2月1日数列一作业1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＝6，S10＝100，则a5等于()A．8B．9C．10D．1
12．(2019·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a3＝2，a5＝8，则a4等于()A．4B．5C．±4D．±53．(20
19·安徽江淮十校联考)已知等比数列{an}的公比q＝－，该数列前9项的乘积为1，则a1等于()A．8B．16C．32D．
644．(2019·荆门调研)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若2S1，S3，S2成等差数列，则数列{an}的
公比为()A.B.C．2D．35．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的各项都是正数，且a1＝b1，a11＝b11.那么
一定有()A．a6≤b6B．a6≥b6C．a12≤b12D．a12≥b126．(2019·济南外国语学校模拟)在数列{an
}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋(－1)n，则a2018的值为()A．2017×1008B．2017×1009C
．2018×1008D．2018×10097．(2019·衡水中学摸拟)已知函数f(x)＝数列{an}满足：an＝f(n
)，n∈N，且{an}是单调递增函数，则实数m的取值范围是()A．(1,2]B．(1,2)C．(2，＋∞)D．(1，＋
∞)8．(2019·合肥一中、马鞍山二中等六校联考)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和
数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个
公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的
年龄为an，则a1等于()A．23B．32C．35D．389．(2019·柳州模拟)已知数列{an}的首项为1，第2项为3
，前n项和为Sn，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)恒成立，则S15等于()A．210B．211C．224
D．22510．(2019·荆门调研)正项等比数列{an}满足a1＝1，a2a6＋a3a5＝128，则下列结论正确的是()A．
?n∈N，Sn>an＋1B．?n∈N，anan＋1≥an＋2C．?n∈N，an＋an＋2＝2an＋1D．?n∈N，an＋a
n＋3>an＋1＋an＋211．(2019·哈尔滨模拟)已知x2＋y2＝4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差
数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为()A．2B.C.D.12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2
为整数，且Sn≤S5，则数列的前n项和的最大值为()A.B．1C.D.13．已知数列{an}与(n∈N)均为等差数列，且
a1＝2，则a1＋2＋3＋…＋n＝________.14．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,
2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(
n≥3，n∈N)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列，则b201
9＝________.15．(2019·合肥一中、马鞍山二中等六校联考)已知等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，且
对任意的n∈N，都有A≤2Sn－≤B恒成立，则B－A的最小值为________．16．(2019·九江模拟)设数列{an}的前n
项和为Sn，已知a1＝1,2Sn＝an＋1，bn＝(－1)n·(log3an)2，则数列{bn}的前2n项和为________．1
7．(2019·宝鸡模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，则()A．a7＝0
B．|a7|＝|a8|C．|a7|>|a8|D．|a7|<|a8|18．(2019·江南十校模拟)计算机内部运算通常使用的是二进
制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应．现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第k个0和
第k＋1个0之间有2k＋1个1(k∈N)，即，则该数的所有数字之和为()A．1973B．1974C．1975D．1
976答案1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＝6，S10＝100，则a5等于()A．8B．9C．10D
．11答案B解析设等差数列{an}的公差为d，因为a1＋a3＝6，S10＝100，所以解得因此a5＝a1＋4d＝9.2．(20
19·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a3＝2，a5＝8，则a4等于()A．4B．5C．±4D．±5答案C解析∵数列{
an}为等比数列，且a3＝2，a5＝8，∴a＝a3a5＝2×8＝16，∴a4＝±4.3．(2019·安徽江淮十校联考)已知等比数列
{an}的公比q＝－，该数列前9项的乘积为1，则a1等于()A．8B．16C．32D．64答案B解析由已知得a1a2…
a9＝1，又a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝a，所以a＝1，即a5＝1，所以a1·4＝1，a1＝16.4．(2019·荆门
调研)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若2S1，S3，S2成等差数列，则数列{an}的公比为()A.B.
C．2D．3答案B解析设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，因为2S1，S3，S2成等差数列，所以2S3＝2S1＋S2
，即2(a1＋a1q＋a1q2)＝2a1＋a1＋a1q，化为2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)．5．已知等差数列{an
}和等比数列{bn}的各项都是正数，且a1＝b1，a11＝b11.那么一定有()A．a6≤b6B．a6≥b6C．a12≤b1
2D．a12≥b12答案B解析因为等差数列{an}和等比数列{bn}的各项都是正数，且a1＝b1，a11＝b11，所以a1＋
a11＝b1＋b11＝2a6，所以a6＝＝≥＝b6.当且仅当b1＝b11时，取等号，此时数列{bn}的公比为1.6．(2019·济
南外国语学校模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋(－1)n，则a2018的值为()A．2017×1008
B．2017×1009C．2018×1008D．2018×1009答案B解析an＋1－an＝n＋(－1)n，a
2018－a2017＝2017＋(－1)，a2017－a2016＝2016＋1，a2016－a2015＝2015
＋(－1)，a2015－a2014＝2014＋1，…，a3－a2＝2＋1，a2－a1＝1＋(－1)，将以上式子相加得a20
18－a1＝2017＋2016＋…＋2，即a2018＝2017＋2016＋…＋2＋1＝＝2017×1009.7．(2
019·衡水中学摸拟)已知函数f(x)＝数列{an}满足：an＝f(n)，n∈N，且{an}是单调递增函数，则实数m的取值范围是
()A．(1,2]B．(1,2)C．(2，＋∞)D．(1，＋∞)答案C解析因为an＝f(n)＝且{an}是单调递增数
列，所以根据指数函数的单调性可得m>1，根据一次函数的单调性可得＋1>0，由分段函数的单调性结合数列的单调性可得，×2018－2
0202.8．(2019·合肥一中、马鞍山二中等六校联考)《算法统宗》是中国古代
数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题
都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁
，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于()A．23B．32C．35D．38答案C
解析由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为d，其中公差d＝－3，S9＝207，即S9＝9a1＋×(－3)＝207，解得a1＝3
5.9．(2019·柳州模拟)已知数列{an}的首项为1，第2项为3，前n项和为Sn，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn
＋S1)恒成立，则S15等于()A．210B．211C．224D．225答案D解析由题意知，n>1时，Sn＋1＋Sn－
1＝2(Sn＋S1)，则Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2a1，即an＋1－an＝2，又a2－a1＝3－1＝2，故数列{an}是以
1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1，S15＝15＋＝225.10．(2019·荆门调研)正项等比数列{an}满足a1
＝1，a2a6＋a3a5＝128，则下列结论正确的是()A．?n∈N，Sn>an＋1B．?n∈N，anan＋1≥an＋2C．
?n∈N，an＋an＋2＝2an＋1D．?n∈N，an＋an＋3>an＋1＋an＋2答案D解析因为等比数列{an}满足a2
a6＋a3a5＝128，即(a4)2＋(a4)2＝128，解得a4＝±8，又等比数列为正项等比数列，所以a4＝8，由a1＝1，则q
3＝＝8，解得q＝2，对于A，Sn>an＋1，有Sn＝＝2n－1，an＋1＝2n，有Sn2n－12n＝22n－1，an＋2＝2n＋1，当n＝1时，anan＋11,2an＋1＝2n＋1，若an＋an＋2＝2an＋1，则2n－1＋2n＋1＝2n＋1，显然不成立，C错误；对于D，an＋an＋3
＝2n－1＋2n＋2＝2n－1(1＋8)＝9×2n－1，an＋1＋an＋2＝2n＋2n＋1＝2n－1(2＋4)＝6×2n－1，必有
an＋an＋3>an＋1＋an＋2，D正确．11．(2019·哈尔滨模拟)已知x2＋y2＝4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，
使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为()A．2B.C.D.答案D解析因为在实数x，y之间插入三个
实数，使这五个数构成等差数列，所以设中间三项为a，b，c，由等差数列的性质可得2b＝x＋y，所以b＝，同理可得c＝，所以后三项的和
为b＋c＋y＝＋＋y＝，又因为x2＋y2＝4，所以可令x＝2cosθ，y＝2sinθ，所以＝(cosθ＋3sinθ)＝si
n(θ＋φ)≤.12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列的前n项和的最大值为()
A.B．1C.D.答案A解析由a1＝9，a2为整数，可知等差数列{an}的公差d为整数．∵Sn≤S5，∴a5≥0，a6≤
0，则9＋4d≥0,9＋5d≤0，解得－≤d≤－，∴d＝－2，∴an＝9－2(n－1)＝11－2n.∴＝＝，∴数列的前n项和为＝.
令bn＝，易知0N)均为等差数列，且a1＝2，则a1＋2＋3＋…＋n＝________.答案2n＋1－2解析设an＝2＋(n－1)d，所以＝
＝，由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数，所以(d－2)2＝0，∴d＝2.所以an＝2＋2(n－1)＝2n，∴＝＝2.
所以a1＋2＋3＋…＋n＝21＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2.14．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列
”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F
(n－2)(n≥3，n∈N)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列，
则b2019＝________.答案2解析由题意得引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,1
44,233，…，此数列被3整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，构成
以8项为周期的周期数列，所以b2019＝b3＝2.15．(2019·合肥一中、马鞍山二中等六校联考)已知等比数列{an}的首项为
，公比为－，前n项和为Sn，且对任意的n∈N，都有A≤2Sn－≤B恒成立，则B－A的最小值为________．答案解析∵等比
数列{an}的首项为，公比为－，∴Sn＝＝1－n，令t＝n，则－≤t≤，Sn＝1－t，∴≤Sn≤，∵2Sn－的最小值为，最大值为，
A≤2Sn－≤B对任意n∈N恒成立，∴B－A的最小值为－＝.16．(2019·九江模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1
＝1,2Sn＝an＋1，bn＝(－1)n·(log3an)2，则数列{bn}的前2n项和为________．答案2n2－n解析
根据题意，数列{an}满足2Sn＝an＋1，①则当n≥2时，2Sn－1＝an，②①－②可得(an＋1－3an)＝0，则有an＋1－
3an＝0，即an＋1＝3an(n≥2)，又2Sn＝an＋1，a1＝1，所以a2＝3.则数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列
，则an＝3n－1.bn＝(－1)n·(log3an)2＝(－1)n·(log33n－1)2＝(－1)n(n－1)2，则b2n－1
＋b2n＝－(2n－2)2＋(2n－1)2＝4n－3；数列{bn}的前2n项和T2n＝1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝＝2n2－n.
B组能力提高17．(2019·宝鸡模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，则(
)A．a7＝0B．|a7|＝|a8|C．|a7|>|a8|D．|a7|<|a8|答案D解析∵公差d>0，(S8－S5)(S
9－S5)<0，∴S9>S8，∴S80，∴a6＋a7＋a8＝3a7<0，∴a6＋a7＋a
8＋a9＝2(a7＋a8)>0，∴a7<0，a7＋a8>0，∴|a7|<|a8|.18．(2019·江南十校模拟)计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应．现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第k个0和第k＋1个0之间有2k＋1个1(k∈N)，即，则该数的所有数字之和为()A．1973B．1974C．1975D．1976答案C解析将数字从左至右以0为分界进行分组：第一组为10，数字和为1；第二组为1110，数字之和为3；第三组为111110，数字之和为5；以此类推，数字共2019位，则前44组共有44×2＋×2＝1980(位)，则前1980位数字之和为44×1＋×2＝1936，剩余数位为2019－1980＝39，则所有数字之和为1936＋39＝1975. |
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