抛物线
[知识梳理]
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)__距离相等__的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__焦点__，直线l叫做抛物线的__准线__．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px
(p＞0) y2＝－2px
(p＞0) x2＝2py
(p＞0) x2＝－2py
(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O__(0,0)__ 对称轴 __x轴__ __y轴__ 焦点 F F F F 离心率 e＝__1__ 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，yR x≤0，yR y≥0，xR y≤0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) ＝
x0＋ ＝
－x0＋ ＝
y0＋ ＝
－y0＋ 3．与焦点弦有关的常用结论
(以右图为依据)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.()
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()
()AB为抛物线y2＝4x的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，y1y2＝－4，弦长|AB|＝x1＋x2＋2.()
()方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.()
()若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()
解析(1)错误．当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线．
(2)错误．方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)错误．抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．
答案(1)×(2)×(3)×()√(5)×()×
考点一抛物线的定义及应用
利用抛物线的定义求解距离问题
(2016·浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是9__.
解析：设M(x0，y0)，由抛物线方程知焦点F(1,0)．根据抛物线的定义得|MF|＝x0＋1＝10，x0＝9，即点M到y轴的距离为9.
【条件探究1】将本典例条件变为“在抛物线上找一点M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)”．求M点坐标及此时的最小值．
解：如图，点A在抛物线y2＝4x的内部，
由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，
其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离．
过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，
则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，
当且仅当点M在M1的位置时等号成立．
此时M1点的坐标为(1,2)．
【条件探究2】将本典例条件变为“在抛物线上有一动点M到y轴的距离为d1，到直线l：x－y＋5＝0的距离为d2”，求d1＋d2的最小值．
解：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点M到y轴的距离d1＝|MF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|MF|－1.
易知d2＋|MF|的最小值为点F到直线l的距离，
故d2＋|MF|的最小值为＝3，
所以d1＋d2的最小值为3－1.
焦点弦问题
已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝4|FB|，O为坐标原点，若AOB的面积为，则p＝1__.
解析：易知抛物线y2＝2px的焦点F的坐标为，准线为x＝－，
不妨设点A在x轴上方，
如图，过A、B作准线的垂线AA′，BB′，
垂足分别为A′，B′，过点B作BHAA′，交AA′于H，
则|BB′|＝|A′H|，
设|FB|＝t，则|AF|＝|AA′|＝4t，
|AH|＝|AA′|－|A′H|＝3t，
又|AB|＝5t，在RtABH中，cosHAB＝，
tan∠HAB＝，
则可得直线AB的方程为y＝.
由
得8x2－17px＋2p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝x1＋x2＋p＝p＋p＝p，
易知点O到直线AB的距离为d＝|OF|·sinA′AB＝×＝p.
S△AOB＝×p×p＝＝，
p2＝1，又p＞0，p＝1.
1.抛物线定义的应用策略
利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．
2．焦点弦问题的求解策略
解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．
(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点D到y轴的距离为(C)
A． B．1
C． D．
解析：因为抛物线y2＝x的准线方程为x＝－.
如图所示，过点A，B，D分别作直线x＝－的垂线，垂足分别为G，E，M，
因为|AF|＋|BF|＝3，
根据抛物线的定义，|AG|＝|AF|，|BE|＝|BF|，
所以|AG|＋|BE|＝3，所以|MD|＝＝，
所以线段AB的中点到y轴的距离为－＝.
(2)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是5.
解析：依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.
考点二抛物线的标准方程及其性质
(1)(2019·保定模拟)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(C)
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
解析：由已知得抛物线的焦点F，设点M(x0，y0)，
则＝，＝.
由已知得，·＝0，
即y－8y0＋16＝0，
因而y0＝4，M.
由|MF|＝5，得＝5.
又p＞0，解得p＝2或p＝8.
(2)已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，且|AB|＝8，M为抛物线C准线上一点，则ABM的面积为(A)
A．16 B．18
C．24 D．32
解析：不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
则焦点F，A，B，
将A代入抛物线方程，
可得2p×＝42，得p＝4，
则准线方程为x＝－2，
设M(－2，t)，则SABM＝|AB|×p＝4×4＝16，故选A．
1.求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法
根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
(2)待定系数法
根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．
当焦点位置不确定时，有两种方法解决：
法一 分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p＞0)和y2＝－2px(p＞0)两种情况求解 法二 设成y2＝mx(m≠0)，若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程 2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
(1)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(D)
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，
＝2，即＝＝4，
＝.
x2＝2py(p＞0)的焦点坐标为，－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
由题意得＝2，
解得p＝8.故C2的方程为x2＝16y.
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为(B)
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，
分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，
由抛物线定义得：|BD|＝a，
故BCD＝30°，在直角三角形ACE中，
因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，
所以2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，
从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，
所以p＝|FG|＝|FC|＝3，
因此抛物线方程为y2＝6x.
考点三直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的相交问题
(2019·宝安中学等七校联考)已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x＝－2的距离小1.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N.设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；
(3)在(2)的条件下，求FPQ面积的最小值．
解：(1)由题意可知，动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x＝－1的距离，
根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是一条抛物线．
易知p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
故点M的轨迹C的方程为y2＝4x.
(2)设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则点P的坐标为.
由题意可设直线l1的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16＞0.
因为直线l1与曲线C交于A，B两点，
所以x1＋x2＝2＋，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝.
所以点P的坐标为.
由题知，直线l2的斜率为－，
同理可得点Q的坐标为(1＋2k2，－2k)．
当k≠±1时，有1＋≠1＋2k2，
此时直线PQ的斜率kPQ＝＝.
所以直线PQ的方程为y＋2k＝(x－1－2k2)，
整理得yk2＋(x－3)k－y＝0.
于是，直线PQ恒过定点E(3,0)．
当k＝±1时，直线PQ的方程为x＝3，也过点E(3,0)．
综上所述，直线PQ恒过定点E(3,0)．
(3)由(2)可得|EF|＝2，
所以FPQ的面积
S＝|FE|＝2≥4，
当且仅当k＝±1时，“＝”成立，
所以FPQ面积的最小值为4.
与抛物线弦长(中点)有关的问题
(2017·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
解：(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝.
所以抛物线C的方程为y2＝x.
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．
直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.
因为y1＋－2x1＝
＝
＝
＝＝0，
所以y1＋＝2x1.
故A为线段BM的中点．
解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|xA|＋|xB|＋p或|AB|＝|yA|＋|yB|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
(2019·广州测试)已知O为坐标原点，点R(0,2)，F是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，|RF|＝3|OF|.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点R的直线l与抛物线C相交于A，B两点，与直线y＝－2交于点M，抛物线C在点A，B处的切线分别记为l1，l2，l1与l2交于点N，若MON是等腰三角形，求直线l的方程．
解：(1)因为F是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，
所以点F的坐标为.
因为点R(0,2)，|RF|＝3|OF|，
所以＝3×，
解得p＝1或p＝－2(舍去)，
所以抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)解法一依题意，设直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，
由解得
所以点M.
由消去y得x2－2kx－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k，x1x2＝－4.
由y＝，得y′＝x，
则抛物线C在点A处的切线l1的方程为y－y1＝x1(x－x1)，
由于点A在抛物线C上，则y1＝，
所以l1的方程为y＝x1x－.
同理可得l2的方程为y＝x2x－.
由及根与系数的关系得
即点N的坐标为(k，－2)．
所以kOM·kON＝×＝－1，则OMON.
又MON是等腰三角形，
所以|OM|＝|ON|，即＋4＝k2＋4，
解得k＝±2.
所以直线l的方程为y＝2x＋2或y＝－2x＋2.
解法二由于点A，B在抛物线C上，
设A，B，
由题易知|x1|≠|x2|，
则直线l的方程为y＝x＋2＝x＋2.
令y＝－2，得x＝－，
所以点M.
由消去y得x2－(x1＋x2)x－4＝0，
则x1x2＝－4.
由y＝，得y′＝x，
则抛物线C在点A处的切线l1的方程为y－＝x1(x－x1)，
所以l1的方程为y＝x1x－，
同理可得l2的方程为y＝x2x－.
由及根与系数的关系得x＝，y＝－2，
所以点N.
所以·＝－×＋(－2)×(－2)＝0，
则OMON.
又MON是等腰三角形，
所以|OM|＝|ON|，即2＋4＝2＋4，
解得x1＋x2＝±4，
所以直线l的方程为y＝2x＋2或y＝－2x＋2.
1．(2018·全国卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(D)
A．5B．6C．7D．8
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由已知可得直线的方程为y＝(x＋2)，
即x＝y－2，由得y2－6y＋8＝0.
由根与系数的关系可得y1＋y2＝6，y1y2＝8，
x1＋x2＝(y1＋y2)－4＝5，x1x2＝＝4，
F(1,0)，·＝(x1－1)·(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝4－5＋1＋8＝8.
2．(2016·全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(B)
A．2 B．4C．6 D．8
解析：不妨设C：y2＝2px(p＞0)，A(x1，2)，则x1＝＝，由题意可知|OA|＝|OD|，得2＋8＝2＋5，解得p＝4，故选B．
3．(2014·新课标)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(B)
A． B．3C． D．2
解析：＝4，点Q在线段PF上，且在两端点之间，如图，过Q作QMl，垂足为M，由抛物线定义知|QF|＝|QM|，
设抛物线的准线l与x轴的交点为N，则|FN|＝4，
又易知PQM∽△PFN，则＝，
即＝.|QM|＝3，即|QF|＝3.故选B．
4．(2018·全国卷)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若AMB＝90°，则k＝2__.
解析：解法一：由题意可知C的焦点坐标为(1,0)，所以过焦点(1,0)，斜率为k的直线方程为x＝＋1，
设A，B，
将直线方程与抛物线方程联立得
整理得y2－y－4＝0，
从而得y1＋y2＝，y1·y2＝－4.
M(－1,1)，AMB＝90°，
·＝0，
即·＋(y1－1)(y2－1)＝0，
即k2－4k＋4＝0，解得k＝2.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
－得y－y＝4(x2－x1)，
从而k＝＝.
设AB的中点为M′，如图，连接MM′.
直线AB过抛物线y2＝4x的焦点，
以线段AB为直径的M′与准线l：x＝－1相切．
M(－1,1)，AMB＝90°，
点M在准线l：x＝－1上，同时在M′上，
准线l是M′的切线，切点为M，且M′Ml，
即MM′与x轴平行，
点M′的纵坐标为1，
即＝1y1＋y2＝2，
故k＝＝＝2.
5．(2017·全国卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝6__.
解析：如图，过M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M1、N1.设抛物线的准线与x轴的交点为F1，则|NN1|＝|OF1|＝2，|FF1|＝4.因为M为FN的中点，
所以|MM1|＝3，由抛物线的定义知|FM|＝|MM1|＝3，从而|FN|＝2|FM|＝6.
6．(2015·全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N两点．
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM＝OPN？说明理由．
解：(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)或M(－2，a)，N(2，a)．
又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.
y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.
(2)存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而k1＋k2＝＋
＝＝.
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPM＝OPN，所以点P(0，－a)符合题意．
[课时跟踪检测]基础题——
1．(2019·石家庄模拟)抛物线y＝2x2的准线方程是()
A．x＝ B．x＝－
C．y＝ D．y＝－
解析：选D抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝－.
2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
解析：选D由题意知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线C的方程为y2＝±2px(p＞0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝±4x.故选D.
3．(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x2＝4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n＝()
A．B．
C．3 D．4
解析：选D抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义可知，5＝n＋1，得n＝4，故选D.
4．(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为()
A. B．－
C．± D．－
解析：选B将y＝1代入y2＝4x可得x＝，即A.由题可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k＝＝－，故选B.
5．(2019·珠海模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于()
A.B.
C. D.
解析：选B由抛物线y2＝4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1，由抛物线定义可知|PA|＝|PF|＝4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(－1，2)，所以kAF＝＝－，所以直线AF的倾斜角等于，故选B.
6．(2019·江苏高邮模拟)抛物线y2＝x的焦点坐标是________．
解析：由于抛物线y2＝2px的焦点坐标为，因此抛物线y2＝x的焦点坐标为.
答案：
[B题——
1．(2019·武汉调研)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为()
A. B．2
C．3 D．2
解析：选B直线MF的斜率为，MNl，NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，NMF是边长为4的等边三角形，M到直线NF的距离为2.故选B.
2．(2019·长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为()
A．相离 B．相切
C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心
解析：选B设圆心为M，过点A，B，M分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)．由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，|AB|＝|BB1|＋|AA1|，|MM1|＝|AB|，即圆心M到准线l的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．
3．(2019·河南中原名校质检)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则点F到MN的距离为()
A. B．1
C. D．2
解析：选B由题可知|MF|＝2，设点N到准线的距离为d，由抛物线的定义可得d＝|NF|，因为|NF|＝|MN|，所以cosNMF＝＝＝，所以sinNMF＝＝，所以点F到MN的距离为|MF|sinNMF＝2×＝1，故选B.
4．(2019·辽宁五校协作体模考)抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则AHF的面积是()
A．4 B．3
C．4 D．8
解析：选C由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，直线AF的斜率为，直线AF的倾斜角为30°，AH垂直于准线，FAH＝60°，故AHF为等边三角形．设A，m＞0，由|AF|＝|AH|，得－1＝·，解得m＝2，故等边AHF的边长|AH|＝4，AHF的面积是×4×4sin60°＝4.故选C.
5．(2019·邯郸质检)已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若＝λ，则实数λ为()
A．B．
C．2 D．3
解析：选C把点A代入抛物线的方程得2＝2p×，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则B(－1,0)，设M，则＝，＝，由＝λ，得解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C.
6．(2019·辽宁葫芦岛期中)已知直线l：x－y－a＝0与抛物线x2＝4y交于P，两点，过P，分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，若|MN|＝，则a＝()
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析：选D直线l的方程为x－y－a＝0，直线l的倾斜角为60°，直线l与抛物线x2＝4y交于P，两点，过P，分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，且|MN|＝，|PQ|＝sin60°＝8.设P(x1，y1)，(x2，y2)，联立方程，得得x2－4x＋4a＝0，由Δ＞0得a＜3，x1＋x2＝4，x1x2＝4a，|PQ|＝·＝8，即48－16a＝16，a＝2，故选D.
7．(2019·华大新高考质检)已知抛物线C：y2＝4x，点D(2,0)，E(4,0)，M是抛物线C上异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N，连接MD，ND并分别延长交抛物线C于点P，，连接P，若直线MN，P的斜率存在且分别为k1，k2，则＝()
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，(x4，y4)，则直线MD的方程为x＝y＋2，代入抛物线C：y2＝4x，整理得y2－y－8＝0，所以y1y3＝－8，即y3＝－，从而x3＝，故P，同理可得，因为M，E，N三点共线，所以＝，得y1y2＝－16，所以k2＝＝，k1＝＝＝，所以＝2.故选C.
8．(2019·辽宁五校联考)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为准线l上一点，M为y轴上一点，MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则MNF的面积为()
A．B．
C． D．3
解析：选C如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，因为MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|＝|EF|＝|EN|，又E在抛物线C上，所以ENl，E，所以N(－1，)，M(0，2)，所以|NF|＝，|NM|＝，所以MNF的面积为，故选C.
9．(2019·河南百校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|＝|MF|＝(O为坐标原点)，则·＝()
A．－B．
C． D．－
解析：选A不妨设M(m，)(m＞0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|＝|MF|＝，所以解得m＝，p＝2，所以＝，＝，所以·＝－2＝－.故选A.
10．(2019·石家庄毕业班摸底)若抛物线y2＝4x上有一条长度为10的动弦AB，则AB的中点到y轴的最短距离为________．
解析：设抛物线的焦点为F，准线为l：x＝－1，弦AB的中点为M，则点M到准线l的距离d＝≥，所以点M到准线l的距离的最小值为5，所以点M到y轴的最短距离为5－1＝4.
答案：4
11．(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
解析：由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
12．(2019·广州海珠区一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－y2＝1的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|＝3，则直线AF的斜率为________．
解析：∵双曲线－y2＝1的右焦点为(2,0)，抛物线方程为y2＝8x，|AF|＝3，xA＋2＝3，得xA＝1，代入抛物线方程可得yA＝±2.点A在第一象限，A(1，2)，直线AF的斜率为＝－2.
答案：－2
13．(2019·唐山五校摸底)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________.
解析：法一：设直线AB的倾斜角为α，分别过A，B作准线l的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′，则|AA′|＝6，|BB′|＝3，过点B作AA′的垂线BC，垂足为C，则|AC|＝3，|BC|＝6，BAC＝α，所以sinα＝＝，所以|AB|＝＝9，解得p＝4.
法二：设直线AB的倾斜角为α，不妨设A在x轴上方，B在x轴下方，则|AF|＝，|BF|＝，则有＝2×，解得cosα＝，又|AF|＝＝6，所以p＝4.
法三：由结论＋＝，得＋＝，解得p＝4.
答案：4
14．(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.
(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，
点N在以AB为直径的圆上，
AN⊥BN，－＝－1，p＝2.
(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，
联立，得结合式，解得即N(pk，－1)．
|AB|＝|x2－x1|＝＝，
点N到直线AB的距离d＝＝，
则SABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，
ABN的面积的最小值为4，
2＝4，p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.
15．(2019·贵阳摸底)过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.
(1)求直线l的方程；
(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线．
解：(1)F的坐标为(1,0)，则l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
由题意知k≠0，且[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝1，
由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，
＝6，k2＝1，即k＝±1，
直线l的方程为y＝±(x－1)．(2)证明：由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，
又E(－1,0)，
kEB－kED＝－＝，
y2(x1＋1)＋y1(x2＋1)＝y2＋y1
＝(y1＋y2)＋(y1＋y2)＝(y1＋y2).
由(1)知x1x2＝1，(y1y2)2＝16x1x2＝16，
又y1与y2异号，
y1y2＝－4，即＋1＝0，kEB＝kED，
又ED与EB有公共点E，B，D，E三点共线．
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