函数性质选填压轴题1.已知函数的定义域为，若存在常数，对任意，有，则称为函数．给出下列函数：①；②；③；④；
⑤是定义在上的奇函数，且满足对一切实数均有．其中是函数的序号为A.①②④B.②③④C.①④⑤D.①②⑤
2.定义：如果函数在上存在，满足，，则称函数是上的“双中值函数”．已知函数是上的“双中值函数”
，则实数的取值范围是A.B.C.D.3.已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递
增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”．若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是A.B.C
.D.4.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则A.B.C.D.
5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则对任意的，函数的零点个数至多有A.个B.个C.
个D.个6.设函数，则满足的取值范围是A.B.C.D.7.设函数，则函数的各极小值之和为
A.B.C.D.8.已知函数在上是减函数，且对任意的总有则实数的取值范围为A.B.C.D.
9.已知函数，则“”是“的最小值与的最小值相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.
既不充分也不必要条件10.已知函数，则的值为A.B.C.D.11.将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转
角，得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为A.B.C.D.12.已知函
数，则的值为A.B.C.D.13.已知是定义在上的函数的导函数，若方程无解，且，，设，，，
则，，的大小关系是A.B.C.D.14.已知是定义在上的偶函数，其导函数为，若，且，，则不等式
的解集为A.B.C.D.15.已知函数（，且）在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则
的取值范围是A.B.C.D.16.设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，当时，不等式成立，则
的最小值为A.B.C.D.17.对函数，如果存在使得，则称与为函数图象的一组奇对称点．若（为
自然数的底数）存在奇对称点，则实数的取值范围是A.B.C.D.18.若函数满足：在定义域内存在实数，使
得成立，则称函数为“的饱和函数”．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中是“的饱和函数”的所有函数的序号为A
.①③B.②④C.①②D.③④19.已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是A.B.C.D
.20.已知函数，，若对于任意实数，函数与的值至少有一个为正值，则实数的取值范围是A.B.C.D.
21.已知函数，点，是函数图象上不同两点，则（为坐标原点）的取值范围是A.B.C.D.22.定义在
上的偶函数满足，且当时，，若函数有个零点，则实数的取值范围为A.B.C.D.23.已知定义
在上的函数满足：①；②；③当时，则函数在区间上的零点个数为A.B.C.D.24.已
知定义在上的函数对任意的都满足，当时，，若函数，且至少有个零点，则取值范围是A.B.C.D
.25.若定义在上的函数满足：对任意的，都有，则称函数为“函数”．给出下列函数：①；②；③
；④其中函数是“函数”的个数是A.B.C.D.26.已知函数（且）和函数，若与两图象只
有个交点，则的取值范围是A.B.C.D.27.已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的
的取值范围是A.B.C.D.28.已知函数，若，则下列结论正确的是A.B.C.D.29.已知实数
，满足，，则函数的零点所在的区间是A.B.C.D.30.定义在上的函数满足：对任意正数，，若，
有，则称是上的“Ⅰ级函数”．给出函数，，，其中“Ⅰ级函数”的个数为A.B.C.D.31.设函数是奇函
数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是A.B.C.D.32.设函数（，为自然对数的底数）
，若曲线上存在点使得，则的取值范围是A.B.C.D.33.设的三边长分别为，，，的面积为（
，，，）．若，，，，，则A.为递减数列B.为递增数列C.为递增数列，为递减数列D.为递减数列，为递增数
列34.过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于两点，若，则双曲线离心率的值所在区间是A
.B.C.D.35.已知函数与函数在上有个交点，若方程的解为正整数，则满足条件的实数有A.
个B.个C.个D.个36.设二次函数在上至少有一个零点，则的最小值为A.B.C.D.3
7.已知函数函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是A.B.C.D.38.若存在直线与曲线
和曲线都相切，则称曲线和曲线为“相关曲线”，有下列四个命题：①有且只有两条直线使得曲线和曲线为“相关
曲线”；②曲线和曲线是“相关曲线”；③当时，曲线和曲线一定不是“相关曲线”；④必存在正数使得曲线
和曲线为“相关曲线”．其中正确命题的个数为A.B.C.D.39.已知，点在曲线上，若线段与曲线
相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点．记曲线关于曲线的关联点的个数为，则A.B
.C.D.40.设为平面直角坐标系中的点集，从中的任意一点作轴、轴的垂线，垂足分别为，，记点
的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为．若是边长为的正方形，给出下列三个结论：①的
最大值为；②的取值范围是；③恒等于．其中所有正确结论的序号是A.①B.②③C.①②D.①②③41
.对于函数，若存在区间，使得，则称函数具有性质，给出下列个函数：来自QQ群339444963①；②；③其
中具有性质的函数是?（填入所有满足条件函数的序号）．42.已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关
于直线对称，则的值为?．43.已知函数，若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是?．44.函数．①
.当时，函数的零点个数是?；②.若函数有两个不同的零点，则的取值范围是?．45.已知函数，则不等式的解
集为?．46.已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是?．47.已知函数，若在上有且仅有两
个不同的零点，则实数的取值范围为?．48.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有
，则?．49.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个
均值点．例如是上的“平均值函数”，就是它的均值点．给出以下命题：①函数是上的“平均值函数”；②若是上的“
平均值函数”，则它的均值点；③若函数是上的“平均值函数”，则实数的取值范围是；④若是区间上的“平均值函数”
，是它的一个均值点，则．其中真命题有?．（写出所有真命题的序号）50.已知函数，若关于的方程有且仅有个不同的
实数解，则实数的取值范围是?．51.函数的最大值与最小值之和为?．52.函数的定义域为实数集，，对于任意
都有，若在区间内函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是?．53.函数是定义在上的偶函数，且满足．当
时，．若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是?．54.定义在上的函数满足，，则
等于?．55.定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.可以证明，任意三次函
数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；来
自QQ群339444963②函数的对称中心也是函数的一个对称中心；③存在三次函数，方程有实数解，且点为函数
的对称中心；④若函数，则.其中正确命题的序号为?（把所有正确命题的序号都填上）.56.已知函数，其中．若存在实数，
使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是?．57.已知函数是定义在上的偶函数，对于，都有成立，当
，且时，都有，给出下列四个命题：①；②直线是函数的图象的一条对称轴；③函数在上为增函数；④
函数在上有四个零点．其中所有正确命题的序号为?．58.已知函数在区间上有零点，则的最大值是?．59.在
实数集中定义一种运算，对任意，，为唯一确定的实数，且具有性质：（Ⅰ）对任意，；（Ⅱ）对任意，，．关于函数的性质，
有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中所有正确说法的序号为?．60.定义域
为的函数满足，且，，成等比数列，若，，则满足条件的不同函数的个数为?．61.函数的最小正周期为，当时
，至少有个零点，则的最小值为?．62.若实数，，且，则当的最小值为时，函数的零点个数为?．63.
已知点，，且平行四边形的四个顶点都在函数的图象上，则四边形的面积为?．64.对于函数，若存在区间，使得，
则称函数为“同域函数”，区间为函数的一个“同域区间”．给出下列四个函数：①；②；③；④．存在“同域区间”的“同
域函数”的序号是?请写出所有正确的序号）65.已知函数，，若方程有且仅有个不同的实数解，则实数的取值范围是?．
66.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是?．67.如图，已知正方形的边长为，平行于轴，顶点
，和分别在函数，和的图象上，则实数的值为?．68.在平面直角坐标系中，把位于直线与直线（，均为常数，
且）之间的点所组成的区域（含直线，直线）称为“型带状区域”，设为二次函数，三点，，均位于“型带状区域”，如果点
位于“型带状区域”，那么，函数的最大值为?．69.若平面直角坐标系内，两点满足：（1）点，都在的图象上；（
2）点，关于原点对称，则对称点是函数的一个“QQ群339444963”，点对与可看作一个“QQ群3394449
63”，已知函数，则的“QQ群339444963”有?个．70.设，，分别为三内角，，的对边，面积，若
，则的最大值是?．71.已知，，且．现给出如下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是?．72.设函数
，的定义域分别为，，且．若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数．设，为在上的一个延拓函数
，且是奇函数，给出以下命题：①当时，；②函数有个零点；③的解集为；④函数的极大值为，极小值为；⑤，
都有．其中正确的命题是?（填上所有正确的命题序号）．73.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，
若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中
心，且“拐点”就是对称中心．设函数，请你根据这一发现，计算?．74.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，
令，则关于有下列命题：（1）的图象关于原点对称；（2）为偶函数；（3）的最小值为；（4）在上为减函数．其中正确
命题的序号为?．（将你认为正确的命题的序号都填上）75.在平面直角坐标系中，已知是函数的图象上的动点，该图象在点
处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是?．76.在平
面直角坐标系中，已知点，点，为圆上一动点，则的最大值是?．77.若数列满足，，则的最小值为?．7
8.若存在正实数，对于任意，都有，则称函数在上是有界函数．下列函数①；②；③；④，其中“在上是有界函
数”的序号为?．79.设函数的定义域为，若对于任意的当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心.研究函数
的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到?．80.对于函数和实数，若存在，使成立，则称为函数
关于的一个“生长点”，若为函数关于的一个“生长点”，则?；若，，则函数关于的“生长点”共有?个．
81.已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是?．82.已知
函数的定义域为，若存在常数，对任意，有，则称函数为函数．给出下列函数：①；②；③；④．其中是函数的
序号为?．83.对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范
围是?．84.关于函数的性质，有如下四个命题：①函数的定义域为；②函数的值域为；③方程有且只有一个实
根；④函数的图象是中心对称图形．其中正确命题的序号是?．85.已知关于的方程在上有实根．则实根的最大值是
?．86.若函数对任意实数，在闭区间上总存在两实数，，使得成立，则实数的最小值为?．87.设函数．若
存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为?．88.已知正数满足：，，则的取值范围是?．89.已知，．若同
时满足条件：①，或；②，则的取值范围是?．90.若整数满足不等式（），则称为的“亲密整数”，记作，
即，已知函数．给出以下四个命题：①函数（）是周期函数，且其最小正周期为；②函数（）的图象关于点（）中心对称；③函
数（）在上单调递增；④方程在上共有个不相等的实数根．其中正确命题的序号是?．（写出所有正确命题的序号）．91
.定义，设，，则的最小值为?，当取到最小值时，?，?．92.已知，是非零不共线的向量，设，定义点集．
当时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为?．93.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，
是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的＂拐点＂．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有＂拐点＂；任何一个三次
函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若，则该函数的对称中心为?，计算?．94.设函数的定义域为，若存在非零实数
使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数．（1）如果定义域为的函数为上的高调函数，那么实数
的取值范围是?．（2）如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是?．
95.已知函数，任取，定义集合：．设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记．则①函数的最大值是?；②函数
的单调递增区间为?．96.如图，在直角梯形中，，，，，，为线段（含端点）上一个动点，设，，对于函数，给出以下三
个结论：①当时，函数的值域为；②，都有成立；③，函数的最大值都等于．其中所有正确结论的序号是?．97.
记实数中的最大数为，最小数为．已知实数，满足且，，能构成三角形的三边，若，则的取值范围是?．98.已
知曲线在点处的切线的斜率为，直线交轴，轴分别于点，，且．给出以下结论：①；②当时，的最小值为
；③当时，；④当时，记数列的前项和为，则．其中，正确的结论有?（写出所有正确结论的序号）99.已知函数
则（1）?；（2）给出下列三个命题：①函数是偶函数；②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；③存在，使得以
点为顶点的四边形为菱形．其中，所有真命题的序号是?．100.数列中，，则?；若有一个形如的通
项公式，其中均为实数，且，则此通项公式为?（要求写出的数值）．答案1.C2.C【解析】由题意可
知，因为在区间存在，，满足，因为，所以，所以方程在区间有两个不相等的解．令，．则解得：．所以实数
的取值范围是．3.C【解析】因为函数与的图象关于轴对称，所以，因为区间为函数的“不动区间”，所以函数
和函数在上单调性相同，因为和函数的单调性相反，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成
立，即．4.D【解析】由题意，如图所示，可知．所以．5.A【解析】当时，，可得，可知，函数是减函数，函数是
增函数，，，且时，，又是定义在上的奇函数，，而时，，所以函数的图象如图：令则，由图象可知：当时，方程
至多个根，当时，方程没有实数根，而对于任意，方程至多有一个根，，从而函数的零点个数至多有个．6.C【解析
】1）当时，，此时，成立．2）当时，．当，即时，，成立．当，即时，，此时，所以不满足题意．综上，的取值范
围是．7.D【解析】提示：令，得，易知当时取到极小值，故各极小值之和为8.B【解析】函数的对称轴为，且
在区间上是减函数，得，对任意的，总有恒成立，即，又，当时，，，所以，又，所以的取值范围是．9.A
【解析】，若，则，所以当时，取最小值，即，所以“”是“的最小值与的最小值相等”的充分条件；若“的最小值与
的最小值相等”，则，即，解得或；所以“”是“的最小值与的最小值相等”的充分不必要条件．10.B11.D1
2.B【解析】因为函数，所以则．13.D【解析】由题意，可知是定值，不妨令，则，又，所以，即，则
，显然当时，有，即函数在上为单调递增，又，所以．14.A【解析】因为函数是偶函数，所以．所以，即函数
是周期为的周期函数．因为，所以．设，则，所以在上单调递减．不等式等价于，即，所以，所以不等式
的解集为．15.C【解析】由在上递减，则，又在上单调递减，则：．由图象可知，在上，有且仅有一个解，故
在上，有且仅有一个解，当，即时，由得，则，解得：或（舍），当即时，由图象可知，符合条件．综上：．1
6.A【解析】由，即得，又，分别为偶函数、奇函数，所以联立解得，，．，即，也即，即，因为存在实数
，当时，不等式成立，，所以．所以的最小值为．17.B18.B【解析】对于①，若存在实数，满足，则，所
以，（，且），该方程无实根，因此①不是“的饱和函数”；对于②，若存在实数，满足，则，解得，因此②是“的饱和函数”；
对于③，若存在实数，满足，则，化简得，该方程无实根，因此③不是“的饱和函数”；对于④，注意到，，即，因此是“的饱和
函数”；来自QQ群339444963综上可知，其中是“的饱和函数”的所有函数的序号是②④．19.D【解析】．由，得，解得
．由在内没有零点，得，解得，因此，．来自QQ群33944496320.C【解析】当时，函数的图象为开口向
下的抛物线，所以在时，不恒成立．函数当时，．所以不满足题意．当时，，，不满足题意．当时，需在时恒成立
，所以令或即或解得或．综合得：．21.A【解析】当时，由得，此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐
近线为，此时渐近线的斜率，当时，，来自QQ群339444963当过原点的直线和相切时，设切点为，函数的导数，则切线
斜率，则对应的切线方程为，即，当，时，，即，即，得，此时切线斜率，则切线和的夹角为，则，则，故（为
坐标原点）的取值范围是．22.A【解析】因为函数可得图象关于直线对称，且函数为偶函数则其周期为，又因为，当时
有，则函数在为减函数，作出其函数图象如图所示：其中，，当时要使符合题意则，根据偶函数的对称性，当时，要使符合
题意则．综上所述，实数的取值范围为．23.A【解析】由得函数的图象关于点对称，由得函数的图象关于直
线对称，作出函数在区间上的图象，再由对称性作出函数在区间上的图象，并在同一坐标系内作出函数的图象，由图象可
知函数在区间上有个零点．24.A【解析】故函数周期为，已知其在的解析式是可画出图象．的零点就是与
交点．可知或满足题意．解得范围是.25.B【解析】由整理得，，由单调性定义，可知“函数”为单调递
增函数.所以对于①，在上不恒大于，所以不是"函数".对于②，恒成立.所以是"函数".对于③，由图象可知为
"函数".对于④，由图象可知不是"函数"．26.D【解析】由题意（且）与图象有个交点，如图所示，①当
时，恒过点，在上单调递增，所以与在上有个交点．所以得．②当时，在上单调递减，与在
，，上有个交点．所以所以．综合①②可得的取值范围为．27.B【解析】，则.所以单调递增．又因为
是奇函数且．所以使得成立的的取值范围是.28.D【解析】．（i）当时，；（ii）当，且时，．①当
时，根据三角函数线的性质，得，又，所以；②当时，，则，又，所以．综合（i）（ii），当时，．所以在
上是减函数．若，则，所以．29.B30.D31.A【解析】当时，，可得，所以在上单调递减．因为
为奇函数，所以为偶函数，在上单调递增．又，所以，所以．当时，的解集为的解集；当时，的解集为的
解集．所以的解集为．32.A【解析】曲线上存在点使得，则．考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取，C
，D两个选项中参数都可取，A，B，C，D四个选项参数都可取，由此可先验证参数为与时是否符合题意，即可得出正确选项．当
时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究时是否成立．由于是一个增函数，可得出，而，故不合题意，由此知B
，D两个选项不正确．当时，此函数是一个增函数，，而没有意义，故不合题意，由此C，D两个选项不正确．综上讨论知，可确定
B，C，D三个选项不正确，故A选项正确．33.B【解析】且，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以．
由题意，得，整理，得，结合递推，得，所以，即．又由题意，得，所以，化简，得，则，所以，，由海伦公式，得
显然是关于的增函数（可证当时）．34.C【解析】由，得，即到的距离为；又从而得到的
距离为．所以，，由．得：．令，根据得即．所以所以在为增函数．根据零点定理，在上为增函数，且满足
：，所以在有唯一解．35.B【解析】在同一坐标系中画出函数与的图象，如图所示，结合图象可知，实数的取值
范围是．由可得．设．逐个检验，当时，可得，不成立；当时，可得，满足条件；当时，可得，不满足条件．
又函数在上单调递增，故满足条件的实数只有个．36.A【解析】解法1：由已知得，设为二次函数在上的零
点，则有，变形，于是，因为在是减函数，上述式子在，，时取等号，故的最小值为．解法2：把等式看成关于，
的直线方程，利用直线上一点（）到原点的距离大于原点到直线的距离，即（以下同上）．37.A【解析】当时，函数单调递
减，则；当时，，，此时为单调增函数，可求，所以函数在上的值域为；因为，则函数在上的值域为，因为存
在，使得成立，故区间和区间有交集，假设区间和区间无交集，则或，解得或，所以所求的范围是．3
8.C39.B【解析】设点，则线段的中点坐标是，由于此点在曲线上，故，即，此方程的根即两函数，的交点
的横坐标，画出两函数图象的草图：由图知，它们仅有一个交点，故符合条件的关联点只有一个，即．40.D【解析】提示：如图，根据图
形可知，恒成立；当正方形的对角线平行于坐标轴（或在坐标轴上）时，和均取得最大值为；当正方形的一边平行于坐标轴（或在坐标轴
上）时，和均取得最小值为．41.【解析】①若存在符合题意的，因为，所以，，在是增函数，则，，即有两相
异的实根，但与只有一个交点；②的两个极值点为，与，极大值为，极小值为，注意到，，所以区间符合．③易知
是增函数，若存在符合题意的，则有两个相异实根，作出，的图象，易见有两个交点，交点的横坐标分别为，，符合．42.【
解析】，由题意知必为函数的最大值，所以，即．又，即，所以，所以．43.44.，【解析】①时，即对
于函数且在上为增函数，在上为偶函数.而．所以无解，时，函数无零点；②根据题意，即由图象分析可得：
有解，则的图象与的图象有交点，所以.45.46.【解析】由已知得方程有两个不同的根，所以函数的图象与函
数的图象有两个不同的交点，如图，所以．47.48.【解析】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
因为对满足的，，有，即两个函数的最大值与最小值的差为时，有，不妨设，则，，若，，此时，解得（舍去）．若
，，此时，解得，满足题意．所以的值为．49.①③④【解析】①由，可得是它的一个均值点．②举一个反例．如，
，由题意，得，但．③由及，得，从而．④．要证，即证，即证．令，则．记，则，在上是减函数，从而
，于是成立．50.．51.【解析】由，得，所以，即，由，得，解得：．所以函数的最大值与最小值分别为
，，和为．52.53.【解析】因为是定义在上的偶函数，所以的图象关于轴对称，又因为，所以的周期为
，由有四个不同的实根，即，所以函数的图象与函数的图象在区间上有四个不同的交点，如图，由题意得，所以．54.
【解析】由已知的函数方程，得由，得所以55.②③④.【解析】①因为对三次函数，方程为一次函数，所以方程最多只有一个
根，故不存在有两个及两个以上对称中心的三次函数，①错误；②令，得，所以函数的对称中心是，的周期为，也是其对称中心，
故②正确；③对三次函数，，所以，令，可得，所以任意三次函数都关于点对称，把，代入，可得，所以，存在三次函数，
方程有实数解，且点为函数的对称中心，故③正确；④因为，所以，所以，令，可得，，所以的对称中心为，所
以，所以，故④正确．56.【解析】由题意方程有三个不同的根，即直线与函数的图象有三个不同的交点．作出函数的
图象，如图所示．若存在实数，使方程有三个不同的根，则，即．又因为，所以，即的取值范围为．57.①②④【解析
】因为对于任意，都有成立，令，则，得，故①正确；由（1）知，所以，即周期为，又因为是上的偶函数，
所以，而周期为，则，，所以，所以直线是函数的图象的一条对称轴，即②正确；当，且时，有，所以函数
在上为减函数，而周期为，所以函数在上为减函数，故③错误；④为偶函数，周期为，在上为减函数，，作出
函数在上的大致图象如图所示．则函数在上有四个零点，故④正确．故答案为①②④．58.【解析】因为在区间
上有零点，若有一个零点，则，即，所以或，所以；若有两个零点，则则此时显然小于．59.①②【解析】
根据题中条件得出，函数，因为（时等号成立），所以函数的最小值为，故①正确；所以，函数为偶函数；故②正确；运用
复合函数的单调性判断函数的单调递增区间为．故③不正确．60.【解析】依题意，，，成等比数列，所以，又，可知函数从
，时，每增加，函数值是加或者是减．从到需要变化步，当时，由于函数值增加了，可知步中有步是增加
，步是减小，共有种不同情况，而，从到需要变化步，函数值增加了，所以步中有步增加，步减少，
所以共有种情况，所以此时共有种情况；当时，由于函数值减少了，可知步每一步都是减少，共有种情况，而，从
到需要变化步，函数值增加了，所以步中有步增加，步减少，共有种不同情况，综上可得，所有不同的函数共有
个．61.【解析】函数，化简可得：．因为最小正周期为，即，所以，可得．所以．根据正弦函数的图象及性质可知：函数
的轴左侧的第一个零点为，右侧的第一个零点为，时，至少有个零点，不妨设，则．此时可得最小值为．62.
【解析】即，从而．由，得．因为函数与的图象只有一个交点，所以函数只有一个零点．63.【解析】要使函数有
意义，则，解得或．因为，所以函数为奇函数，所以其图象关于原点对称．因为，所以函数在上单调递减，所以函数
的图象与平行四边形如图所示，所以，直线的方程为：，因为点关于原点对称的点为，所以点到直线的距离，所以平行
四边形的面积．64.①②③【解析】①，时，，所以①存在同域区间；②，时，，所以②存在同域区间；③，时，，所以
③存在同域区间；④，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以
该函数不存在同域区间.故①②③正确．65.来自QQ群339444963【解析】，当时，，所以在上是增函数，当时
，，所以当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，当时，取得极大值，令，又，，则当时，方
程无解；当或时，方程有一解；当时，方程有两解；当时，方程有三解，因为有四个不同的实数解，所以关
于的方程在和上各有一解．66.【解析】①若，则，，所以在上单调递增，则，由，解得；②当时
，若，则，满足条件，即；若，当时，函数在上的图象如图（1）所示；当时，函数在上的图象如图（2）所示
．则，即或，解得或．综上，实数的取值范围为．来自QQ群33944496367.【解析】设，因为平行于
轴，所以即，所以，所以，解得．由已知，垂直于轴，所以，，即，所以．68.【解析】设，由题意可知
，，，因为所以因为，所以，所以69.【解析】设，则点关于原点的对称点为，于是，化为，令，下面证明方
程有两解．由，解得，而，所以只要考虑即可．求导，令，则，所以在区间上单调递增，而，，所以在区间
上只存在一个极值点．而，，，所以函数在区间，分别各有一个零点．也就是说的“姊妹点对”有个．70.71.
②③【解析】求导函数可得，因为，且，所以，设，因为，所以，，所以，所以，所以，所以，
所以，所以，，所以，.72.①③⑤【解析】由延拓函数的定义，因为是奇函数，设，则，则，所以当时
，；所以命题①正确；因为所以函数有个零点；命题②不正确；由函数的解析式，的解集为；所以命题③正确；当时，
，所以当时，单调递增；当时，单调递减；当时，，所以当时，单调递增；当时，单调递减；所以函数的极大
值为，极小值为；所以命题④不正确；作出函数的图象，当时，，当时，，即；当时，，当时，，即；所以
，都有；所以命题⑤正确.73.【解析】提示：因为，所以，解得，又，所以点为函数的一个对称中心，所以，所以
．74.（2）（3）【解析】提示：由题可得，所以，其定义域为．因为，所以为偶函数；根据复合函数单调性判断方法可知，
在上为减函数，在上为增函数，故的最小值为．75.【解析】设切点坐标为所以该图象在点处的切线的方程
为令，解得过点作的垂线的切线方程为令，解得所以线段的中点的纵坐标为，令解得：当时，
，当时，所以当时取最大值故答案为：76.【解析】设，，则，圆两边乘以，两圆方程相减可得，到直
线的距离，因为，所以，所以的最大值是．77.【解析】因为数列满足，，所以．令，．所以，变形为：，所以数
列是等比数列，首项为，公比为．所以，即，所以，令．所以所以．时，；时，；时，；时，；时，；时
，，时，指数单调递增．则的最小值为．78.②③【解析】①，当时，，不符合题意，故不选；②，所以，符合题意
，可选；③，因为，所以，由可得，在单调递增，在单调递减，当时，取得最大值，有，符合题意，可选；④，
当时，当时，，当时，，当时，，不符合题意，故不选．79.【解析】显然，所以.80.，【解析】由
为函数关于的一个“生长点”，则；由，设函数关于的“生长点”为，则则，、可能取值为，，.所
以，，则函数关于的“生长点”共有个.81.【解析】时，．时，时也成立，所以．所以，为奇数时
，；为偶数时，．因此为奇数时，对恒成立，所以，，所以．为偶数时，所以对恒成立，所以，，所
以．综上可得：．82.②④【解析】因为，所以，没有最大值，所以①不是函数．，所以存在，所以②是函数．③不是
函数．因为，所以此时存在，所以④是函数，所以是函数的有②④．83.【解析】因为，所以在上是增函数，所以
即，是方程的两个不等的正实数根，问题等价于方程有两个不等的正根．设，易得，所以．84.①③④【解析】
因为，所以的值域为；设，则在上单调递减，且，，所以在上有且只有一个零点，即有且只有一个实根；因为
，所以关于成中心对称．所以①③④正确．85.【解析】因为，所以，令，则，令，则，当时，，当
时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，所以在上只有一个零点，又，所以当时，，当时
，，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为．8
6.【解析】，由题设知原题可以等价于对任意区间，，函数在上的最大值与最小值之差大于等于，不妨设，则原题可转化成对
任意，在上最大值与最小值之差大于等于，①当时，在上递增，从而，即对恒成立，从而，；②当时，
在上递减，从而，对任意恒成立，即对任意恒成立，从而，；③当时，在上递减，在上递增，且，从而
，对于恒成立，从而；④同理时，也有，综上知．87.【解析】①当时，，当时，，不符合题意．②当时，若
，则，不符合题意．若，则，不合题意．所以，．当时，，，当时，，，又.所以如果存在唯一的整数，使得，则
或.若，由可得，这时，符合题意；若，则，可得，这时，符合题意；综上所述，的取值范围是.88.【
解析】根据条件得到不等式组和目标函数，利用线性规划求解．由已知，得令则问题转化为：求的取值范围．画出可行域，如图，由
于，则的最大值为．设曲线在点处的切线方程为，将原点的坐标代入，解得，从而切点为．而切点在曲线上的点
之间，所以的最小值为．故的取值范围是．89.【解析】满足题意的大致图象如下：对于①，当时，．因为，或，
所以在时恒成立．由二次函数的性质，可知抛物线开口只能向下，且与轴的交点都在的左侧，于是解得．又因为，而此时
恒成立，所以在时有成立的可能，从而只要比中的较小的根大即可．（1）当时，不成立；（2）当时，有两个等
根，不成立；（3）当时，，即成立．综上，可得①②成立时，则有．90.①④来自QQ群339444963【解析】当时
，满足不等式（）的“亲密整数”，当时，满足不等式（）的“亲密整数”，归纳得出：表示对进行四舍五入后的整数，从
而作出函数的图象，是一些左开右闭的线段组成，如图：由图象可得：①函数，是周期函数，且其最小正周期为，所以①正确；②函数
，的图象不关于点，中心对称，故②不正确；③函数，在上不是单调递增，因为，，故③错误；④方程在上共有个不
相等的实数根，所以④正确．91.，，【解析】令，则，，则当且仅当时，上式中的等号均成立．所以的最小值为，此时．
来自QQ群33944496392.【解析】由知三点共线，且．由知，即．由角平分线性质知，设，，，则，化
简得，即，所以的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．由已知，，在圆上，所以，又，所以，因为，在上单调递增
，所以，所以，故实数的最小值为．93.【解析】可求得，则，，故函数图象的对称中心为．设是函数图象上任意
一点，则它关于对称中心的对称点为，而仍在函数图象上，于是有，又，所以，即．由此，倒序相加即得．94.，【解析】（1）对上的任意，则恒成立，即恒成立．而对于，当时的最大值为，所以有．又因为，即在上恒成立，化简得．又因为，所以，即恒成立．而当时，最大值为，所以．（2）的图象如图所示．因为当时，函数的最大值为，所以要满足，必须大于等于区间长度，即，解得．95.，【解析】集合表示函数上，落在以函数上一点为圆心，为半径的圆内的点的纵坐标的集合，示意图如下：当点在轴上时，有最大值，此时．当点为的最值点时，有最小值，此时．结合图象易知，当时，单调递增．96.②③【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，．因为，所以，，，所以对于①，当时，函数的值域为，故①不正确；对于②，，，故②正确；对于③，，为二次函数，对称轴为．因为且，所以当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，故最大值在端点处取得，又，所以；当时，，在上单调递减，所以，故③正确．97.【解析】因为，所以，，又，所以，，①当时，作出不等式组表示的可行域，如图：因为抛物线与直线与的交点分别为和，则，表示点与区域内任意一点连线的斜率，由图可得，所以，所以；②当时，作出不等式组表示的可行域，如图：因为抛物线与直线和的交点分别为和，则，有图可得，所以；综上所述得的范围是．98.①③④【解析】对①，由，当时，，所以，即，切线方程为．令，则，令，则，即，．由于，所以，所以，故①正确．对②，由于，令，则在上单调递增，所以当时取得最小值，且为，故②错误．对③，当时，，令，则有，所以，由于，则，即，所以函数在上单调递增，即，所以成立，故③正确．对④，当时，记数列的前项和为，，由于（当且仅当时取等号），则，所以，来自QQ群339444963所以，所以，故④正确．99.，①③【解析】（1）当时，，则，当时，，则，综上，．（2）①当时，则，故，当时，则，故，所以，函数是偶函数，①正确；②显然互不相等，不妨设．从纵坐标考虑，、、均为或，于是等腰直角三角形只可能如图放置：此时．注意到与同为有理数或同为无理数，因此，矛盾．于是没有符合条件的等腰直角三角形．③继续②的思考，不妨设．菱形只可能如图放置（其中）：此时，，欲使，，则只需要为有理数．在此基础上分析具体函数值：若，，则为无理数，为有理数，此时可取，即可满足要求，于是③正确．（此时四个点的坐标为，，，）．100.，来自QQ群339444963【解析】由已知，得由方程组解得 |
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