因为的中点在
直线上，所以．所以．由可得．所以，或，即，或．所以．所以对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点
总在直线上．67.（1）设的标准方程为，则由题意因此的标准方程为的渐近线方程为?（2）如图，由题意点在
直线和上，因此有故点，均在直线上，因此直线的方程为设、分别是直线与渐近线及的交点，由方程组
及解得设与轴的交点为，则在直线中，令得注意到，得68.（1）由已知，点在椭圆上，因此解得所
以椭圆的方程为．?（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于，两点．如果存在定点满足条件，则有，即
．所以点在轴上，可设点的坐标为，当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于，两点，则，的坐标分别为，
．由，得，解得所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标只可能为．下面证明：对任意直线，均有．当直线的
斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，点，的坐标分别为，，联立得．其判别式
，所以因此易知，点关于轴对称的点的坐标为．又，，所以，即，，三点共线，所以故存在与点不同的定点，使得
恒成立．69.（1）当的横坐标为时，过作轴于，由抛物线的定义可知，所以因为为等边三角形，所以又，所
以所以，所以．?（2）（i）设，，所以，所以．由直线可设直线方程为，联立方程消去得由和有且只有一
个公共点，得，所以，这时方程的解为，代入得，所以．点的坐标可化为，直线方程为即所以，所以直线过定
点．当，即时，直线的方程是，过点．综上，直线过点．（ii），即，联立方程得消去得所以，即，所以来
自QQ群339444963到的距离所以当且仅当时，""成立．70.（1）因为，，所以．所以椭圆方程为，其
准圆方程为．?（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，设过点且与椭圆相切的直线为，则由得．因为直线与椭
圆相切，所以，解得，所以方程为，．因为，所以．来自QQ群339444963（ⅱ）①当直线，中有一条斜率不存在时，
不妨设直线斜率不存在，则为，当为时，与准圆交于点，，此时为（或），显然直线垂直；同理可证当为
时，直线垂直．②当，斜率存在时，设点，其中．设经过点与椭圆相切的直线为，则由得．由化简整理得．因为
，所以有．设，的斜率分别为，，因为，与椭圆相切，所以满足上述方程，所以，即，垂直．综合①②知：因为，
经过点，又分别交其准圆于点，，且，垂直．所以线段为准圆的直径，，所以线段的长为定值．71.（1）设椭圆
的方程为，由已知，离心率，，得所以，椭圆的方程为．?（2）（i）由（1）可求得点，的坐标为，，则．设，
，设直线的方程为，代入得．由，解得，由根与系数的关系得四边形的面积．故当，．（ii）由题意知，直线
的斜率，直线的斜率，则由（i）知可得．所以的值为常数．72.（1）由已知得解得所以椭圆的标准方程为
．?（2）直线过定点．理由如下：由（1）可知椭圆右顶点．由题意可知，直线和直线的斜率存在且不为．设直线的
方程为．由得．成立．所以，所以．所以．于是，点．因为直线和直线的斜率乘积为，故可设直线的方程为
．同理，易得．所以点．所以，当时，即时，．直线的方程为．整理得．显然直线过定点．（点，关于原点对称）
当，即时，直线显然过定点．综上所述，直线过定点．73.（1）将代入椭圆方程，得由题意知，即因为，，
得所以，椭圆方程为?（2）设，当时，①当时，直线的斜率不存在，易知若，则直线的方程为由题意得由于，所以若
，同理可得②当时，设直线，的方程分别为由题意得整理得又因为，且所以即又因为所以整理得，所以综合①②可得，．当时，同
理可求得．综上所述，的取值范围是．?（3）设，则直线的方程为由整理得由题意，整理得又因为，所以可得由（2）知，
，所以因此为定值，这个定值为．74.（1）设椭圆的标准方程为（）．因为，，所以．所以．所以椭圆的标准方程
为．?（2）设，，，．（i）由消去得则，所以所以同理．因为，所以因为，所以．（ii）由题意得四边形是平行四边形，设两平行线，间的距离为，则．因为，所以，所以（或）所以当时，四边形的面积取得最大值为．75.（1）抛物线的焦点为．由题意，得直线的方程为，令，得，即直线与轴相交于点．因为抛物线的焦点在直线的下方，所以，解得．?（2）由题意，设，，，联立方程消去，得，由韦达定理，得，所以．同理，得的方程为，．对函数求导，得，所以抛物线在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即．同理，抛物线在点处的切线的方程为．联立两条切线的方程解得，，所以点的坐标为．因此点在定直线上．因为点到直线的距离所以，当且仅当点的坐标为时等号成立．由，得，验证知符合题意．所以当时，有最小值．76.（1）由已知得：解得因此，椭圆的方程为．?（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理得直线与椭圆有两个交点，所以解得设，，则则点到直线的距离为则当且仅当时取等号．所以当时，的面积最大，且最大值为．?（3）设直线，的斜率分别为、，由，得即．77.（1）由抛物线，得抛物线的焦点坐标为，设直线的方程为，，．由得则，且因为，所以所以，即，从而直线的方程为?（2）设，，，则．由消去得因为，所以，且设，则由，得即由，得因此，．由题意知，为等腰直角三角形，则，即亦即化简，得平方再配方，得即亦即结合，解得所以因此，的取值范围是．来自QQ群33944496378.（1）设为动圆圆心，由题意知，动点到定点与定直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，其轨迹方程为?（2）设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为将它代入消去得由韦达定理知（1）当，即时，则，因为，，所以解得由①知即因此直线的方程可表示为故直线恒过定点（2）当时，由，得将①式代入上式整理化简可得即此时，直线的方程可表示为即所以直线恒过定点综上，当时，直线恒过定点；当时，直线恒过定点．79.（1）由题意设，，，．由得，得，所以，．因此直线的方程为，直线的方程为．所以由①、②得，因此，即．所以，，三点的横坐标成等差数列．?（2）由（1）知，当时，将其代入①、②并整理得：，，所以是方程的两根，因此，，又，所以．由弦长公式得又，所以或，因此所求抛物线方程为或．?（3）设，由题意得，则的中点坐标为，设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得．若在抛物线上，则，因此或．即或．①当时，则，此时，点适合题意．②当，对于，此时，，又，，所以，即，矛盾．对于，因为，此时直线平行于轴，又所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的点．综上所述，仅存在一点适合题意．80.（1）由焦点在直线上，得又，则所以抛物线的方程为?（2）由（1）得，则抛物线的方程为设，，由消去得由于，则且有设、分别为线段、的中点，由于，，可知则所以的中点为设是以线段为直径的圆的半径，则而抛物线的准线与轴交点为，则故在以线段为直径的圆外． |
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