直线与圆圆与圆的位置关系
[知识梳理]
1．直线与圆的位置关系
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)两种研究方法
(3)圆的切线方程的常用结论
过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
方法
位置
关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|
(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()
(4)从两圆的方程中消掉二次项后所得的方程为公共弦所在直线方程．()
(5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()
解析(1)正确．直线与圆组成的方程组有一组解时，直线与圆相切，有两组解时，直线与圆相交．
(2)错误．因为除外切外，还可能内切．
(3)错误．因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值，否则可能内切或内含．
(4)错误．只有当两圆相交时，方程才是公共弦所在的直线方程．
(5)正确．由已知可得O，P，A，B四点共圆，其方程为2＋2＝2＋2，即x2＋y2－x0x－y0y＝0，
又圆O方程为x2＋y2＝r2，
②－得x0x＋y0y＝r2，而两圆相交于A，B两点，
故直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.
答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√
考点一直线与圆的位置关系
(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(A)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：法一：由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20＞0，
所以直线l与圆相交．
法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝＜1＜，故直线l与圆相交．
法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
(2)过定点P(－2,0)的直线l与曲线C：(x－2)2＋y2＝4(0≤x≤3)交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是.
解析：易知曲线C：(x－2)2＋y2＝4(0≤x≤3)表示的是以C(2,0)为圆心，以2为半径的圆的，其中两个端点为A(3，)，B(3，－)．当直线与曲线C相切时，设直线方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，得＝2，解得k＝±.又kPA＝，kPB＝－，所以直线l的斜率的取值范围是.
方法与技巧1.判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
提醒：上述方法中最常用的是几何法．
2．已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．
(1)(2019·湖北七市联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)，设条件p：0＜r＜3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，则p是q的(C)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题意知，圆心C(1,0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝2，至多有2点到直线的距离为1时，0＜r＜3；反之也成立，故选C．
(2)(2019·福建漳州八校联考)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么(C)
A．ml，且l与圆相交
B．ml，且l与圆相切
C．ml，且l与圆相离
D．ml，且l与圆相离
解析：点P(a，b)(ab≠0)在圆内，
a2＋b2＜r2.
圆x2＋y2＝r2的圆心为O(0,0)，
故由题意得OPm.
又kOP＝，km＝－，
直线l的斜率为kl＝－＝km，圆心O到直线l的距离d＝＞＝r，
m∥l，且l与圆相离，故选C．
考点二圆与圆的位置关系
(1)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为(C)
A． B．
C． D．2
解析：由圆C1与圆C2外切，
可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立，ab的最大值为.
(2)已知M，N是圆A：x2＋y2－2x＝0与圆B：x2＋y2＋2x－4y＝0的公共点，则BMN的面积为.
解析：由题意可知，联立可得直线MN的方程为x－y＝0，所以B(－1,2)到直线MN的距离为＝，线段MN的长度为2＝，所以BMN的面积为××＝.
【条件探究1】将本典例(1)中的“外切”变为“内切”，试求ab的最大值．
解：由C1与C2内切得＝1.
即(a＋b)2＝1，又ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为.
【条件探究2】将本典例(1)中的条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，判断直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系．
解：由两圆存在四条公切线，知两圆外离，
＞3，
所以(a＋b)2＞9.
即a＋b＞3或a＋b＜－3.
又圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＞1，
所以直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离．
【条件探究3】若将本典例(1)中的条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．
解：由题意把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程，得
圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，
圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，
由－得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，
即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在的直线方程．
1.判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．
拓展：圆系方程
过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为λ(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋μ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ，μ不同时为零)．
当λ＝0时，方程表示圆C2；当μ＝0时，方程表示圆C1.
(1)(2016·山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(B)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：法一：由
得两交点为(0,0)，(－a，a)．
圆M截直线所得线段长度为2，
＝2.
又a＞0，a＝2.
圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，
即x2＋(y－2)2＝4，
圆心M(0,2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
|MN|＝＝.
r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3，
两圆相交．
法二：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．
(2)(2019·重庆调研)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是(－2，0)(0,2).
解析：圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0＜＜2＋2，
0＜|a|＜2.
a∈(－2，0)(0,2)．
考点三直线与圆的综合问题
弦长问题
已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝(D)
A．－ B．±
C．－ D．±
解析：记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝可知，圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是＝1，解得b＝±.
切线问题
已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
解：由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(1)(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，
切线的斜率k＝－＝1.
过点P的圆C的切线方程是
y－(2－)＝x－(＋1)，
即x－y＋1－2＝0.
(2)(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.
切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
|MC|＝＝，
过点M的圆C的切线长为＝＝1.
1.弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
2．圆的切线方程的两种求法
(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
跟踪训练3
(1)过点(1,1)的直线l与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4时，直线l的方程为x＋2y－3＝0__.
解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，但|AB|≠4，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－1)．
由|AB|＝4，得＝，解得k＝－，所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
(2)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0__.
解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，
解得k＝，
所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
1．(2018·全国卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则ABP面积的取值范围是(A)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
解析：由圆(x－2)2＋y2＝2可得圆心坐标为(2,0)，半径r＝，ABP的面积记为S，点P到直线AB的距离记为d，则有S＝|AB|·d.易知|AB|＝2，dmax＝＋＝3，dmin＝－＝，所以2≤S≤6，故选A．
2．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(C)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：解法一：由点到直线的距离公式得d＝，
cosθ－msinθ＝，
令sinα＝，cosα＝，
cosθ－msinθ＝sin(α－θ)，
d≤＝＝1＋，
当m＝0时，dmax＝3，故选C．
解法二：cos2θ＋sin2θ＝1，P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x－my－2＝0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1,0)到直线x＝2的距离即为d的最大值．故选C．
3．(2017·全国卷)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C
的离心率为(A)
A．2 B．
C． D．
解析：由题意可知圆的圆心为(2,0)，半径为2.因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2，所以＝，所以＝.故离心率e＝＝＝2.故选A．
4．(2016·全国卷)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝4_.
解析：由题意可知直线l过定点(－3,)，
该定点在圆x2＋y2＝12上，
不妨设点A(－3,)，
由于|AB|＝2，r＝2，
所以圆心到直线AB的距离为d＝＝3，
又由点到直线的距离公式可得
d＝＝3，解得m＝－，
所以直线l的斜率k＝－m＝，即直线l的倾斜角为30°.
如图，过点C作CHBD，垂足为点H，
所以|CH|＝2.
在RtCHD中，HCD＝30°，所以|CD|＝＝4.
1．(2019·昆明模拟)若点A，B在圆O：x2＋y2＝4上，弦AB的中点为D(1,1)，则直线AB的方程是()
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x－y－2＝0 D．x＋y－2＝0
解析：选D因为直线OD的斜率kOD＝1，所以直线AB的斜率kAB＝－1，所以直线AB的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，故选D.
2．(2019·湖北七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是()
A．3 B．4
C．2 D．8
解析：选B由题意知O1(0,0)与O2(－m,0)，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得＜|m|＜3.再根据题意可得O1AAO2，m2＝5＋20＝25，m＝±5，×5＝2×，解得|AB|＝4.故选B.
3．(2019·四川教育联盟考试)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为()
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－6) D．(－6，＋∞)
解析：选Cx2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，2－b＞0，即b＜2.直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)，点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，6＋b＜0，解得b＜－6.综上，实数b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.
4．(2019·重庆一中模拟)若圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0上有且仅有三个点到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，则实数a的值为()
A．±1 B．±
C．± D．±
解析：选B由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，即＝1，解得a＝±.
5．(2019·昆明高三质检)已知直线l：y＝x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B两点，若ACB＝120°，则实数m的值为()
A．3＋或3－ B．3＋2或3－2
C．9或－3 D．8或－2
解析：选A由题知圆C的圆心为C(0,3)，半径为，取AB的中点为D，连接CD，则CDAB，在ACD中，AC＝，ACD＝60°，所以CD＝，由点到直线的距离公式得＝，解得m＝3±，故选A.
6．(2019·陕西渭南模拟)已知ABC的三边长为a，b，c，且满足直线ax＋by＋2c＝0与圆x2＋y2＝4相离，则ABC是()
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上情况都有可能
解析：选C由已知得圆心(0,0)到直线ax＋by＋2c＝0的距离d＝＞2，所以c2＞a2＋b2，在ABC中，cosC＝＜0，所以C为钝角，故ABC为钝角三角形．
7．(2019·武汉模拟)若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为________．
解析：圆x2＋y2－2x＋4y＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，圆心为(1，－2)，则直线2x＋y＋m＝0过圆心(1，－2)，故2－2＋m＝0，得m＝0.
答案：0
8．(2019·成都摸底)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.
解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，解得m＝－1，所以|MC|2＝13，|MP|＝＝3.
答案：3
9．(2019·广西两市联考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为2，则圆C的标准方程为____________________．
解析：设圆心为(a，b)(a＞0，b＞0)，半径为r，则由题可知a＝2b，a＝r，r2＝b2＋3，解得a＝r＝2，b＝1，所以所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4
10．(2019·广东佛山一中检测)已知圆C经过点(0,1)且圆心为C(1,2)．
(1)写出圆C的标准方程；
(2)过点P(2，－1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．
解：(1)由题意知，圆C的半径r＝＝，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.
(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P(2，－1)的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，则＝，
所以k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
故所求切线的方程为7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
由圆的性质易得所求切线长为＝＝2.
11．(2017·全国卷)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.
由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OAOB.故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，
圆M的半径r＝.
由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)知y1y2＝－4，x1x2＝4.
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2＝.
难度题
1．(2019·成都名校联考)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·的值是()
A．－B．
C．－ D．0
解析：选A在OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，可得AOB＝120°，所以·＝1×1×cos120°＝－.
2．(2019·天津南开中学月考)若3a2＋3b2－4c2＝0，则直线ax＋by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝1所截得的弦长为()
A. B．1
C.D．
解析：选B因为a2＋b2＝c2，所以圆心O(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝，所以直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为2＝2×＝1，选B.
3．(2019·贵州安顺摸底)已知圆C：x2＋(y－a)2＝4，点A(1,0)．
(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；
(2)设AM，AN为圆C的两条切线，M，N为切点，当|MN|＝时，求MN所在直线的方程．
解：(1)过点A的切线存在，即点A在圆外或圆上，
1＋a2≥4，a≥或a≤－，
即实数a的取值范围为(－∞，－][，＋∞)．
(2)设MN与AC交于点D，O为坐标原点．
|MN|＝，|DM|＝.
又|MC|＝2，|CD|＝＝，
cos∠MCA＝＝，|AC|＝＝＝，
|OC|＝2，|AM|＝1.
MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，
圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，
MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0，或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.
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