数学思想方法在小学数学教学中的渗透
石柱师范附小陈世林
数学思想方法是数学的精髓，在教学过程中渗透数学思想方法，能提高教学效果，提高学生数学素养。数学教学有两条线，一条是明线即数学知识的教学，一条是暗线即数学思想方法的教学。对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用。因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法。
一、什么是数学思想方法（可从两方面认识）
1、数学思想
日本著名数学教育家米山国藏说过：“学生们所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了．然而不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用，使他们受益终身”。
数学思想对数学知识和所使用的方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。中小学数学教育、教学中传授的数学思想，应该都是基本数学思想。基本数学思想：指从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它在后继认识中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征。包括符号化思想、分类思想、集合思想、对应思想、数形结合思想、化归思想，函数与方程思想，极限思想等。
2、数学方法
数学方法是数学思想指导下的解决数学问题过程中所运用的具体手段（或途径）。具体点说是以数学语言为工具进行科学研究的方法。数学思想与数学方法既有区别又有密切的联系。
差异性：数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性。数学思想是数学方法实施的依据，数学方法是数学思想得以实现的手段。
同一性：表现在“数学思想与数学方法同属方法论的范畴”它们有时是等同的。人们一般将数学思想与数学方法统称为数学思想方法。
二、小学数学教学中应渗透哪些基本数学思想方法。
在数学领域中数学思想方法很多，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。但小学生的年龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受，而且要想把那么多的数学思想方法都渗透给学生也不现实。因此，应该有选择地渗透一些数学思想方法。
（一）符号化思想
西方较早地在数学研究中引进了符号，十六世纪数学家韦达对数学符号作了很多改进，并且第一个有意识地系统地用字母表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数研究的重大拓展，奠定了符号代数的基础，后来大数学家笛卡儿对韦达使用的字母又作了改进。什么是符号化思想呢？用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号化思想。
1、符号化思想的含义
①人们有意识地、普遍地运用符号去概括、表述、研究数学；②研究符号能够生存的条件，即反复选择用怎样的符号才能简洁、准确地反映数学概念的本质，有利于数学的发现和发展，且方便于打字、印刷等等；③数学符号经过人工筛选与改造，形成一种约定的、规范的、形式化的系统。运用一套合适的符号，可以清晰、准确、简洁地表达数学思想、概念、方法和法则，避免日常语言的繁复、冗长或含混不清，从而简化数学运算或推理过程，加快数学思维的速度，促进数学思想的交流。如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c。这就把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆、便于运用。正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性。”
2．小学数学中常用的数学符号
元素符号：表示数和几何图形的符号。
如：阿拉伯数字；表示数的字母，表示常数的字母π；“∠”表示角，“△”表示三角形等。
运算符号：如：＋、－、×、÷。
关系符号：表示数、式、图形或集合之间的关系的符号称为关系符号。如：=,≈,>,<等。
性质符号：表示数或形的性质符号。如：正号“＋”负号“－”。
结合符号：如：()〔〕{}等。
3．符号化思想在小学数学教材中的体现。
在概念的形成过程中，体现出数学符号对概念本质反映的特点。
在表示一些关系式时，渗透符号抽象、简明、易记的特点。
a+b=b+aS=ab
教学用字母表示数，体现代数式的特点
a÷2、5(b+c)、m、-4
4．在教学中渗透符号化思想。
从概念的本质揭示符号的意义。
10以内数的认识。
负数的认识。
适当介绍符号的形成过程。
采取适宜方式，帮助学生理解用代数式表示数量关系的概括性。
方程思想
1.什么是方程思想？
在解决问题时，将已知量和未知量之间的数量关系，通过适当设元建立方程，然后求解使问题得到解决的思维方式。
方程思想是解决问题的重要思想方法
2.算术思维与方程思维的特点。
算术思维
未知量、已知量地位不同。
思考过程往往是逆向的。
方程思维
未知量、已知量地位同等，便于分析数量关系。
具有形式化、一般化的特点。
思考过程往往是顺向的。
3.克服方程思维学习的障碍。
(1)适当加强文字语言与代数式“互译”的训练。
a列代数式。
b说出代数式表示的具体含义。
c设定字母，列代数式。
(2)采用多种方法引导学生找出等量关系。
a直观呈现数量关系。
b半独立写等量关系。
c设定未知量，列方程。
（三）化归思想
1.什么是化归思想？
将待解决的问题，通过某种转化过程，归结为另一个已解决或较易解决的问题的方法。化归思想是数学家最擅长的思想方法。化归是数学中最普遍使用的一种思想方法。它的核心是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题，从而求得原问题的解决。其基本思想是：将待解决的问题甲，通过某种转化过程，归结为一个已经解决或者比较容易解决的问题乙，然后通过乙问题的解答返回去求得原问题甲的解答。这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”，它具有不可逆转的单向性。它的基本形式有：化难为易，化生为熟，化繁为简，化整为零，化曲为直等。在小学数学中蕴藏着各种可运用化归的方法进行解答的内容，让学生初步学会化归的思想方法。
2.化归思想常用的几种方法。
分割法：把要解决的问题分成若干个小问题，然后逐一求解，达到整个问题解决的方法。
（2）变形法：对不易直接解决的问题，加以适当变形，实现由难到易的化归，达到问题解决。
（3）映射法：是指在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立某种“对应关系”，通过映射将原来的问题化归为新问题，在解决新问题的同时，原问题也得以解决。
3.在小学数学教学中渗透化归思想。
明确渗透化归思想的教材因素。
数与代数
几何图形面积公式的推导
注意在教学中渗透化归思想。
注意应用化归思想解决教学中的问题。
如：教学圆面积的计算方法，这里要推导出圆面积公式，在推导过程中，采用把圆分成若干等份，然后拼成一个近似长方形，从而推导出圆的面积公式。这里把圆剪拼成近似长方形的过程，就是把曲线形化归为直线形的过程。再如平面图形面积的计算都是利用的化归思想来解决问题的。
（四）分类思想
分类是根据教学对象的本质属性的异同按某种标准，将其划分为不同种类，即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类进行分析研究。分类是数学发现的重要手段，在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
1、渗透分类思想，培养分类的意识每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、书籍的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如在五年级“方程的意义”教学中，学生对方程意义的理解就是通过式的二次分类建构对“相等关系”、“含有未知数”的理解，从而把握方程的特质的。教学时首先出示各种各样的“式”，按照式子中有无等号可分为：有等号的式子和不含有等号的式子；按照式子中是否含有未知数又可分为：含有未知数和不含有未知数的等式。进一步分别对每种情况中的第一类进行观察，将他们分类，该如何进行？将有等号的式子按照式子中是否含有未知数，分成两类：含有未知数的式子和不含有未知数的式子。将含有未知数的式子按照式子中是否有等号，分成两类：有等号的式子和没有等号的式子。此时，满足方程的二要素便很清楚了：含有未知数、等式。又如，数的整除中对自然数的分类：按自然数能否被2整除可分为奇数和偶数；根据自然数的约数的个数又可分为质数、1和合数；而这正是本阶段需要学生掌握的重点之一。通过分类，建构了知识网络，又突出了学习的重点。结合式的分类、数的分类等教学内容，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把自然数分为：合数、零和奇数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。学习分类方法，增强思维的缜密性在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，满足互斥、无遗漏、最简便的原则。让学生认识不同的分类标准会有不同的分类结果，从而产生新的数学概念和数学知识的结构。掌握合理的分类方法，能够帮助我们理清教学知识中许多“并联”的问题。分类的方法常有以下几种：1）根据数学的概念进行分类有些数学概念是分类给出的。因此在整理时也要分类复习。如：单名数和复名数，这是按所带计量单位的个数进行分类的，牢记分类的标准可以帮助我们掌握它们各自的特点。2）根据图形的特征或相互间的关系进行分类如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。如果以边的长短关系，三角形可分为不等边三角形和等边三角形；等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。3）根据探索的方向进行分类如：直线行程问题和环行行程问题，可以看出来他们在解决问题的方法上有相似性。集合是近代数学中的一个重要概念。集合思想是现代数学思想向小学数学渗透的重要标志，在解决某些数学问题时，若是运用集合思想，可以使问题解决得更简单明了。集合论的创始人是德国的数学家康托其主要思想方法可归结为三个原则，即概括原则、外延原则、一一对应原则。英国数学家维恩最早使用了一种图即可以用于表示任意的几个集合称“维恩图”，用维恩图表示集合，有助于探索某些数学题的解决思路。集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一对应思想等，作为数学思想方法的一种，在教学中是具有很大的指导意义。、集合概念在小学数学教学中的应用集合思想的概念在教学中是不必向学生作解释的，教师主要指导学生看懂集合图的意思，会根据集合图来解题或者帮助解题。图形本身直观地应用了集合的表示方法——图示法，因此在小学低年级中运用这个方法对于教学是很有帮助的。在认数教学中，教师要结合各种集合图，可以是选用书本上的，也可以是选用一些生活中常见的事物自己画。同时还可以反过来给学生一个数字，让学生画集合图，这样既可以让学生开动脑筋发挥自己的想象，也可以让学生更了解集合中的元素与基数概念的联系。在日常教学中，教师还要让学生理解一些用来描述集合的常用术语，如“一些”、“一堆”、“一组”、“一群”等。比如说，在小学数学教材分类中，就出现了这么一张图，让学生观察，要求把玩具放一堆，文具放一堆服装鞋帽放一堆这种把具有同一种属性的东西放在一起，这就是集合的整体概念。在认识0-10的十一个数字中，每个数字都有一张相应的集合图，也就是告诉学生，一个集合中有几个元素就用“几”来表示。这就很形象的把集合中的元素与基数的概念有机的联系起来。、子集、交集、并集、差集、空集思想在小学数学教学中的应用1）子集思想在小学数学教学中的应用教学数的大小这一问题时，就可以应用子集思想。试一试中,给出一些数，组成一个数的集合，元素有387、99、809、345、1725、4300等。同时给出要求，先把给出的数分类，再比较大小。这把数分类就相当于是把整个数的集合中的元素，按要求分别把他们放入三个子集合中。对于这类问题，应用集合思想就能让学生非常直观、容易地理解。2）交集思想在小学数学教学中的应用如有这么一道应用题：一个班有48人。班主任在班会上问：“谁做完了数学作业？”这时有42人举手。又问：“谁做完了语文作业？”这时有37人举手。最后又问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。请问：这个班语文、数学作业都做完的有几人？教学公约数、公倍数这一内容时，也通常应用交集思想，并集思想在小学数学教学中的应用在小学一年级的教材中，并集被用于说明加法的意义，解决这个问题，一幅图中小朋友左手里拿了两只铅笔，右手里拿了三只铅笔，另一幅中小朋友把两只手合在一起，就是把左手和右手中的铅笔并在一起。2＋3＝5（只）还有11～20各数的认识中，对于“11”,先把10根小棒捆成一捆，组成十位上的“1”，然后再数1根组成“11”了。同理在教学12、13、14、15等数时，也都应该采用并集思想。又如，9＋5＝?教材中显示把5根小棒分成1根和4根,把1根和9根结合在一起，组成十根捆在一起，作为十位上的“1”，这也运用了并集思想。4、差集思想在小学数学教学中的应用在小学一年级的教材中，差集被用于说明减法的意义。如树上原有5个苹果，被小朋友摘走2个，就剩下树上（集合）的3个苹果（元素）：5－2＝3（个）又比如说还是本页的“做一做”：图中总共有5个圆圈，其中4个圆圈用线划去，表示去掉的，就剩下5－4＝1（个）了。在教材中一般用线划去或虚线圈起来的都是要剪掉的部分.5、空集思想在小学数学教学中的应用空集表示这个集合没有元素。空集思想的应用主要出现在教学“0”的时候，如“小猫钓鱼”，每只小猫的袋子表示集合，袋子里的鱼表示元素。第一幅图里，袋子里有三条鱼，该集合里有3个元素；第二幅图里，袋子里有两条鱼，该集合里有2个元素；第三幅图里，袋子里有一条鱼，该集合里有1个元素；第四幅图里，袋子没有鱼，该集合中没有元素，也就是空集。、一一对应思想在小学数学教学中的应用一一对应思想在教材中体现的较多，在比较两个集合所包含的元素的多少时就一定得用建立一一对应关系的方法来解决，同时，“一一对应”思想也是现代函数思想的基础。一一对应思想在小学数学教材中主要以两种形式呈现：第一种是比多少，第二种是由一个集合经过对应法则得到另一个集合
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