2.4.2应用导数求参数的值或范围--考向一考向二考向三考向四考向五求参数的值例1已知函数f(x)=ex-ax2.(1)略.(2)若f(x
)在(0,+∞)只有一个零点,求a.解(1)略.(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅
当h(x)在(0,+∞)只有一个零点.(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(ii)当a>0时,h''(x)=ax(x-
2)e-x.当x∈(0,2)时,h''(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h''(x)>0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+
∞)单调递增.--考向一考向二考向三考向四考向五--考向一考向二考向三考向四考向五解题心得求参数的值,方法因题而异,需要根据具体题
目具体分析,将题目条件进行合理的等价转化,在转化过程中,构造新的函数,在研究函数中往往需要利用对导数的方法确定函数的单调性.--考
向一考向二考向三考向四考向五对点训练1(2019河北唐山一模,理21)已知函数f(x)=ax-,a∈R.(1)若f(x)≥0,求a
的取值范围;(2)若y=f(x)的图象与y=a相切,求a的值.--考向一考向二考向三考向四考向五显然h''(t)在(0,+∞)上单调
递减,且h''(1)=0,所以当00,h(t)单调递增;当t>1时,h''(t)<0,h(t)单调递减,所以当
且仅当t=1时h(t)=0.故a=1.--考向一考向二考向三考向四考向五已知函数极值、最值情况求参数范围例2已知函数f(x)=
-a(x-lnx).(1)当a≤0时,试求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1)内有极值,试求a的取值范围.当a≤
0时,对于?x∈(0,+∞),ex-ax>0恒成立,∴f''(x)>0?x>1,f''(x)<0?01,+∞),单调减区间为(0,1).--考向一考向二考向三考向四考向五--考向一考向二考向三考向四考向五设H(x)=ex-ax,则
H''(x)=ex-a<0,x∈(0,1),∴H(x)在x∈(0,1)单调递减.∵H(0)=1>0,H(1)=e-a<0,∴H(x)
=ex-ax在x∈(0,1)有唯一解x0.∴有:故当a>e时,f(x)在(0,1)内有极值且唯一.当a≤e时,当x∈(0,1)时,
f''(x)≥0恒成立,f(x)单调递增,f(x)在(0,1)内无极值.综上,a的取值范围为(e,+∞).--考向一考向二考向三考向
四考向五解题心得f''(x)=0是f(x)有极值的必要不充分条件,例如函数f(x)=x3,f''(x)=3x2,f''(0)=0,但x=
0不是函数f(x)=x3的极值点.所以本例f(x)在(0,1)内有极值,则f''(x)=0有解,由此得出a的范围,还必须由a的范围验
证f(x)在(0,1)内有极值.--考向一考向二考向三考向四考向五对点训练2(2019河南名校联盟压轴卷四,理21)设f''(x)是
函数f(x)的导函数,我们把使f''(x)=x的实数x叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex
.(1)若1是函数f(x)的好点,求a;(2)若函数f(x)存在两个好点,求实数a的取值范围.--考向一考向二考向三考向四考向五解
(1)f''(x)=ae2x+(a-2)ex,由f''(x)=x,得ae2x+(a-2)ex=x,即ae2x+(a-2)ex-x=0
,∵1是函数f(x)的好点,∴ae2+(a-2)e1-1=0,(2)f''(x)=ae2x+(a-2)ex,由f''(x)=x,得ae
2x+(a-2)ex=x,即ae2x+(a-2)ex-x=0.令g(x)=ae2x+(a-2)ex-x,问题转化为讨论函数g(x)
的零点问题.g''(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).①当a≤0时,g''(x)=(aex-1)(2
ex+1)<0恒成立,故函数递减,g(x)不可能有两个零点;--考向一考向二考向三考向四考向五--考向一考向二考向三考向四考向五-
-考向一考向二考向三考向四考向五在不等式恒成立中求参数范围例3设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x).(1)略;(2)若?
x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.--考向一考向二考向三考向四考向五解(1)略.(2)∵f(x)=ln(x+1)+a(x
2-x),令g(x)=2ax2+ax+1-a(x>0),当a=0时,g(x)=1,则f''(x)>0在(0,+∞)上恒成立,则f(x
)在(0,+∞)上单调递增,∵f(0)=0,∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意.--考向一考向二考向三考向四考向五又f(
0)=0,∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意.当a>1时,由g(0)=1-a<0,可得x2>0,∴x∈(0,x2)时,f
(x)单调递减,又f(0)=0,∴x∈(0,x2)时,f(x)<0,不符合题意,舍去;当a<0时,函数g(x)的图象是开口向下的抛
物线,g(0)=1-a>0,可知x2>0,x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,则f''(x)<0,f(x)单调递减,--考向一考向二
考向三考向四考向五当x→+∞时,f(x)→-∞,∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0不恒成立,∴当a<0时不适合题意.当a<0时,另
一解法:利用结论由ln(x+1),即x>1-时,ax2+(1-a)x<0,此时f(x)<0,不符合题意,舍去.综上所述a的取值范围为[0,1].--考向一考向二考
向三考向四考向五解题心得1.在f(x)≥0的情况下,讨论a的取值范围→求f(x)导函数→确定f(x)的单调区间→求f(x)取最小值
→解不等式f(x)min≥0得a的范围→合并a的范围.2.若?x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.即求当x>0,f(x)≥0
恒成立时的a的取值范围,即研究a取什么范围,当x>0,f(x)≥0,或者能够说明a取什么范围f(x)<0,为此还是研究f(x)在(
0,+∞)上的单调性.--考向一考向二考向三考向四考向五对点训练3(2019河北衡水中学质检三,文21)已知函数f(x)=lnx
-a(x+1),a∈R在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求f(x)的单调区间;(2)若存在x0>1,当x∈(1,x0)
时,恒有成立,求k的取值范围.--考向一考向二考向三考向四考向五--考向一考向二考向三考向四考向五若k≥1,则h(x)≤0,∴g
''(x)≤0,∴g(x)在(1,x0)上单调递减,∴g(x)0,∴必存在x
0使得x∈(1,x0)时g''(x)>0,∴g(x)在(1,x0)上单调递增,∴g(x)>g(1)=0恒成立,适合题意.当>1时,
即k<-1,易知必存在x0使得h(x)在(1,x0)上单调递增,∴h(x)>h(1)=1-k>0,∴g''(x)>0,∴g(x)在(
1,x0)上单调递增,∴g(x)>g(1)=0恒成立,适合题意.综上,k的取值范围是(-∞,1).--考向一考向二考向三考向四考向
五在两变量不等式恒成立中求参数范围例4(2019河北衡水中学下学期四调,文21)已知函数f(x)=axlnx-bx2-ax.--
考向一考向二考向三考向四考向五--考向一考向二考向三考向四考向五--考向一考向二考向三考向四考向五解题心得对于含有两个变量的不等式
恒成立求参数问题,一般要找到两个变量的关系,转化为一个变量,从而得到一个函数;也可以从含有两个变量的不等式中抽象出一个函数是单调函
数.对于求参数的范围,可以分离出变量,得到一个不等式,通过函数的最值得参数的范围;如果变量不易分离,可以对参数进行讨论,看参数在什
么范围不等式成立,从而求出参数范围.--考向一考向二考向三考向四考向五对点训练4(2019河南郑州一月质检,理21)已知函数f(x
)=x2-8x+alnx(a∈R).(1)略;(2)当函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1t
(4+3x1-)成立,求t的取值范围.--考向一考向二考向三考向四考向五--考向一考向二考向三考向四考向五--考向一考向二考向三考
向四考向五①当t≥0时,h''(x)>0,则h(x)在(0,2)上为增函数且h(1)=0,式在区间(1,2)上不成立.②当t<0时
,Δ=4-4t2,若Δ≤0,即t≤-1时,h''(x)≤0,所以h(x)在区间(0,2)上为减函数且h(1)=0,--考向一考向二考
向三考向四考向五已知函数零点情况求参数范围例5(2019山西晋城二模,理21)已知函数f(x)=lnx,g(x)=x3+
2(1-a)x2-8x+8a+7.(1)若曲线y=g(x)在点(2,g(2))处的切线方程是y=ax-1,求函数g(x)在[0,3
]上的值域;(2)当x>0时,记函数若函数y=h(x)有三个零点,求实数a的取值范围.解(1)因为g(x)=x3+2(
1-a)x2-8x+8a+7,所以g''(x)=2ax2+4(1-a)x-8,所以g''(2)=0,所以a=0,即g(x)=2x2-8
x+7.g(0)=7,g(3)=1,g(2)=-1,所以g(x)在[0,3]上的值域为[-1,7].--考向一考向二考向三考向四考
向五--考向一考向二考向三考向四考向五--考向一考向二考向三考向四考向五--考向一考向二考向三考向四考向五解题心得已知函数有零点求
参数取值范围常用的方法和思路(1)分类讨论法:分类讨论就是将所有可能出现的情况进行分类,然后逐个论证,它属于完全归纳.(2)分离参
数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数
形结合求解.--考向一考向二考向三考向四考向五对点训练5(2019安徽“江南十校”二模,理21)已知函数f(x)=ax2lnx+
xlnx-x(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围.--考向一考向二考
向三考向四考向五--考向一考向二考向三考向四考向五故h(2)=1-是h(x)在[0,+∞)的最小值.①若h(2)>0,即a<,h(
x)在(0,+∞)没有零点;②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)只有一个零点;③若h(2)<0,即a>,由于h(0)=
1,所以h(x)在(0,2)有一个零点.由(1)知,当x>0时,ex>x2,所以h(4a)=1-=1->1-=1->0.故h(x)
在(2,4a)有一个零点.因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=解(1)由f(x
)≥0得ax-0,即a设g(x)=,则g''(x)=(x>0),所以当00,g(x)单调递增;当x>时,g''(
x)<0,g(x)单调递减,所以当x=时,g(x)取得最大值g()=,故a的取值范围是a(2)设y=f(x)的图象与y=a相切于点
(t,a),依题意可得因为f''(x)=a-,所以消去a可得t-1-(2t-1)lnt=0.令h(t)=t-1-(2t-1)ln
t,则h''(t)=1-(2t-1)-2lnt=-2lnt-1,解(1)f''(x)=-a==(2)若f(x)在(0,1)内有
极值,则f''(x)=0在x∈(0,1)内有解.令f''(x)==0?ex-ax=0?a=设g(x)=,x∈(0,1),∴g''(x)=
,当x∈(0,1)时,g''(x)<0恒成立,∴g(x)单调递减.又g(1)=e,又当x→0时,g(x)→+∞,即g(x)在x∈(0
,1)上的值域为(e,+∞),∴当a>e时,f''(x)==0有解.x(0,x0)x0(x0,1)H(x)+0-f''(x)-0+f(
x)递增极小值递减∴a=②当a>0时,则由g''(x)=0得x=ln当x∈-∞,ln时,g''(x)<0;当x∈ln,+∞时,g''(x
)>0.∴g(x)在-∞,ln单调递减,在ln,+∞单调递增,∴当x=ln时,g(x)取最小值gln=lna-+1.①当a=1时
,gln=lna-+1=0,g(x)只有一个零点;②当a>1时,gln=lna-+1>0,g(x)没有零点;③当0lna-+1<0,即gln<0.又g(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故g(x)在-2,ln上有一
个零点.设正整数n满足n>ln-1,en>-1,则g(n)=en(aen+a-2)-n>en-n>2n-n>0,由于ln-1>ln
,故g(x)在ln,+∞上有一个零点.综上,函数g(x)有两个零点,即f(x)有两个好点,所以a的取值范围为(0,1).∴f''(x
)=+a(2x-1)=(2ax2+ax+1-a),当a>0时,由Δ=a(9a-8)≤0,得00,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)>0,符合题意.当Δ>0时,得a>或a<0,设函数g(x)的两个零点分别为x1、x2
,且x1时,g(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-,如下图:由g(0)=1-a,当g(0)≥0时,a≤1,
∴当k(x-1)解(1)由已知可得f(x)的定
义域为(0,+∞).∵f''(x)=-a,∴f''(1)=1-a=0,∴a=1.∴f''(x)=-1=令f''(x)>0得0''(x)<0得x>1,∴f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)不等式f(x)-+2x+>k(x-1
)可化为lnx-+x->k(x-1),令g(x)=lnx-+x--k(x-1)(x>1),则g''(x)=-x+1-k=∵x>1
,令h(x)=-x2+(1-k)x+1,h(x)的对称轴为x=,当1时,即k≥-1,易知h(x)在(1,x0)上单调递减,∴h(x
)?x1,x2∈(1,e),都有<3,求a的取值范围.解(1)因为f''(x)=alnx+a-2bx-a=alnx-2bx,所以
f''(1)=-2b=-1,f(1)=-b-a=-,所以b=,a=1.(2)当a≤0,b=时,f''(x)=alnx-x.在x∈(1
,e)上f''(1)<0恒成立,所以f(x)在区间(1,e)上是减函数,不妨设1f(x2),则<3等
价于f(x)1-f(x2)<3x2-3x1.即f(x1)+3x1)时是增函数.所以h''(x)=alnx-x+3≥0,即a在x∈(1,e)上恒成立,令g(x)=,则g''(x)=,令φ(x)=ln
x-1+,则φ''(x)=<0在x∈(1,e)时恒成立,所以φ(x)=lnx-1+在x∈(1,e)上是减函数,且x=e时,φ(e
)=>0,所以φ(x)>0在x∈(1,e)上恒成立,即g''(x)>0在x∈(1,e)上恒成立,所以g(x)在x∈(1,e)上是增函
数,所以g(x)e-3.所以,实数a的取值范围是(e-3,0].解(1)略.(2)函数f(x)的定义
域为(0,+∞),f''(x)=(x>0),f(x)有两个极值点x1,x2(x1∞)上有两个不等的正实根,则所以0t(4+3x1-)成立.即证>t(
4+3x1-)成立,即证>t(x1+1),即证-t(x1+1)>0,亦即证2lnx1+>0.令h(x)=2lnx+(02),则h''(x)=(00,即-1=tx2+2x+t的对称轴x=->1,令a=min-,2,则10,不合题意,综上可知:t≤-1满足题意.h(
x)=(2)(ⅰ)当a=0时,g(x)=2x2-8x+7,由g(x)=0,得x=2±(1,+∞),此时函数y=h(x)有三个零点,
符合题意.(ⅱ)当a>0时,g''(x)=2ax2+4(1-a)x-8=2a(x-2)x+.由g''(x)=0,得x=2.当x∈(0,
2)时,g''(x)<0;当x∈(2,+∞)时,g''(x)>0.若函数y=h(x)有三个零点,则需满足g(1)>0且g(2)<0,解
得0①当-<2,即a<-1时,因为g(x)极大值=g(2)=a-1<0,此时函数y=h(x)至多有一个零点,不符合题意;②当-=2,即
a=-1时,因为g''(x)≤0,此时函数y=h(x)至多有两个零点,不符合题意;③当->2,即-1y=h(x)至多有两个零点,不符合题意;若g(1)=0,得a=-,因为g-=8a3+7a2+8a+,所以g->0,此时函数y=h(
x)有三个零点,符合题意;若g(1)>0,得-(a)>0,所以φ(a)>φ->0,此时函数y=h(x)有四个零点,不符合题意.综上所述:满足条件的实数a∈-∪0,.解(1)f
''(x)=(2ax+1)lnx+ax+=(2ax+1)lnx+.①当a≥0时,2ax+1>0,则当x∈0,时,f''(x)<0;
当x∈,+∞时,f''(x)>0.所以f(x)在0,单调递减,在,+∞单调递增.②当a<-,则当x∈0,-∪,+∞时,f''(x)<0,当x∈-时,f''(x)>0.所以在-单调递增,在0,-和,+∞单调递减.③若a=-,则当x∈(0,+∞)时,f''(x)≤0,故f(x)在(0,+∞)单调递减.④若-0;所以在,-内单调递增,在0,和-,+∞内单调递减.(2)当a≥0时,f(x)=xaxlnx+lnx-,对x∈(0,1),f(x)<0,对x∈[1,+∞),f(x)单调递增,且f(1)=-<0,f(e)=ae2+e>0,所以f(x)有且仅有一个零点.若a<-,由(1),要f(x)有两个零点,必须[f(x)]极大值=f=->0,解得a<-2,而f(1)=-<0,由00,即-ln--1>0,解得-
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