解（1）当时，点P运动的路程为⊙O周长的或．设点运动的时间为．当点P运动的路程为周长
的时，ＡＰＢＯ⊙O⊙O解得当点运动的路程为周长的时，解得．当时，点运动的时间为或．⊙
O连接OP、PA．当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为．（2）如图，当点运动的
时间为时，直线与相切． 理由如下：︵，．，这类试题的分类讨论有固定的模式，它要求学生
通过观察、比较、分析图形的变化，揭示图形之间的内在联系，要能够根据条件作出或画出图形，从而进行分类。．，1、线平
移型2、线旋转型二、动线型．，1.线平移型NMOCAyxB（1）求A、B两点的
坐标。（2）设OMN的面积为S，直线l运动的时间为t秒（0≤t≤4），试求S与t的函数表达式。△FL．，
OBMyxANC．，类似的试题有：如图，平面上一点从点出发，沿射线方向以每秒1个
单位长度的速度作匀速运动，在运动过程中，以为对角线的矩形的边长；过点且垂直于射线的直线与点同时出发，且与点沿相同的方向、以相同的速
度运动．（1）在点运动过程中，试判断与轴的位置关系，并说明理由．（2）设点与直线都运动了秒，求此时的矩形与直线在运动过程中所扫
过的区域的重叠部分的面积（用含的代数式表示）xyOlBPMA．，2.线旋转型已知四边形ABCD
中，，，，，
，绕点B旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E,F．（1）当
绕点B旋转到时（如图1），求证：
（2）当绕点B旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，
请给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．CCDDEEFFMM
图2图3CDEFM图1NNE’DE’N．，三、动图型1、图形平移型2、图形旋转型
3、图形翻折型．，1.图形平移型ABCEFG图2DABCDEFG图3ABCF
G图1在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为
F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF
与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态几何。它通常分
为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本的条件，给出一个或多个变量，要求确定
变量与其它量之间的关系，或变量在一定条件下为定量时，进行相关的几何计算、证明或判断。．，在解这类题
时，要充分发挥空间想象的能力，往往不要被“动”所迷惑，在运动中寻求一般与特殊位置关系；在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它
运动中的某一瞬间，通过探索、归纳、猜想，正确分析变量与其它量之间的内在联系，建立变量与其它量之间的数量关系。再充分利用直观图形，并
建立方程、函数模型或不等式模型，结合分类讨论等数学思想进行解答。．，1、动点与最值问题相结合2、动点与列函数关
系式相结合3、动点与坐标几何题相结合4、动点与分类讨论相结合一、动点型一、动点与最值问题相结合ADCBEAD
BCEF类似的试题有：AMNDPBCN’A.2
C.4B.D.A
NMBPCA.6B.8C.4
D.10BMNADCE（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再
到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．（4
）（北京06中考题）已知抛物线与y轴交于点，与轴分别交于，
两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；AＢＣPQ例2：
已知：如图：△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，CB=4cm，两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC
的边运动，当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止，点P、Q的运动速度分别为1cm/s、2cm/s。设点P运动时间为t(
s)二、动点与列函数关系式相结合(2).当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化，设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（c
m2），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？
若有，请求出最大值；若没有，请说明理由。(1).当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）
等于2cm2；解：（1）解得(1)当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2c
m2；AＢＣPQ解：（2）(2).当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化，设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S
（cm2），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；②当2＜t≤3时①当0＜t≤2时③当3＜t≤4.5时解：
（3）有AＢＣPQ②在2＜t≤3时①在0＜t≤2时③在3＜t≤4.5时（3）点P、Q在运动的过程中，
阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由。所以S有最大值是技巧点拨:由几何条件确定函数
关系式，关键在于寻找两个变量的等量关系，同时，确定自变量取值范围也是完整解这类题不可忽视的步骤，求自变量的取值范围一般采用结合图形
。直接确定其思维过程为：①x最大能“逼近”哪个点（数）？最小能“逼近”哪个点（数）？能否等于这个数？②在变化过程中有无特
殊点（数）③综合以上两点下结论，另外，此题还结合了动态问题和分类问题，这是代数几何综合题，也是今后发展的命题趋势。
(1)用含t的代数式分别表示CE和QE的长；(2)求△APQ的面积S与t的函数关系式；(3)当QE恰好
平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？类似的试题有：A、B是直线l上的两点，AB=4厘米。过l外一点C作CD∥l，射
线BC与l所成的锐角∠1=60°，线段BC=2厘米。动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动。设P
、Q运动的时间为t(秒)，当t＞2时，PA交CD于E。．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点
分别从点同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，作，交于点，连结，当两动点
秒时．过点运动了（1）点的坐标为（，）（用含的代数式表示）．（2）记的面积为，求与的函数
关系式．（3）当秒时，有最大值，最大值是．（4）若点在轴上，当有最大值且为等腰三角形时，求
直线的解析式．OMxyCNP三、动点与坐标几何题相结合ABEF．解：（1）（2）在中，，
边上的高为．即．OMxyCNP（3）．EF．．．解：由（3）知，当有最大值时
，，此时（4）若点Q在y轴上，当s有最大值且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．的中点处，如下图,设则，.
为等腰三角形，①若，则，此时方程无解．②若，即，解得．③若，即，解得．，．在．．．
当为时，设直线的解析式为，将代入得．直线的解析式为当为时，，均在轴上，直线的解析式为（
或直线为轴）．在同一直线上，不存在，舍去．故直线的解析式为，或．当为时，1.如图3，A是硬币圆周上一点
，硬币与数轴相切于原点O﹙A与O点重合﹚，假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点重合
，则点对应的实数是 ．类似的试题有：例4.已知，如图，在直角坐标系中，矩形的对角线所在直线解析式为：
（1）在x轴上存在这样的点M，使△MAB为等腰三角形，求出所有符合要求的点M的坐标；（2）动点P从点C
开始在线段CO上以每秒个单位长度的速度向点O移动，同时，动点Q从点O开始在线段上OA以每秒1个单位长度的速度向点A移动．设P,
Q移动的时间为t秒．①是否存在这样的时刻t，使△OPQ与△BCP相似，并说明理由；②
设△BPQ的面积为s，求s与t间的函数关系式，并求出t为何值时，s有最小值．yCAxBO四、动点与分类讨论相结合
M1M2M3M5M4（1）易知①为底边，则②为腰且时，由题意可知③为腰且时，由题意可知
，由对称性知yCAxBO（2）①假设存在这样的时刻，使与相似．由或得或．即或．解得或
．又，当或时，与相似．yCAxBOPQ（2）、①是否存在这样的时刻t，使△OPQ与△BCP
相似，并说明理由；②当时，面积有最小值，．最小值是yCAxBOPQ（2）、②设△BPQ的面积
为s，求s与t间的函数关系式，并求出t为何值时，s有最小值．1、如图，已知正三角形ABC的高为9厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心
O从点A出发，沿线路AB—BC—CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而停止.（1）当r=9厘米时，⊙O在移动过程中与△ABC
三边有几个切点？当r=9厘米时，⊙O在移动过程中与△ABC三边有三个切点.ABC类似的题有：（2）当r=2厘米时，⊙O
在移动过程中与△ABC三边有几个切点？当r=2厘米时，⊙O在移动过程中与△ABC三边有六个切点.ABC当r>9厘米时,没有切点;当r=9厘米时,有3个切点;当0
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