反比例函数中与面积有关的问题
函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的几种类型归纳如下：
利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题
设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|???
??∴xy=k????故S=|k|???从而得
结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|。
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
结论2：在直角三角形ABO中，面积S=
结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|
结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|
类型之一k与三角形的面积
如图，已知双曲线y=（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为6，则k=______．
最佳答案
过D点作DE⊥x轴，垂足为E，由双曲线上点的性质，得S?△AOC?=S?△DOE?=?∵DE⊥x轴，AB⊥x轴，∴DE?∥?AB，∴△OAB?∽?△OED，又∵OB=2OD，∴S?△OAB?=4S?△DOE?=2k，由S?△OAB?-S?△OAC?=S?△OBC?，得2kk=6，解得：k=4．故答案为：4．
A.S1＞S2B.S1=S2C.S1＜S2D.S1、S2大小不确定。
3、在下列图形中，阴影部分面积最大的是（C）
如图1-ZT-3，在平面直角坐标系中，点A是函数y=（0）
5、※如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（k＜0，x＜0）的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点B，点C在y轴上，连结AC、BC．若△ABC的面积是3，则k=??．
6、如图1-ZT-4，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，若OA2-AB2=8，则k的值为_______。
类型之二k与平行四边形的面积
7、※如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=（k<0，x<0）图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k值为___．
优质解答∵AB⊥y轴，∴AB∥CD，∵BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形AEOB的面积=AB?OE，∵S平行四边形ABCD=AB?CD=3，∴四边形AEOB的面积=3，∴|k|=3，∵<0，∴k=-3，故答案为：-3．
答案：
过点C作CD⊥OA，∵C的坐标为（3，4），∴CD=4，OD=3，∵CB∥AO，∴B的纵坐标是4，∴OC==5，∴AO=OC=5，∵四边形COAB是菱形，∴B的横坐标是8，∴k=8×4=32，故选D．
分析：首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=2，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．
解：∵过函数y=的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，∴S△AOC=S△ODB=|k|=2，又∵OC=OD，AC=BD，∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2，∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8．故选D．
本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性．
□ABCD，其中点C、D在x轴上，则□ABCD的面积未（）。
A.2B.3C.4D.5
11、如图、1-ZT-8，在□ABOC中，两条对角线交于点E，双曲线y=(k＜0)的一支经过C、E两点，若□ABOC的面积为10，则k的值是（）。
-B.-C.-4D.-5
类型之三k与矩形的面积
12、如图1-ZT-9，A、B两点在双曲线y=上，分别过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S1+S2=6，则S阴影=（）。
A.4B.2C.1D.无法确定
13、如图1-ZT-10，反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）。
A.1B.2C.3D.4
考点： 反比例函数系数k的几何意义． 专题： 数形结合． 分析： 本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值． 解答： 解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，k＞0，则++9=4k，解得：k=3．故选C． 点评： 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． （,k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E、F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为________。
分析：设E（a，），则B纵坐标也为，代入反比例函数的y=，即可求得F的横坐标，则根据三角形的面积公式即可求得k的值．
解：设E（a，），则B纵坐标也为，E是AB中点，所以F点横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标：，BF=-=，所以F也为中点，S△BEF=2=，k=8．故答案是：8．
本题考查了反比例函数的性质，正确表示出BF的长度是关键．
y=图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，PM⊥x轴于点M,QBy轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1____________S2(填“＞”“＜”或“=”)。
16、如图1-ZT-13，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，其中OA=6，OC=3，已知反比例函数y=（,k＞0）的图象经过BC边的中点D,交AB于点E。
（1）k的值为________；
（2）猜想△的面积与△的面积之间的关系，并说明理由。
答案：（1）9；（2）S△OCD=S△OBE，理由见解析．【解析】试题分析：（1）根据题意得出点D的坐标，从而可得出k的值：∵OA=6，OC=3，点D为BC的中点，∴D（3，3）．∵反比例函数（x＞0）的图象经过点D，∴k=3×3=9．（2）根据三角形的面积公式和点D，E在函数的图象上，可得出S△OCD=S△OAE，再由点D为BC的中点，可得出S△OCD=S△OB...
于点B、C，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥y轴于点D，连接ED，若五边形ABDEC的面积为34，则k的值为________。
18、如图1-ZT-14，点P是反比例函数y=（k1＞0，x＞0）图象上的一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y=（k2＜0，且|k2|＜k1）的图象于E、F两点。
图1中，四边形PEOF的面积S1=______（用含k1、k2的式子表示）；
图2中，设P点坐标为（2，3），①点E的坐标是（______，______），点F的坐标是（______，______）（用含k2的式子表示）；
②若△OEF的面积为，求反比例函数y＝的解析式．
解答：
∵P是点P是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上一动点，
∵E、F分别是反比例函数y＝（k2＜0且|k2|＜k1）的图象上两点，∴S△OBF=S△AOE=|k|，∴四边形PEOF的面积S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|，∵k2＜0，∴四边形PEOF的面积S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|=k-k2．（2）①∵PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，∴E、F两点的坐标分别为E（2，），F（，3）；②∵P（2，3）在函数y=的图象上，∴k=6，∵E、F两点的坐标分别为E（2，），F（，3）；∴PE=3-，PF=2-，∴S△PEF=（3-）（2-）=，∴S△OEF=（k-k2）-=（6-k）-==，
∵k2＜0，∴k=-2．
反比例函数相关练习题
1.如图，直线y=-x上有一长为动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件（2）下，第一象限内的双曲线y=于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由．
2.如图，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2都在函数y=（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上．则点A2的坐标为
3.如图，A是反比例函数图象上一点，过A作AB⊥X轴于B，P在Y轴上，△ABP面积为3，则k=
4.如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形并设其面积分别为则的值为．．
5.如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，A和B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于??????????.
6.如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数（x＞0）的图像上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数（x＞0）的图象上，顶点A3在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为
7.如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数的图象的两个交点．
则△AOB的面积是_______；
|
|
