焦点三角形1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做
椭圆的焦距．集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，
则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的__距离之差的绝对值__等于非零常数(
小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．集合P＝{M＝2a}，＝2
c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.(1)当__a＜c__时，点P的轨迹是双曲线；(2)当__a＝c__时，点P的轨迹是两条射
线；(3)当__a＞c__时，点P不存在．3．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)__距离相等__的点的轨
迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__焦点__，直线l叫做抛物线的__准线__．由椭圆或抛物线的点与两个焦点组成的三角形叫焦点三角形。
焦点三角形的周长例1.设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。求的离心率；解析：由椭圆定义知，
又，得的方程为，其中。设，，则A、B两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1，所以得故所以E的离心率举一反三1.已知为椭圆
的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则=。解析：因为.所以|AB|=20-12=8.2.已知的顶点B、C在椭圆上，顶点
A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是（B）6（C）（D）12解析：，，所以选C3.在平面
直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为．过点的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为___
______．解析：△AB的周长C=4a=16,a=4.e=,c=,,4.过双曲线左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点
，F2为其右焦点，则|MF2|+|NF2|-|MN|的值为。解析：根据双曲线定义有|MF2|-|MF|=2a，|NF2|-|NF
|=2a，两式相加得|MF2|+|NF2|-|MN|=4a=8答案：8焦点三角形的面积例1．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，
点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3C．D．点评：（
1）,是椭圆的两个焦点，M是椭圆的动点，则△的面积为S=c||=()（2）,是双曲线的两个焦点，M是双曲线的动点，则△的面积为S
=c||=()举一反三1.已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为（B）（C）（D）解析：S=c|
|==2，，|2.已知、为双曲线C:的左、右焦点，点p在C上，∠p=，则P到x轴的距离为(B)(C)(D)解析：S=
c||=3.已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________.w.w.w.k
.s.5.u.c.o.m【答案】34.已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则(A)2(B)4
(C)6(D)8解析1：由余弦定理得cos∠P=4解析2：由焦点三角形面积公式得：45.设为双曲线上的一点
，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．解析：因为，设，根据双曲线定义得，所以，，为直角三角形，其面积
为，选B6.已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为(C)(B)(C)(D)解析：7.设椭圆上一点
到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则=．解析：椭圆左准线为，左焦点为（-3，0），P（，由已知M为PF中点，M
（，所以8.（四川省绵阳市2019届高三上学期期末数学（文科）试题）16.已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，点
为的内心，且、、的面积分别为、、，若，则的值为__________．解析：据题意，因为离心率，设点为的内心，设半径为r，得化简
得，设9.（河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检数学（理）试题）11.已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左、右
焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，则（）A.4B.8C.D.4解析：由，得，故
线段所在直线的方程为，又点在线段上，可设，其中，由于，即，得，所以．由于，可知当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，则．
故选A.焦点三角形的角平分线例1.椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率.求椭圆E的方程；求∠F
1AF2的角平分线所在直线的方程.（本小题满分12分）本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方
程，点到直线的距离公式等基础知识，考查解析几何的基本思想和综合运算能力.解析：（1）设椭圆E的方程为由e=，得=，b2=a2-c
2=3c2.∴将A（2,3）代入，有，解得：c=2,椭圆E的方程为（Ⅱ）由(Ⅰ)知F1（-2,0），F2（2,0），所
以直线AF1的方程为y=(X+2)，即3x-4y+6=0.直线AF2的方程为x=2.由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线
所在直线的斜率为正数.设P（x，y）为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则有若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0
，其斜率为负，不合题意，舍去.于是3x-4y+6=-5x+10，即2x-y-1=0.所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x
-y-1=0.名师点睛：△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，则P是椭圆的动点，,为椭圆的两个焦点，△P的内切圆半径为r,则
举一反三1.已知、分别为双曲线C:-=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（-2，0），AM为∠的平分线．则|A|=
解析：由角平分线定理得：故2.已知,是椭圆的两个左右焦点，O为椭圆的中心，P是多远上的点，△的内切圆的圆心为I,延长直线PI交
X轴于点B，若e为椭圆的离心率，则()eB.1C.D.不确定解析：由角平分线定理得：,由椭圆性质
及比例性质得：变式三：P是椭圆C:上除长轴端点外的任一点，连接,,设∠的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围。已
知P是椭圆上的一点，,是椭圆的左右焦点，△P的内切圆的半径为，则()B.C.D.0解析：如图1-6所示，设P在第
一象限，=所以,所以选C举一反三1.已知点P为双曲线右支上的一点，点,分别是双曲线的左右焦点，点I是△P的内心，且,则=
（）B.C.D.解析：2.已知，是椭圆的左右焦点，点的坐标为，则的角平分线所在直线的斜率为A.B.C.D.
解析：，，是椭圆的左右焦点，，轴，，，点关于的角平分线对称的点在线段的延长线上，又，，，线段的中点，的角平分线的斜率．设角平分线
与x轴的焦点为M，，求出m=角平分线的斜率为故选A．焦点三角形的中位线已知椭圆的左焦点为,若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为
直径的圆与线段P相切于线段P的中点E,则椭圆的离心率为（）B.C.D.解析：连接P和右焦点.则OE是△的中位线，
所以，且,由勾股定理得：举一反三1.如图1-8所示，,是双曲线（a,b>0）的左右焦点，过点作斜率为k的直线交双曲线右支于点P
，且∠为锐角，M为线段的中点，过坐标原点O作于点T,且|OM|-|TM|=b-a,则k=()B.C.D.，
|OM|-|TM|=b-a2.从双曲线（a,b>0）的左焦点F引圆的切线,切点为T,且交双曲线的右支于点P，若点M是FP的中点
，O为坐标原点，则|OM|-|TM|=()B.b-aC.D.解析：3.过双曲线的左焦点(-c,0)作圆
的切线，切点为E，延长E交抛物线于点P,若E是线段的中点，则双曲线的离心率是（）B.C.D.解析：设P的坐标为（x,
y）由抛物线的定义得：由中位线的性质得：OE==a,则x=2a-c,4.已知椭圆：，点与的焦点不重合.若关于的焦点的对
称点分别为，，线段的中点在上，则.解析：设MN的中点为P,则NA+NB=2P+2P=4a=12已知点M是双曲线右支上的任意一点
，是它的右焦点，则以为直径的圆与圆O:的位置关系是（）内切B.外切C.外切或内切D.无公共点或相交
解析：如图1-9所示，以为直径的圆的半径为=,圆O的半径为=a,所以圆心距为.又由双曲线的定义知，所以d=名师点睛：（1）椭
圆中以焦半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆相切双曲线中以焦半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切抛物线中以焦半径为直径的圆必与
顶点处的切线相切举一反三1.已知点A是椭圆上的任意一点，是右焦点，则以为直径的圆与圆O:的位置关系是（）A.内切
B.外切C.外切或内切D.无公共点或相交椭圆的左右焦点分别为,,P是椭圆上任意一点，从右焦点引∠外角的角平分线
的垂线，则垂足Q的轨迹为（）椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆解析：如图1-10所示，延长交的延长线于点M,
因为PQ是的角平分线，则由和△PQM全等知，Q是线段的中点，且PM=.根据椭圆定义即OQ=所以选D.举一反三1.已知点P是椭
圆（a>b>0,）上的动点，(-c,0)(c,0)为椭圆的左右焦点，O为坐标原点，若M是的角平分线上的一点，且,则|0M|的取
值范围是（）（0，c）B.（0，a）C.（b,a）D.（c,a）解析：（1）延长至点
N使PN=.OM为△的中位线。所以OM==,因为P不在坐标轴上，所以所以A.（2）延长至点N使PN=.OM为△的中OM=
2.已知双曲线的左右焦点分别为,,O为双曲线中心，P是双曲线右支上的点，△的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A,则|OA|
=（）bB.aC.cD.不确定解析：由双曲线定义由切线长定理得：设圆I的圆心横坐标为x,则解得x=a所以OA=a3.已知双曲线的左右焦点分别为,,O为双曲线中心，P是双曲线右支上的点，△的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A,过作PI的垂线，垂足为B,若双曲线的离心率为e,则（）A.OA=OBB.OA=eOBC.OB=eOAD.OA与OB关系不确定解析：由双曲线定义由切线长定理得：设圆I的圆心横坐标为x,则解得x=a所以OA=a延长交于C,则PC=P,在△OB==1 |
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