双曲线
[知识梳理]
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的__距离之差的绝对值__等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当__a＜c__时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当__a＝c__时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当__a＞c__时，点P不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，yR y≤－a或y≥a，xR 对称性 对称轴：__坐标轴__，对称中心：__原点__ 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x
y＝±x 离心率 e＝，e(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝__a2＋b2__ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝__2a__；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝__2b__；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)平面内到点F1(0，－4)，F2(0,4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()
(2)平面内到点F1(0，－4)，F2(0,4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()
(3)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．()
(4)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.()
()平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()
()在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.()
()双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.()
()双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.()
()等轴双曲线的离心率等于，且渐近线互相垂直．()
解析(1)错误．由双曲线的定义知应为双曲线的一支，而非它的全部．
(2)错误．因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线．
(3)错误．当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线．
(4)正确．因为－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，即－＝0，所以当λ＞0时，－＝1(m＞0，n＞0)的渐近线方程为－＝0，即－＝0，即±＝0，同理当λ＜0时，仍成立，故结论正确．
(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×()×()×(8)√()√
二．考点突破
考点一双曲线的定义及标准方程
利用定义求轨迹方程
(2019·西安调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B．
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
求双曲线方程
设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是－＝1.
解析：法一椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，
设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
根据定义知2a＝|－|＝4，
故a＝2.又b2＝32－a2＝5，
故所求双曲线的方程为－＝1.
法二椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．
设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＋b2＝9，又点(，4)在双曲线上，
所以－＝1，解得a2＝4，b2＝5.
故所求双曲线的方程为－＝1.
法三设双曲线的方程为＋＝1(27＜λ＜36)，
由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，
解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．
故所求双曲线的方程为－＝1.
焦点三角形
已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cosF1PF2＝.
解析：由双曲线的定义有
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cosF1PF2＝
＝＝.
【条件探究1】本典例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“F1PF2＝60°”，则F1PF2的面积是多少？
解：不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在F1PF2中，由余弦定理，得
cosF1PF2＝＝，
|PF1|·|PF2|＝8，
S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝2.
【条件探究2】本典例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则F1PF2的面积是多少？
解：不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
·＝0，⊥，
在F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
|PF1|·|PF2|＝4，
S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2.
1.双曲线定义的主要应用
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
2．求双曲线方程的思路
(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．
(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：
一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
(1)(2019·长春质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，PAF周长的最小值为(B)
A．8 B．10
C．4＋3 D．3＋3
解析：由已知得双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故PAF的周长的最小值为10.
(2)(2017·天津卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(B)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：由离心率为可知a＝b，c＝a，所以F(－a,0)，由题意可知kPF＝＝＝1，所以a＝4，解得a＝2，所以双曲线的方程为－＝1，故选B．
考点二双曲线的几何性质
求双曲线的离心率(或范围)
(2016·全国卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1＝，则E的离心率为(A)
A． B．
C． D．2
解析：解法一：由MF1x轴，可得M，
|MF1|＝.由sinMF2F1＝，
可得cosMF2F1＝＝，
又tanMF2F1＝＝，
＝，b2＝ac，
c2＝a2＋b2b2＝c2－a2，
c2－a2－ac＝0e2－e－1＝0，e＝.
解法二：由MF1x轴，得M，
|MF1|＝，由双曲线的定义可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝2a＋，
又sinMF2F1＝＝＝a2＝b2a＝b，
e＝＝.故选A．
求双曲线的渐近线方程
(2019·河南适应性测试)已知F1、F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为(D)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：不妨设P为双曲线右支上一点，
则|PF1|＞|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝6a，
所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
又因为所以PF1F2为最小内角，
故PF1F2＝.
由余弦定理，可得＝，
即(a－c)2＝0，所以c＝a，
则b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选D．
根据双曲线性质求范围(或最值)问题
(2015·全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是(A)
A． B．
C． D．
解析：不妨令F1为双曲线的左焦点，
则F2为右焦点，由题意可知
a2＝2，b2＝1，c2＝3.
F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(－－x0)·(－x0)＋(－y0)·(－y0)＝x＋y－3.
又知－y＝1，x＝2＋2y，
·＝3y－1＜0.
－＜y0＜，故选A．
【结论探究】将本典例中的条件“·＜0”去掉，试求·的范围．
解：由题意知：F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3＝x＋－1－3＝－4，又因为x≥2，所以－4≥－1，即·≥－1.
1.与双曲线有关的范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．
2．与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略
(1)双曲线的离心率e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1.
(2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．
(1)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(A)
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
解析：设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，
则e1＝，e2＝.
因为e1·e2＝，所以＝，
即4＝，＝.
故双曲线的渐近线方程为
y＝±x＝±x，即x±y＝0.
(2)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的两条渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为(B)
A． B．
C． D．
解析：将x＝c代入－＝1，
得y＝±，
不妨取A，B，则|AB|＝，将x＝c代入y＝±x，得y＝±，不妨取C，D，
则|CD|＝.
|AB|≥|CD|，≥×，
即b≥c，则b2≥c2，
即c2－a2≥c2，即c2≥a2，
则e2≥，则e≥，故选B．
考点三直线与双曲线的位置关系
设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，
一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.
由焦点到渐近线的距离为，得＝.
又c2＝a2＋b2，b2＝3，
双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.
解得
t＝4，点D的坐标为(4，3)．
直线与双曲线位置关系的解题策略
(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
(3)弦长公式：设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|.
已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
k2≠且k2＜1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－.
x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又·＞2，得x1x2＋y1y2＞2，
＞2，即＞0，
解得＜k2＜3.
由得＜k2＜1，
故k的取值范围为.
三．课堂练习
1．(2018·全国卷)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|＝(B)
A． B．3
C．2 D．4
解析：如图，由双曲线C：－y2＝1可知其渐近线方程为y＝±x，
∴∠MOx＝30°，MON＝60°，
不妨设OMN＝90°，则易知焦点F到渐近线的距离为b，
即|MF|＝b＝1，又知|OF|＝c＝2，
|OM|＝，则在RtOMN中，
|MN|＝|OM|·tanMON＝3.故选B．
2．(2018·全国卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(A)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：e＝，＝＝＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选A．
3．(2018·全国卷)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(C)
A． B．2
C． D．
解析：如图，点F2(c,0)到渐近线y＝x的距离|PF2|＝＝b(b＞0)，而|OF2|＝c，所以在RtOPF2中，
由勾股定理可得|OP|＝＝a，
所以|PF1|＝|OP|＝a.
在RtOPF2中，cosPF2O＝＝，
在F1F2P中，cosPF2O＝＝，
所以＝3b2＝4c2－6a2，
则有3(c2－a2)＝4c2－6a2，
解得＝(负值舍去)，即e＝.故选C．
4．(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(C)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，
e2＝1＋＝4，＝3，
即b2＝3a2，c2＝a2＋b2＝4a2，
由题意可设A(2a,3a)，B(2a，－3a)，
＝3，渐近线方程为y＝±x，
则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，
又d1＋d2＝6，a＋a＝6，
解得a＝，b2＝9.
双曲线的方程为－＝1，故选C．
5．(2018·北京卷)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为－1；双曲线N的离心率为2__.
解析：解法一：如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点．
∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝x，＝.
设m＝k，则n＝k，
则双曲线N的离心率e2＝＝2.
连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，
可得F1CF2＝90°，CF1F2＝30°.
设椭圆的焦距为2c，则|CF2|＝c，|CF1|＝c，再由椭圆的定义得|CF1|＋|CF2|＝2a，即(＋1)c＝2a，椭圆M的离心率e1＝＝＝＝－1.
解法二：双曲线N的离心率同解法一．
由题意可得C点坐标为，
代入椭圆M的方程，并结合a，b，c的关系，
联立得方程组
解得＝－1.
课时跟踪检测][A基础题——
1．(2018·浙江高考)双曲线－y2＝1的焦点坐标是()
A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)
解析：选B双曲线方程为－y2＝1，
a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，
c＝＝＝2，
即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．
2．(2019·南宁摸底联考)双曲线－＝1的渐近线方程为()
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选D在双曲线－＝1中，a＝5，b＝2，其渐近线方程为y＝±x，故选D.
3．(2019·合肥调研)下列双曲线中，渐近线方程不是y＝±x的是()
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
解析：选D对于A，渐近线方程为y＝±x＝±x；对于B，渐近线方程为y＝±x＝±x；对于C，渐近线方程为y＝±x；对于D，渐近线方程为y＝±x．故选D.
4．(2019·铜陵模拟)已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则APF周长的最小值为()
A．4(1＋) B．4＋
C．2(＋)D.＋3
解析：选A设双曲线的左焦点为F′，易得点F(，0)，APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使APF的周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知当A，P，F′三点共线时取到，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋)．故选A.
5．(2019·合肥一模)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝－2x，则该双曲线的离心率是()
A．B．
C． D．2
解析：选C由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且双曲线的一条渐近线方程为y＝－2x，得＝2，则b＝2a，则双曲线的离心率e＝＝＝＝＝.故选C.
6．(2019·德州一模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2＝16x的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(，3)，则双曲线的方程为()
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
解析：选C双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，由双曲线的一条渐近线过点(，3)，可得＝，
由双曲线的一个焦点(－c,0)在抛物线y2＝16x的准线x＝－4上，可得c＝4，
即有a2＋b2＝16，
由解得a＝2，b＝2，
则双曲线的方程为－＝1.故选C.
[B
1．(2017·全国卷)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()
A.B.
C. D.
解析：选D法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以APx轴，又PFx轴，所以APPF，所以SAPF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以＝(1,0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以APPF，所以SAPF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
2．(2019·黄冈质检)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()
A.B.
C．2D.
解析：选A连接OM.由题意知OMPF，且|FM|＝|PM|，|OP|＝|OF|，
OFP＝45°，|OM|＝|OF|·sin45°，即a＝c·，
e＝＝.故选A.
3．(2019·银川模拟)已知双曲线－＝1(0＜a＜1)的离心率为，则a的值为()
A.B.
C. D.
解析：选Bc2＝a2＋1－a2＝1，c＝1，又＝，a＝，故选B.
4．(2019·辽宁五校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若AFO的面积为1，则双曲线C的方程为()
A．－＝1B．－y2＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
解析：选D因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.
5．(2019·黄山一诊)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|＝2|F2A|，则cosAF2F1等于()
A. B.
C. D.
解析：选C因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2a，所以cosAF2F1＝＝＝，故选C.6．(2019·天津和平一模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为()
A．x2－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
解析：选C由题意可知e＝＝，可得＝，
取一条渐近线为y＝x，
可得F到渐近线y＝x的距离d＝＝b，
在RtFOM中，由勾股定理可得|OM|＝＝＝a，
由题意可得ab＝，联立解得
所以双曲线的方程为－＝1.故选C.
7．(2019·湘中名校联考)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为()
A.B.
C. D.
解析：选B将x＝c代入－＝1得y＝±，
不妨取A，B，所以|AB|＝.
将x＝c代入双曲线的渐近线方程y＝±x，得y＝±，
不妨取C，D，所以|CD|＝.
因为|AB|≥|CD|，所以≥×，
即b≥c，则b2≥c2，即c2－a2≥c2，
即c2≥a2，所以e2≥，所以e≥.
8．(2019·桂林模拟)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是()
A. B.
C. D.
解析：选C由条件得|OP|2＝2ab.又P为双曲线上一点，|OP|≥a，2ab≥a2，2b≥a.又c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，e＝≥.双曲线离心率的取值范围是.
9．(2019·惠州调研)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝()
A．1 B．2
C．4D．
解析：选A如图，延长F1H交PF2于点，由PH为F1PF2的平分线及PHF1Q，可知|PF1|＝|P|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|F2|＝2，在F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.故选A.
10．(2019·郑州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是()
A．x±y＝0B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
解析：选B假设点P在双曲线的右支上，
则
|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
|F1F2|＝2c＞2a，PF1F2最短的边是PF2，
PF1F2的最小内角为PF1F2.
在PF1F2中，由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos30°，
c2－2ac＋3a2＝0，
e2－2e＋3＝0，e＝，＝，
c2＝3a2，a2＋b2＝3a2，b2＝2a2，
＝，双曲线的渐近线方程为x±y＝0，故选B.
11．(2017·全国卷)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
解析：双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x.又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，a＝5.
答案：5
12．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知
|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以y1＋y2＝，所以＝p，
即＝，故＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
13．(2019·成都毕业班摸底测试)已知双曲线－＝1(a＞0)和抛物线y2＝8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．
解析：易知抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线－＝1的焦点为(2,0)，则a2＋2＝22，即a＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
答案：
14．(2019·南昌调研)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作圆(x－a)2＋y2＝的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为________．
解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y＝x，由题意可知该切线方程为y＝－(x－c)，即ax＋by－ac＝0.又圆(x－a)2＋y2＝的圆心为(a,0)，半径为，则圆心到切线的距离d＝＝＝，又e＝，则e2－4e＋4＝0，解得e＝2.
答案：2
15．(2019·西安铁一中模拟)已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1(b＞0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，MF1F2＝30°.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值．
解：(1)由题易知F2(，0)，可设M(，y1)．
因为点M在双曲线C上且在x轴上方，所以1＋b2－＝1，得y1＝b2，所以|F2M|＝b2.在RtMF2F1中，MF1F2＝30°，|MF2|＝b2，所以|MF1|＝2b2.由双曲线的定义可知，|MF1|－|MF2|＝b2＝2，
故双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)易知两条渐近线方程分别为l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0.
设双曲线C上的点P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为θ，
不妨设P1在l1上，P2在l2上，
则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|＝，|PP2|＝.
因为P(x0，y0)在双曲线x2－＝1上，
所以2x－y＝2，
又易知cosθ＝，
所以·＝·cosθ＝·＝.16．(2019·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
所以x0＝y0，
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，
所以x0＝c，所以点A的坐标为，
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，
又因为a2＋b2＝c2，
所以将b2＝c2－a2代入式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
所以34－82＋4＝0，
所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因为e＞1，所以e＝，
所以双曲线的离心率为.
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