与轴对称有关的最短路径问题及解析
问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
解析：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。
作法：
（1）作点B关于直线l的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l相交于点C。
则点C即为所求。
证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′。由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．
∴AC+BC=AC+B′C=AB′，
AC′+BC′=AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴AC+BC＜AC′+BC′．
即AC+BC最短．
若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离
和都大于AC+BC，就说明AC+
BC最小．
问题2如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径。
解析：考点：作图—应用与设计作图,轴对称-最短路线问题
专题：
分析：根据“两点之间线段最短”，和轴对称最短路径问题解答．
解答：?解：（1）两点之间，线段最短，连接PQ；（2）作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP．最短路线P--Q--M--P．
点评：本题考查了作图--应用与设计作图，熟悉轴对称最短路径问题是解题的关键．
问题3如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
解析：如图，作BB''垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于M，作MN⊥GH，则MN∥BB′且MN=BB′，于是MNBB′为平行四边形，故NB=MB′．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．
问题4已知△ABC中，D、E是边AB、AC边上的点，在边BC上找一点M，使△DEM的周长最小。
解答：如图作D点的对称点D′，连接D′E，角BC与P，△PDE的周长最小．
问题5如图，如果我们把台球桌做成等边三角形的形状，那么从AC的中点D处发出的球，能否依次经BC,AB两边反射后回到D处？如果认为不能，请说明理由；如果认为能，请作出球的运动路线。
解析：能，如上图。E，F分别为AB，BC中点
证明：因为等边△ABC，D，E，F为三边中点
所以，△DEF也是等边△（中位线）。
又因为CE⊥AB，DF∥AB，
所以，CE⊥DF
所以EC平分∠DEF（三线合一）
所以，球沿DE方向入射至AB，出射方向一定是EF，即图中的两个α角。
同理可证沿着EF方向入射至BC，出射方向一定是FD，所以最终回到了D点。
问题6如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
问题7已知如图在直线l的同侧有两点A
(1)在图1的直线上找一点P使PA＋PB最短；(2)在图2的直线上找一点P使PA－PB最长．
问题8如图四边形ABCD中＝120＝∠D＝90在BC上分别找一点M使△AMN周长最小求∠AMN＋∠ANM的度数．
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH.
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°.
∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.
∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.
B
A
l
B
·
A
l
B
·
l
A
·
B′
C
B
·
l
A
·
B′
C
C′
A
D
B
C
图（4）
A
D
B
C
图（4）
A
D
B
C
图（4）
A
D
B
C
图（4）
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