圆的方程
[知识梳理]
1．圆的定义及方程
定义 平面内到__定点__的距离等于__定长__的点的轨迹叫做圆 标准
方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2
(r＞0) 圆心C：(a，b) 半径：r 一般
方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0) 圆心： 半径：r＝ 2.点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆上；
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点在圆外；
(x0－a)2＋(y0－b)2
3．空间直角坐标系及有关概念
(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴统称坐标轴，由坐标轴确定的平面叫做坐标平面．
(2)右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向时，中指一定指向z轴的正方向．
(3)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．
(4)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝，AB的中点P的坐标为.
．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．()
(2)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆．()
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.()
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.()
(5)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()
(6)确定圆的几何要素是圆心与半径．()
()方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()
()方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆．()
()已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()
()若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.()
考点一求圆的方程
(1)(2019·海南海口模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为()
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
(2)(2019·广东七校联考)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为__.
1.求圆的方程的两种方法
直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 待定系数法 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值2.确定圆心的方法
求圆的标准方程，其关键是确定圆心，确定圆心的主要方法有：
(1)当题目条件中出现直线与圆相切时，可利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上来确定圆心位置；
(2)当题目条件中出现直线与圆相交，可考虑圆心在弦的垂直平分线上；
(3)当题目条件出现两圆相切时，可考虑切点与两圆的圆心共线．
(1)(2019·甘肃兰州模拟)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，则ABC外接圆的方程是()
A．x2＋(y－3)2＝5B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5D．(x＋3)2＋y2＝5
(2)(2019·山西运城模拟)已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为31，则圆C的方程为.
考点二与圆有关的轨迹问题
(1)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()
A．8x－6y－21＝0B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
(2)(2019·郑州模拟)已知线段AB的端点B在圆C1：x2＋(y－4)2＝16上运动，端点A的坐标为(4,0)，线段AB的中点为M.则点M的轨迹C2的方程为__.
【结论探究】在本典例(2)中，若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长．
1.求与圆有关的轨迹问题的四种方法
2．求与圆有关的轨迹问题的相关步骤
已知RtABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
考点三与圆有关的最值问题
借助几何性质求最值的问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则
的最大值为；
y－x的最大值和最小值分别为－2＋，－2－；
x2＋y2的最大值和最小值分别为7＋4，7－4.
建立函数关系求最值的问题
(2019·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为__.
方法与技巧求解与圆有关的最值问题的方法
(1)借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题；
形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题；
形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值．
(1)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()
A．5－4B．－1C．6－2D．
(2)设点P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)，则|＋|的最大值为__.
三．真题演练
1．(2016·全国卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()
A．－ B．－
C． D．2
2．(2015·全国卷)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为2＋y2＝.
3．(2018·全国卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
1．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是()
A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8
2．(2018·河北唐山模拟)圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()
A.2＋y2＝
B.2＋y2＝
C.2＋y2＝
D.2＋y2＝
3．(2018·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为()
A．(x－1)2＋(y－1)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
C．(x－1)2＋y2＝5
D．x2＋(y－1)2＝5
4．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为()
A．2 B．－2C．1 D．－1
5．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为____________________．
6．(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．
．(2018·湖南长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是()
A．1＋ B．2C．1＋ D．2＋2
．(2018·广东七校联考)圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是()
A．2 B.
C．4 D.
9．(2018·安徽安庆模拟)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
．已知A(0,3)，B，P为圆C：x2＋y2＝2x上的任意一点，则△ABP面积的最大值为()
A. B.
C．2 D.
11．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________________．
．(2018·北京东城区调研)当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.
．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为____________________．
1．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．
答案：x2＋y2＝1或x2＋y2＝37答案：(x－2)2＋y2＝9
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9答案：
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.
又直径|CD|＝4，|PA|＝2，
(a＋1)2＋b2＝40.
由解得或
圆心P(－3,6)或P(5，－2)．
圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，
则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8.
因为直线y＝x与圆C相切于原点O，
所以O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x，
于是有解得或
由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0，
所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，
则有解得x＝或x＝0(舍去)．
所以存在点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．
解：(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，
则解得则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，
·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)
＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.
令x＝cosθ，y＝sinθ，
所以·＝x＋y－2＝(sinθ＋cosθ)－2
＝2sin－2，
又min＝－1，
所以·的最小值为－4.
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