杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷2019.12.考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号
,并将核对后的条形码贴在指定位置上.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分
，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．函数的定义域为.2．关于的方程组的增广矩阵为
.3．已知函数的反函数，则.4．设，为纯虚数（为虚数单位），则.5．已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角
的大小为.6．已知的二项展开式中的系数为，则实数.7．椭圆的焦点为，为椭圆上一点，若，则.8．已知数列的通项公式为（）
，是数列的前项和.则.9.在直角坐标平面中，，动点在圆上，则的取值范围为.10．已知六个函数：①；②；③；④；⑤；⑥
.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有种.11．已知函数（），若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范
围为.12．向量集合．对于任意，以及任意，都有，则称为“类集”．现有四个命题：①若为“类集”，则集合（为实常数）也是“类
集”；②若都是“类集”，则集合也是“类集”；③若都是“类集”，则也是“类集”；④若都是“类集”，且交集非空，则也是“类集”
．其中正确的命题有_________.（填所有正确命题的序号）二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确
选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．已知实数满足，则下列不等式中恒成立的是（）
14．要得到函数的图象，只要将的图象（）向左平移个单位向右平移个单位向左平移个单位向右平移个单位15．设为复数
,则下列命题中一定成立的是()如果,那么如果,那么如果,那么如果,那么16．对于全集的子集，定义函数
为的特征函数.设为全集的子集，下列结论中错误的是（）若，则三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须
在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面.，
，分别为棱的中点.⑴求证：四点共面；⑵求异面直线与所成的角．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函
数，其中为实常数.⑴若，解关于的方程；⑵判断函数的奇偶性，并说明理由．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满
分8分）东西向的铁路上有两个道口，铁路两侧的公路分布如图，位于的南偏西，且位于的南偏东方向，位于的正北方向，，处一辆救护车欲通过道
口前往处的医院送病人，发现北偏东方向的处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要分钟，救护车和火车的速度均为
.⑴判断救护车通过道口是否会受火车影响，并说明理由；⑵为了尽快将病人送到医院，救护车应选择中的哪个道口？通过计算说明．20．（
本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）如图,在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，点是第一象限内
抛物线上的一点,点的坐标为().⑴若，求点的坐标；⑵若为等腰直角三角形，且，求点的坐标；⑶弦经过点，过弦上一点作直线的垂线，
垂足为点，求证：“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第
3小题满分8分）已知无穷数列的前项和为，若对于任意的正整数，均有，则称数列具有性质.⑴判断首项为，公比为的无穷等比数列是否具有性
质，并说明理由；⑵已知无穷数列具有性质，且任意相邻四项之和都相等，求证：；⑶已知（），数列是等差数列，，若无穷数列具有性质，求的取值范围．2 |
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