杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准2019.12.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～
6题每题4分，第7～12题每题5分）1．；2．；3．；4.；5.；6.；7.；
8.；9.；10.12；11.；12.①②④选择题（本题共有4题，满分20
分，每题5分）13.D；14.A；15.C；16.D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在
答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）连接，因为分别为的中点.
所以∥（2分）又因为∥，可得：∥（4分）所以四点共面（6分）（2）设与交于点，连接由分别为的中
点，可得∥所以或其补角为异面直线与所成的角（8分）由⊥平面可得：因为，，所以，（10分）（12分）（给在的关系上）．
异面直线与所成角的大小为（14分）说明：第⑵题也可以用空间向量求解⑵【解】：建立如图空间直角坐标系，，，，（10分），
（12分）与所成的角满足∴异面直线与所成角的大小为．（14分）18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1
）由，所以，（2分）方程即，可得：或（4分）解得或（6分）（2）函数的定义域为（8分）当时，，对任意
，均有所以为偶函数；（10分）当时，，对任意，均有所以为奇函数；（12分）当且时，，由，，所以为非奇非偶函数。
（14分）⑵【另解】：函数的定义域为．为奇函数当且仅当对任意恒成立，，即，∵任意∴，即．（10分）【说明】：，须将代回解析
式验证恒成立．为偶函数当且仅当对任意恒成立，，即，∵任意∴，即．（12分）综上所述：当时为偶函数；当时为
奇函数；当时为非奇非偶函数．（14分）19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）ΔACE中，,
（2分）（4分）会受影响（6分）（2）ΔABC中（8分），道口B不受影响（9分）过道口
A：时间分钟（11分）过道口B：时间分钟（13分）走道口B更快.（14分）20.（
本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设，；（2分）解得（4分）（2）设，因为为
等腰直角三角形，且所以AF：（6分）代入解得：（8分）（舍去）即：（10分）（未舍负值扣一分）⑶证明：
设是抛物线上异于原点的点，经过的直线方程：，，得若直线与抛物线相切，则即，∴即切点为的切线斜率为．（12分）设弦所在直线的
方程为，，，，即是方程的根．【充分性】：已知为弦的中点．则．代入过点的切线方程，得．∴点在过点的切线上，即直线与抛物线相切．（1
4分）【必要性】：设直线与抛物线相切，直线的方程为。令，则，即，故．∴为弦的中点．（16分）21.（本题满分18分，第1小题满
分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1），，（1分）所以（2分）（3分）所以，该无穷等比数列具有性质．
（4分）⑵【证明】：因成立，故成立．（6分）∵数列具有性质，∴而对于任意正整数，都有（8分）假设，则（与为任意正整数相矛盾
）（9分）∴．（10分）（3）设，前n项和.所以（12分）所以对于任意成立.即对于任意成立.（14分）所以，，得到.（15分）即有对于任意成立.解得（16分）所以.（18分）7 |
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