突变理论和黑箱方法
金观涛
从灾变说到突变理论
近200年前，法国科学家居维叶引用了“灾变”(catastrophe）一词来命名他的学说，用来说明地层的断裂、古生物的灭绝和大陆海洋的变迁等过程中发生的突变现象。为了证明灾变说在方法论上的正确性，居维叶曾作过一个十分著名的论断，他说：“没有缓慢作用的原因能够产生突然作用的结果”，“微小作用力即使连续作用达数百万年也不可能产生诸如阿尔卑斯山岩层断裂和倒转”。在今天看来，虽然居维叶的灾变说在地质学上仍具有一定生命力，但他那著名的论断已被证明是错误的。
百多年来，科学家们发现了大量连续变化引起突然作用的事例；哲学家们也一再谈论着量变会引起不连续飞跃的命题。但是，真正搞清楚“原因连续的作用有可能导致结果的突然变化”的机制，却是本世纪70年代的事情。这就是一门新兴的数学分支——突变理论的出现。
突变理论(catastrophetheory)是微分拓扑学的新成果，它是法国著名数学家R·托姆(ReneThom)提出的。托姆于1972年发表的数十万字的专著《结构稳定性和形态形成学》(StabiliteStructurelleetMorphogenese)，标志着突变理论正式问世。近十几年来，这一理论已引起了数学家、生物学家和哲学家的广泛注意。突变理论虽然引用了居维叶建立灾变说时用的“catastrophe”一词来代表自己的理论，但它的基本思想却和居维叶的论断相反。突变理论正是研究自然界连续的量变是怎样引起突变的，并企图用统一的数学模型来把握它们。
我们知道，自然界存在着两种基本的变化方式，一种是连续变化，另一种是不连续的飞跃。人们早已掌握了描述连续变化过程的数学工具，这就是微分方程。对那些纯粹不连续的变化过程，科学家可以用概率论和离散数学来剖析。使科学家感到棘手的是那些界于连续变化和飞跃之间的变化，它们既不能用微分方程来处理，又不能将它们当作完全离散的过程来研究。而这一类变化在化学、生物学乃至心理学、社会科学中却又是十分常见而重要的。物相变化就是典型的例子。影响物相变化的一些因素，如温度、压强都是连续变化的，但是当这些连续变化的量一旦达到某些关节点（沸点、熔点）时，却可以引起物相不连续的变化。水在1000C便突然沸腾，转化为蒸汽。又譬如在形态形成中，控制生物体细胞分化的条件是生物体内化学物质的浓度，它们在时间和空间上都是连续变化的，但为什么在不同的位置上会分化出不同的细胞、出现空腔和不连续的分界面呢？不解决有关问题，生物学家就不可能揭开形态形成之谜。在这一类问题中，困难并不在于处理那些纯粹连续的变化或纯粹不连续的过程本身，而在于摸清连续变化和不连续变化的关系。长期来，由于缺乏把握这种过程的深刻的数学理论，人们一直不理解自然界那些连续变化会引起突然性变化的一般机制。因此，象居维叶这样的科学家，才会在方法论上把两类基本变化视为完全不相容的，渐变论和灾变论之争一直延续至今。
突变理论的出现成功地解决了这个问题。通过严格的推导，托姆证明了一个重要的数学定理：当那些导致突变的连续变化因素少于4个时，自然界形形色色的突变过程，都可以用7种最基本的数学模型来把握。这7种基本突变被称为：折叠型、尖点型、燕尾型、蝴蝶型、双曲型、椭圆型和抛物型。这些数学模型具有高度的概括性和普适性，因此，有学者把突变理论的产生称作“自微积分发现以来的又一次智力革命”，它是“用精密数学工具描述生物学、社会科学等复杂现象的一次突破”。
在突变理论中，把那些作为突变原因的连续变化因素称为控制变量，把那些可能出现突变的量称为状态变量。比如在水的相变模型中，控制变量就是温度T和压强P，它们始终是连续变化的；而状态变量是水的密度g。密度高的状态相应着液态，密度低的状态代表气态。图l是水的相变的突变模型。模型中那个具有折叠的曲面称为行为曲面，曲面上的点对应着不同的温度、压强下水的密度。折叠上半叶代表液态，下半叶代表气态。拆叠区在底平面上的投影为一个尖角型区域JQF，所以这个模型被称为尖点型。它可以成功地说明温度和压强的连续变化，在什么时候会导致不连续的相变。我们设想，温度与压强沿AB方向连续变化，在相应的行为曲面上，水的密度沿曲线A''F''B''变化。在起初A''F''阶段，水密度在折叠区上半叶连续下降，表示水密度在渐变。但到了折叠的边缘F''，温度压强只要稍顺着AB方向离开F点（它可以是完全连续的），水密度值就会突然跌到曲面下半叶的气态区域，发生不连续变化，这就是沸腾现象。十分有趣的是，如果温度、压强沿着CD曲线变化，绕过了尖角形的折叠区，相应在曲面上的密度就沿着C''D''平滑连续变化，不出现飞跃而达到气态区。这就解释了为什么只要温度、压强绕过临界点，水的气化过程中液态可以不经过沸腾而通过一系列中间过渡状态连续地变为气体。
如果这个模型仅仅是为了说明水的相变而特别设计出来的，那么突变理论就不那么值得称道了。使人们惊奇不已的是，突变理论从数学上证明了：当控制变量是两个时，最简单的突变模型都是这种尖点型。冲击波的形成过程中的突变、弹性结构随着负荷越来越大最后塌陷等，都属于受两个控制变量制约的，所以同样可以用尖点型模型来描述其变化过程。其差别仅仅是状态变量和控制变量的名称不同。模型中行为曲面的大小、方向虽然不同，但它们都有一个大小不同的折面，在底平面上有一个不同形状的尖角型突变集，它们是微分同胚的！同样，在描述狗的行为时，只要上半叶和下半叶分别表示“攻击”和“逃跑”，控制变量是“恐惧”和“愤怒”两个因素，就可以得出把握“狗急跳墙”的突变模型。尖点型模型还能用以说明捕食动物的进食循环；说明地层断裂时为什么会出现三角形断面；为什么经济危机的爆发往往是突变，而危机后的复苏又是一种渐变过程，等等。7种基本突变模型被一些学者用来解释了物理、化学、气象、生物学以及社会科学中的许多事实，对渐变引起突变的种种复杂现象作出了较为深刻的理论说明。
二、突变理论的方法论基础：黑箱、稳定性和结构稳定性
为什么突变理论能对自然界形形色色的突变现象提供统一的模型呢？对于人们熟悉的水的相变、弹性结构的塌陷等物理过程，突变模型可以从具体的机制分析中推出来，但对于心理学、生物学、社会科学中的许多复杂现象来说，常常不能搞清楚控制变量是怎样影响状态变量的具体机制，那么为什么也可以应用突变理论来把握它们呢？这个问题，目前学术界正在进行深入探讨，不同的说法引起了广泛的争论，但我认为，关键在于突变理论运用了黑箱方法，它是一种黑箱理论。如果把黑箱方法和突变理论结合起来，突变理论的哲学基础就一目了然。我以为，可以把突变理论中的状态变量X视为黑箱的输出，而控制变量U和V是对黑箱的输入(图2)。黑箱理论的重要特点之一，就是当输入如何影响输出的具体机制尚不清楚时（没有打开黑箱），我们可以根据输入和输出的具体情况来模拟黑箱的内部构造。我们知道，对于大部分黑箱来说，都具有两个十分普遍而重要的特性，这就是稳定性和结构稳定性。突变理论正是从这两个最广泛的性质出发来推出一般性的突变模型的。
稳定性是指当输入保持不变时，微小的干扰不会改变黑箱的输出。任何物质在条件严格固定时，都具有确定不变的性质，这就是稳定性的表现。稳定性也可以用数学语言来描述，这就是势函数趋于极小值。我们设想，当一个小球（代表输出X处于X0状态）处于图3中的洼底（图三）时，洼的位置是稳定的。因为当干扰作用于小球，小球偏离稳态X0时，只要干扰消失，小球都会因重力作用被拉回洼底。这个洼在突变理论中称为势函数。它是用来描述保持输出的稳定性的稳定机制的。突变理论认为，控制变量只能通过改变势函数洼的形状和位置来影响输出。当控制变量U、V取某一特定值时，如果势函数只有一个稳态，当U、V变化了，势函数这个稳态的位置发生于移动，这时系统呈渐变过程（比如从X0到X4）随着U、V进一步变化，势函数可能出现两个洼，这时就有可能发生突变。如图3中，随着U、V变化到一定程度，势函数中代表原有稳态的洼消失时（如X5），系统的输出从一个洼跳到另一个洼，这就造成了突变。
物理学证明，无论是水的相变还是弹性结构的塌陷，突变确实是在势函数中代表原有稳定的洼消失时发生的。在水的相变中，势函数就是系统的自由能，洼的位置表示密度，它受T、P两个变量的控制。在弹性结构的塌陷一例中，势函数代表着势能。突变理论指出，对于大多数突变过程，虽然势函数的物理意义不甚明确，但是只要黑箱稳定性条件所要求的稳定机制存在，我们就总可以用普遍的势函数来刻画输出的稳定性，从而为数学上推导出一般的突变模型找到第一个支柱。
一般说来，描述稳态机制的势函数非常复杂，如果不对势函数形式作进一步限定，仍不可能最后导出突变模型。这时，突变理论运用了黑箱具备的第二个特点：结构稳定性。所谓结构稳定性是指当输入U、V在干扰作用下变为U+△U，V+△V时，“势函数结构”不会发生变化。它代表系统稳定机制本身的稳定性。这在方法论上相当于说，不仅自然现象本身具有一定的稳定性，而且决定现象的规律以及现象之间的关系也是稳定的。我们知道，势函数的形式由U、V所规定，所以当输入受到微小干扰时，势函数形式不可能完全不变。但对于结构稳定的势函数来说，这种变化是可以忽略不计的。也就是说，势函数洼的数目不会改变。
我们来看如下两个势函数，一个是V1=X2，一个是V2=X4。这两个势函数都存在一个洼，它代表X=0为输出的稳定态。假定U、V受到干扰，势函数也就会受到扰动。这时，V1=X2+δ?(∑ai?Xi)，V2=X4+δ?(∑ai+Xi)（δ为很小的数，表示干扰）。因为我们仅仅考察原点附近的情况，所以∑aiXi中高次项的影响可以忽略不计。这时有：V1=X2+δa1X，V2=X4?δ(a1X+a2X2+a3X3)。显然，对于V1来说，它仍然只有一个洼，而对于V2来说就可能出现两个洼。因此，V1、V2两个势函数中，V1是结构稳定的，V2是结构不稳定的。同样，我们证明势函数V3=X4－UX2－VX是结构稳定的。而V3正好刻画了由两个控制变量决定的尖点型突变模型的势函数，从它可以导出类似图1的突变模型。
突变理论指出，对于U、V的几乎所有数值，势函数一定要是结构稳定的。这在方法论上相当于说突变发生的条件是确定的。如果我们通过固定U、V不同的值来做实验观察突变过程的话，那么实验一定可以重复。只要我们运用势函数结构稳定性的限制，经过一系列的数学推导，就可以得到托姆的基本定律，给出形形色色的突变模型。虽然，突变理论的数学证明十分艰深复杂，但它的方法论基础却是深刻而又简单的。
三、突变理论的应用范围
目前，关于突变理论的研究，大致可以分为三个方面。首先，是研究它的数学基础，其中包括结构稳定性的严格的数学表达，托姆分类定理的推导，它们属于微分拓扑学和奇异点理论。其次是给出突变过程的势函数形式后，讨论相应模型、特别是控制空间中突变集的几何形状，这称为突变理论的几何学研究。对于托姆提出的7种基本突变模型，它们的几何研究相对简单。但是，当控制变量和状态变量组成的空间维数很高时，就不得不运用电子计算机了，这是突变理论在近年来拓展很快的领域。第三，突变理论研究中最为活跃也是争议最大的就是它的应用。
突变理论的应用可以分为直接应用和间接应用。直接应用较易为人们所理解，这就是利用突变模型来说明自然界或社会中种种突变过程，研究突变的条件。间接应用表面上似乎和突变过程无关，比如波浪破裂过程、胚胎发育过程中空腔的出现，咖啡杯中的光学现象等等。在这一类应用中，可以说是利用突变集来说明自然界中奇奇怪怪的形状。这类应用往往比直接应用更为广泛，也更为有趣。有些人囿于“突变理论”的词义，认为它只能用来说明突变过程，而对这一类应用感到不可思议。
实际上，只要我们从黑箱方法的角事度来分析，问题也很好理解。显然，当黑箱的输入U，V和输出X仅仅是时间的函数时，这种模型代表着控制变量的变化怎样导致状态变量的改变，它描述了渐变怎样引起突变的过程。如果黑箱的输入和输出(U，V和X)不是时间的函数，而是空间坐标的函数时，突变理论的全部分析仍然是有效的。但这时它所代表的物理意义却不同了，它意味着代表系统各种不同性质的稳态在空间上是如何分布的。这样，那些相应着的突变集合的稳态就有特殊意义，它们表示几个稳态同时存在的区域，也是使不同性质相互区别开来的那些突然出现的分界面。因此，这些突变集的分布能用确定的形状表现出来。这就使得突变理论能够为研究自然界各种各样的形状是如何形成的，提供有效的工具。
图4为太阳光照到一杯几乎是满的咖啡上形成的焦散面，它是一个美丽的尖点型突变集。突变理论成功地解释了为什么焦散面是这种形状。显而易见，这里表面上和“突变”并没有直接关系。但解决问题的方法却完全相同。在这个问题中，势函数取极小值的意义是费尔马的“最少时间原则”，而突变集只是决定了焦散面的形状。用突变理论可以证明，当焦散面是一个三维曲面时，控制变量不能多于三个，因此，结构稳定的焦散面只可能是折叠、尖点以及燕尾、椭圆型和双曲型脐点中的截线。这是将突变理论应用到光学研究中得到的一个著名的成果。
图5是尖点型突变模型加上马克斯韦尔约定(Maxwellconvention)后，得出的曲面形状。显然，它就是地质学中常见的断层三角面。这是岩层断裂时常见的形状。图6为蝴蝶型突变加上马克斯韦尔约定所得出的。它可以用来说明胚胎形态形成时为什么会出现一个空腔。
如果我们同时把状态变量和控制变量看成是时间和空间的函数，就可以用突变理论来解释形状的变化方式。图7是双曲型突变模型中突变集在参数W不同值的分布，它们和各种各样的海浪形状相同。如果把W看作为时间，它就可以用来说明波浪由园变尖直至最后破裂的过程。在间接应用方面，我们还可以举出许许多多的例子来，如用突变集推出化学中键参数平面图，视觉模式中多稳态分布等等。
突变理论应用之广泛、方法之奇特、解决问题的方法出人意料，是一般数学理论应用中很罕见的，特别是它经常在那些人们认为不可能用数学来处理的奇怪现象中去把握某种本质的联系。正因为如此，突变理论也召来了许多非议和批评。但是，由于突变理论的数学基础是无可非议的，所以对它的批评主要集中于其应用方面。一些人认为，对那机制明确的突变过程，如水的相变，弹性结构的塌陷，冲击波的形成，可以从物理?流体力学中推导出来，并不需要用突变理论来说明，用突变理论来描述它们显得有点事后诸葛亮的味道。而对于心理学、生物学和社会科学中大量机制不甚明确的过程，应用突变理论，就显得缺乏切实的根据。实际上，这种批评是由于不明白突变理论方法论的实质，它是一种黑箱理论。其意义正在于通过突变模型的研究有助于打开黑箱。这一点，托姆本人就曾明确说过：“由已知的科学定律出发，把突变理论的形式作为这些定律的结果，这是物理学途径；或者，由对之理解很差的实验形态出发，预先认为突变理论的形式是正确的，并试图重新建立导致这个形态的潜在动方学，这是‘玄学的’的途径。勿需说，照我看来第二种途径比第一种途径更有希望。”
黑箱模型的意义在于我们通过建立模型来认识黑箱的结构，以致最后打开黑箱。因比，在认识论上来讲，突变理论可能比一般意义上人们所理解的数学理论更有意''义。当然，作为新兴学科的突变理论目前还不成熟，它的应用中必定存在着各种各样的问题和缺点。突变理论受到的批评很容易使人想起17世纪时对微积分的批评。但是它所引起的激烈争论恰好说明，突变理论正在作为一种在方法论上有重要意义的数学工具，已出现并将继续活跃在20世纪后半叶的科学发展舞台上。
(6,000)
金观涛突变理论和黑箱方法<问题与方法集>1986
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