初中数学中考偏难压轴题专项(5)
Jeason_Lan
题号 一、综合题 总分 得分
评卷人 得分 一、综合题
（每空？分，共？分）
1、如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．
2、已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；
（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．
①求证：∠PDQ=90°；
②求△PDQ面积的最小值．
3、如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；
（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．
4、小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，点，分别在菱形的边，上，，求证：.
[来源~:中&^@教网]
(1)???小敏进行探索，若将点，的位置特殊化，把绕点旋转得到，使，点分别在边上，如图2，此时她证明了.请你证明.
(2)???受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作，，垂足分别为，请你继续完成原题的证明.
(3)???如果在原题中添加条件：，，如图1，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直线给出答案.
5、如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
6、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
7、如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，线段的中垂线与对称轴交于点，与轴交于点，与交于点.对称轴与轴交于点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)点为轴上一点，与直线相切于点，与直线相切于点，求点的坐标；
(4)点为轴上方抛物线上的点，在对称轴上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出点坐标；若不存在，请说明理由.
8、已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，如题图，连接．
（1）填空：°；
（2）如题图，连接，作，垂足为，求的长度；
（3）如题图，点同时从点出发，在边上运动，沿路径匀速运动，沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点的运动速度为，点的运动速度为，设运动时间为秒，的面积为，求当为何值时取得最大值？最大值为多少？
9、如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接交于点．
（1）证明：；
（2）若，证明：与相切；
（3）在（2）条件下，连接交于于点，连接，若，求的长．
10、小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
???求解体验
???(1)已知抛物线经过点(-1,0),则=?????????，顶点坐标为?????????????，
??????该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是?????????????????????????????.
???抽象感悟
???我们定义：对于抛物线,以轴上的点为中心，作该抛物线关于
???点对称的抛物线?,则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”.
???(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求??????的取值范围.
???问题解决
???(3)已知抛物线
???????①若抛物线的衍生抛物线为,两抛物线有两个交点，且恰好是
?????????它们的顶点，求的值及衍生中心的坐标；
???????②若抛物线关于点的衍生抛物线为?,其顶点为；关于点的衍生抛
?????????物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…(为
?????????正整数).求的长(用含的式子表示).
11、如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，
⑴当AM=1/3时，求x的值；
⑵随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；
⑶设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.
12、如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点.点是直线上方的抛物线上一动点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，，并把沿轴翻折，得到四边形.若四边形为菱形，请求出此时点的坐标；
（3）当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积.
13、已知；如图，一次函数的图象经过点A（，m）（m>0）,与y轴交于点B，点C，在线段AB上，且BC=2AC，过点C作轴的垂线，垂足为点D，若AC=CD，
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知一开口向下，以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与轴的交点为Q（，0）求这条抛物线的函数表达式。
14、如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°<θ<90°）的到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上，
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；
（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若,求的值。
15、已知，中，，是边上一点，作，分别交边，于点，.
（1）若（如图1），求证：.
（2）若，过点作，交（或的延长线）于点.试猜想：线段，和之间的数量关系，并就情形（如图2）说明理由.
（3）若点与重合（如图3），，且.
①求的度数；
②设，，，试证明：.
16、如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点．将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；
(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点点关于直线的对称点为若以为顶点的三角形与全等,求直线的解析式．
17、如图1,在中,于点的垂直平分线交于点,交于点,，．
(1)如图2,作于点,交于点,将沿方向平移,得到，连接．
①求四边形的面积；
②直线上有一动点,求周长的最小值．
(2)如图3．延长交于点．过点作,过边上的动点作,并与交于点,将沿直线翻折,使点的对应点恰好落在直线上,求线段的长．
18、如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点，其中,.该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.
(1)求的值及该抛物线的解析式;
(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△和等腰直角△,连接,试确定△面积最大时点的坐标.
(3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以为顶点的三角形与△相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
19、再读教材:
宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示;)
第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.
第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步,折出内侧矩形的对角线,并把折到图③中所示的处，
第四步,展平纸片,按照所得的点折出,使,则图④中就会出现黄金矩形，
问题解决:
?(1)图③中=__________(保留根号);
?(2)如图③,判断四边形的形状,并说明理由;
?(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.
?实际操作:?
?(4)结合图④.请在矩形中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.
20、如图1，在平面直角坐标系中，已知点和点的坐标分别为，，将绕点按顺时针分别旋转，得到，，抛物线经过点，，；抛物线经过点，，.
（1）点的坐标为________，点的坐标为________；抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________；
（2）如果点是直线上方抛物线上的一个动点.
①若，求点的坐标；
②如图2，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，记，求与的函数关系式.当时，求的取值范围.
21、如图，已知抛物线过点A和B，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C。
（1）求抛物线的解析式；???
（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；???
（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。???
22、如图1，在平面直角坐标系中，已知点和点的坐标分别为，，将绕点按顺时针分别旋转，得到，，抛物线经过点，，；抛物线经过点，，.
（1）点的坐标为________，点的坐标为________；抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________；
（2）如果点是直线上方抛物线上的一个动点.
①若，求点的坐标；
②如图2，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，记，求与的函数关系式.当时，求的取值范围.
23、如图，已知二次函数的图象抛物线与轴相交于不同的两点，,且,
(1)若抛物线的对称轴为求的值；
（2）若，求的取值范围；
（3）若该抛物线与轴相交于点D，连接BD，且∠OBD＝60°，抛物线的对称轴与轴相交点E，点F是直线上的一点，点F的纵坐标为，连接AF，满足∠ADB＝∠AFE，求该二次函数的解析式。
??????????????????????????????????
24、.如图，在平面直角坐标系中，以直线为对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线与抛物线的对称轴的交点为、是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标；
（3）若在轴上有且仅有一点，使，求的值.
25、如图，抛物线顶点，与轴交于点，与轴交于点，.
（1）求抛物线的解析式.
（2）是物线上除点外一点，与的面积相等，求点的坐标.
（3）若，为抛物线上两个动点，分别过点，作直线的垂线段，垂足分别为，.是否存在点，使四边形为正方形？如果存在，求正方形的边长；如果不存在，请说明理由.
26、如图，抛物线（a≠0）过点E（10,0）,矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C,D在抛物线上.设A(t,0)，当t=2时，AD=4.
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.
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27、抛物线与轴交于点A，B（点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点。(1)如图1，连接CD.求线段CD的长；(2)如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是，当的值最大时，求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标；(3)如图3,点H是线段AB的中点，连接CH.将△OBC沿直线CH翻折至的位置，再将绕点旋转一周，在旋转过程中，点,C的对应点分别是点，.直线分别与直线AC,x轴交于点M,N.那么,在的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段的长；若不存在，请说明理由。
28、对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9.百位与个位上的数字之和也为9.则称n为“极数”。(1)请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；(2)如果一个正整数是另一个正整数的平方,则称正整数是完全平方数,若四位数m为“极数”,记。求满足是完全平方数的所有。
29、如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.
（1）求证:CM=EM；
（2）若∠BAC=50°,求∠EMF的大小；
（3）如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:AN∥EM.
30、如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上,且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为
（1）求线段的长；
（2）点为线段上方抛物线上的任意一点，过点作的垂线交于点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值；
（3）在（2）中，取得最小值时，将绕点顺时针旋转后得到,过点作的垂线与直线交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由。
31、如图，AB为⊙O的一条弦，点C是劣弧AB的中点，E是优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D
(1)求证：CE∥BF
?(2)若线段BD的长为2，且求的面积。
(注：根据圆的对称性可知OC⊥AB)
32、已知二次函数
(1)当时，求这个二次函数的对称轴方程
(2)若，问：为何值时，二次函数的图像与轴相切
(3)若二次函数的图像与轴交于点且，与轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好经过点M，二次函数的对称轴与轴、直线BM、直线AM分别相交于点D、E、F且满足，求二次函数的表达式。
33、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点在点的左侧)，经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且.
(1)求两点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求直线的函数表达式(其中、用含的式子表示)；
(3)点是直线上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求的值；
(4)设是抛物线的对称轴上的一点，点在抛物线，以点为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由.
34、和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点.
(1)如图(1)，当点在线段上，且时，求证：.
(2)如图(2)，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长.
35、如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.
?（1）求证：是等边三角形；
?（2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；
若不存在，请说明理由.
（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.
36、?如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点，点是抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点.
（1）试求该抛物线的表达式；
（2）如图（1），若点在第三象限，四边形是平行四边形，求点的坐标；
（3）如图（2），过点作轴，垂足为，连接，
?①求证：是直角三角形；
②试问当点横坐标为何值时，使得以点为顶点的三角形与相似？
37、在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为.例如：抛物线的伴随直线为，即
（1）在上面规定下，抛物线的顶点为????????.伴随直线为????????；抛物线与其伴随直线的交点坐标为????????和????????；
（2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点(点在点的右侧)与轴交于点
①若求的值；
②如果点是直线上方抛物线的一个动点，的面积记为，当取得最大值时，求的值.
?
38、如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点.
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；
（2）当点移动抛物线的什么位置时，使得，求出此时点的坐标；
（3）点从点出发沿线段上方的抛物线向终点移动，在移动的过程中，点的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动，点移动到各自终点时停止，当两个动点移动秒时，求四边形的面积关于的函数表达式，并求为何值时，有最大值，最大值是多少？[来
[www.z%^z~step.co#m]
39、已知抛物线，其中，且.
（1）直接写出关于的一元二次方程的一个根；
（2）证明：抛物线的顶点在第三象限；
（3）直线与轴分别相交于两点，与抛物线相交于两点.设抛物线的对称轴与轴相交于,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点,使得与相似.并且，求此时抛物线的表达式.
40、?正方形的边长为1，点是边上的一个动点（与不重合)，以为顶点在所在直线的上方作.???
(1)当经过点时，
①请直接填空：???（可能，不可能）过点；（图1仅供分析）
②如图2,在上截取，过点作垂直于直线,垂足为点，册于，求证：四边形为正方形.?
（2）当不过点时，设交边于,且.在上存在点,过点作垂直于直线,垂足为点，使得，连接，求四边形的最大面积.
??[?
参考答案
一、综合题
1、【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
二次函数的解析是为y=﹣x2+2x+3；
（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵C（0，3），
∴E（0，），
∴点P的纵坐标，
当y=时，即﹣x2+2x+3=，
解得x1=，x2=（不合题意，舍），
∴点P的坐标为（，）；
（3）如图2，
P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
，
解得．
直线BC的解析为y=﹣x+3，
设点Q的坐标为（m，﹣m+3），
PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
OA=1，
AB=3﹣（﹣1）=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
=AB?OC+PQ?OF+PQ?FB
=×4×3+（﹣m2+3m）×3
=﹣（m﹣）2+，
当m=时，四边形ABPC的面积最大．
当m=时，﹣m2+2m+3=，即P点的坐标为（，）．
当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．
2、【分析】（1）将点（3，1）代入解析式求得a的值即可；
（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0=（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得=，即==据此求得x0的值即可得；
（3）①设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），联立直线和抛物线解析式，化为关于x的方程可得，据此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由PM=y1=（x1﹣1）2、QN=y2=（x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1知PM?QN=DM?DN=16，即=，从而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得；
②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG=4，根据S△PDQ=DG?MN列出关于k的等式求解可得．
【解答】解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1，
解得：a=，
所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2；
（2）由（1）知点D坐标为（1，0），
设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），
则y0=（x0﹣1）2，
如图1，过点C作CF⊥x轴，
∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDO+∠CDF=90°，
∴∠BDO=∠DCF，
∴△BDO∽△DCF，
∴=，
∴==，
解得：x0=17，此时y0=64，
∴点C的坐标为（17，64）．
（3）①证明：设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），
由，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0，
∴，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，
如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
则PM=y1=（x1﹣1）2，QN=y2=（x2﹣1）2，
DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1，
∴PM?QN=DM?DN=16，
∴=，
又∠PMD=∠DNQ=90°，
∴△PMD∽△DNQ，
∴∠MPD=∠NDQ，
而∠MPD+∠MDP=90°，
∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；
②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，4），
所以DG=4，
∴S△PDQ=DG?MN=×4×|x1﹣x2|=2=8，
∴当k=0时，S△PDQ取得最小值16．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．
3、【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）将已知点坐标代入即可；
（2）利用抛物线增减性可解问题；
（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，），点B（3，﹣）求出相关角度．
【解答】解：（1）把点A（1，），点B（3，﹣）分别代入y=ax2+bx得
解得
∴y=﹣
（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=
当x＞时，y随x的增大而减小
∴当t＞4时，n＜m．
（3）如图，设抛物线交x轴于点F
分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E
∵AC≥AD，BC≥BE
∴AD+BE≥AC+BE=AB
∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．
∵A（1，），点B（3，﹣）
∴∠AOF=60°，∠BOF=30°
∴∠AOB=90°
∴∠ABO=30°
当OC⊥AB时，∠BOC=60°
点C坐标为（，）．
【点评】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．
4、解：(1)当为顶角，则，
当为底角，若为顶角，则，
若为底角，则.
∴或或.
(2)分两种情况：
①当时，只能为顶角，
∴的度数只有一个.
②当时，
若为顶角，则，
若为底角，则或，
当且，且，即时，
有三个不同的度数.
综上①②，当且时，有三个不同的度数.
23.解：(1)如图1，
?
在菱形中，
，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴.
∴.
(2)如图2，由(1)，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
(3)不唯一，举例如下：
层次1：①求的度数，答案：.
②分别求，的度数.答案：.
③求菱形的周长.答案：16.
④分别求的长.答案：.
层次2：①求的值.答案：4.
②求的值.答案：4.
③求的值.答案：.
层次3：①求四边形的面积.答案：.
②求与的面积和.答案：.
③求四边形的周长的最小值.答案：.
④求中点运动的路径长.答案：.
24.解：(1)第一班上行车到站用时小时.
第一班下行车到站用时小时.
(2)当时，.
当时，.
(3)由(2)知同时出发的一对上、下行车的位置关于中点对称，设乘客到达站总时间为分钟，[来源:中国^&教育@#出版网]
当时，往站用时30分钟，还需再等下行车5分钟，
，不合题意
当时，只能往站坐下行车，他离站千米，则离他右边最近的下行车离站也是千米，这辆下行车离千米.
如果能乘上右侧第一辆下行车，，，∴，
，
∴符合题意.
如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，，
，，
∴，，
∴符合题意.
如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，，
，，
∴，，不合题意.
∴综上，得.
当时，乘客需往站乘坐下行车，
离他左边最近的下行车离站是千米，
离他右边最近的下行车离站也是千米.
如果乘上右侧第一辆下行车，，
∴，不合题意.
如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，，
，，∴，，
∴符合题意.
如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，，
，，，
∴不合题意.
∴综上，得.
综上所述，，或.
5、解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；
（2）△ABC是直角三角形．
令y=0，则﹣x2+x+4=0，
解得x1=8，x2=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC==4，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．
（4）如图，
设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，
∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴=，
∵MN∥AC
∴=，
∴=，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2
∴MD=（n+2），
∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
=BN?OA﹣BN?MD
=（n+2）×4﹣×（n+2）2
=﹣（n﹣3）2+5，
当n=3时，△AMN面积最大是5，
∴N点坐标为（3，0）．
∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．
6、【考点】HF：二次函数综合题?
【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1﹣﹣y0）m2﹣（2﹣2x0﹣2y0）m+x02+y02﹣2y0﹣3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2=x2﹣x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
，解得：，，
∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．
作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．
∵点B（4，1），直线l为y=﹣1，
∴点B′的坐标为（4，﹣3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，）、B′（4，﹣3）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线AB′的解析式为y=﹣x+，
当y=﹣1时，有﹣x+=﹣1，
解得：x=，
∴点P的坐标为（，﹣1）．
（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，
∴（m﹣x0）2+（n﹣y0）2=（n+1）2，
∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0n+y02=2n+1．
∵M（m，n）为抛物线上一动点，
∴n=m2﹣m+1，
∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0（m2﹣m+1）+y02=2（m2﹣m+1）+1，
整理得：（1﹣﹣y0）m2﹣（2﹣2x0﹣2y0）m+x02+y02﹣2y0﹣3=0．
∵m为任意值，
∴，
∴，
∴定点F的坐标为（2，1）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．
7、解：(1)∵抛物线过点，，
∴设抛物线表达式为.
又∵抛物线过点，将点坐标代入，得
，解得.
∴抛物线的函数表达式为，即.
(2)∵对称轴.
∴点在对称轴上.
设点的坐标为，过点作，垂足为，连接，.
∵为中垂线，
∴.
在和中，
∴，，
∴，
解得.
∴点坐标为.
(3)∵点坐标为，点坐标为.
∴.
∵为中垂线，∴.
在和中，
，即，
∴，∴，.
设的半径为，与直线和都相切，有两种情况：
①??????当圆心在直线左侧时，连接，，则，
∴，∴四边形为正方形.∴.
在和中，
∴，
∴，∴.
∴，∴.
∴，∴.
∴的坐标为.
②当圆心在直线右侧时，连接，，则四边形为正方形，
∴.
在和中，
∴，即.
∴.
∴，∴.
∴，∴.
∴的坐标为.
综上所述，符合条件的点的坐标是或.
(4)存在.，，.
8、
9、
10、【解析】??求解体验
??????????(1)把(-1,0)代入?得
?????????????∴???
?????????????∴顶点坐标是(-2,1)
?????????????∵(-2,1)关于(0,1)的对称点是(2,1)
?????????????∴成中心对称的抛物线表达式是：
????????????????
?????????????即????(如右图)????
?????????
?????????
??????????抽象感悟
??????????(2)∵
??????????????????
??????????????∴顶点是（-1,6）
??????????????∵(-1,6)关于的对称点是
??????????????∴
??????????????∵两抛物线有交点
??????????????∴有解
??????????????∴?有解
??????????????∴
??????????????∴?????????????(如右图)????
问题解决
(3)①?∵=
???????∴顶点（-1，）
??????????代入?得：
?????????????????????①
???????∵?
???????∴顶点（1，）
??????????代入?得：
??????????????????????②
???????????由①②得
???????∵?,
???????∴
???????∴两顶点坐标分别是（-1,0），（1,12）
??????????由中点坐标公式得
??????????“衍生中心”的坐标是（0,6）????????????????????????????????
???②如图，设?,?…??,?与轴分别相于?,?…??,?.
????????????则?,,…，?分别关于?,?…?,?中心对称.
????????????∴?,?…??分别是△?,?…?的中位线，
????????????∴?，?…?
????????????∵?,
????????????∴?]??????
11、
12、解：（1）将点B和点C的坐标代入,
???得，??解得?，．
∴该二次函数的表达式为．?????????????????????????????3分?
（2）若四边形POP′C是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上；??????????4分
???如图，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵C（0，3），
?∴E（0，）,
∴点P的纵坐标等于．
∴,
?解得，（不合题意，舍去），????????????????????6分
?∴点P的坐标为（，）．????????????????????????????????????7分
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
????设P（m，），设直线BC的表达式为，
????则,??解得.
????∴直线BC的表达式为．
????∴Q点的坐标为（m，），
???∴.??
????当，
????解得，
????∴AO=1，AB=4，
????∴S四边形ABPC=S△ABC+S△CPQ+S△BPQ
???????????????=
???????????????=
???????????????=．??????????????????????????????????????9分
?????当时，四边形ABPC的面积最大．
?????此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．??????10分
13、【解答】作BE⊥CD，AF⊥BE，AM⊥CD
易证△BEC∽△BFA?
∴
∵BC=2AC，A（，m）
∴BE=2
C（2，2k-1）
又∵
易得AC=
∵AC=CD，∴=2k-1
所以得到k=
（3）设?A（，5）
??h×（h-5）=（）×
h=7??
?
5a+7=5??a=?即
14、【解答】（1）作A1H⊥AB，
??????????且得Sin∠A1BH=1/2
????????∴∠A1BH=30°，∴∠DBD1=30°
??????∴点D的运动轨迹为
（2）易证△BCE∽△BA2D2
?∴=
?∴CE=
AC=
∴?BH=AC==
=
=
设
1-t=6
解得t=
∴
15、（1）∵，，，
∴，，
∴，，，
∴.
∴.
（2）猜想：，理由如下：
过点作的平行线交的延长线于点，
则，
∵，
∴，
又，
∴，∴.
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴.
（3）①设，
∵，，
∴，
又，即，
∴，即.
②延长至，使，连结，
∵，.
∴，
∵，∴，
∴，
而，
∴.
∴，
∴.∵，，，
∴，
∴.
16、解:(1)由题意知，
，
解得，
所以,抛物线y的解析式为；
因为抛物线平移后得到抛物线,且顶点为，
所以抛物线的解析式为，
即；
(2)抛物线的对称轴为,设,已知，
过点作轴于,则
，
，
，
当时，
即，
解得或；
当时,得，无解；
当时,得,解得;
综上可知,在抛物线的对称轴上存在点使是等腰三角形,此时点的坐标为,,.
(3)设,
则,
因为关于对称,
所以,
情况一:当点在直线的左侧时,
,
,
又因为以构成的三角形与全等,
当且时,,
可求得,即点与点重合
所以,
设的解析式,
则有
解得,
即的解析式为,
当且时,无解,
情况二:当点在直线右侧时,
,
,
同理可得
的解析式为,
综上所述,的解析式为或.
17、解:(1)①在中,,直线垂直平分,
，
又,
，
，
，
，
，
，
根据平移的性质,,连结，
．
②连结交直线于点,连结，
直线垂直平分,
，
，
在中,，
，
即，
周长的最小值为9．
(2)，
，
，
过点作,分别交于点,交于点,
当点在线段上时，
在中,
，
，
，
，
，
，
同理可得,当点在线段上时,．
综上可得,的长为或．
18、解：（1）把点、点代入得
所以
因为，过点、点，所以
解得：
所以
(2）如图2，∵△和△为等直角三角形
∴
∴
∴△为直角三角形
令，解得：
∴
设，则
???
∴
=
=
∴当，即时，最大，此时,所以
（3）存在点坐标为或.
19、解：（1）
（2）四边形是菱形.
理由如下：
四边形是矩形
∴
∴
由折叠得：
∴
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形．
（3）图④中的黄金矩形有矩形、矩形
以黄金矩形为例，理由如下:
∵
∴,又∵.
∴.
故矩形是黄金矩形．
实际操作:
（1）如图，在矩形上添加线段，使四边形为正方形，此时四边形
为所要作的黄金矩形长,宽
20、解：（1），，：，：.
（2）①若点在轴的上方，且时，则与抛物线的交点即为所求的点，设直线的解析式为：.
∴，解得，∴直线的解析式为：.
联立，解得或，∴；
若点在轴的下方，且时，则直线关于轴对称的直线与抛物线的交点即为所求的点.
设直线的解析式为：.
∴，解得，
∴直线的解析式为：.
联立，解得或，
∴；
∴符合条件的点的坐标为或.
②设直线的解析式为：，
∴，解得，∴直线的解析式为：，
过点作于点，则，
∴，
，，
，
当时，的最大值为21.
∵，当时，；
当时，；
当时，的取值范围是.
21、（1）解：∵点A、B在抛物线上，∴，解得：∴抛物线解析式为：y=x-x.（2）解：设P（x，y），∵A（，-3），∴C（0，-3），D（x,-3）,∴PD=y+3，CO=3，AD=x-，AC=，①当△ADP∽△ACO时，∴=，∴=∴y=x-6，又∵P在抛物线上，∴，∴x-5x+12=0，∴（x-4）（x-）=0,∴x=4,x=，∴或,∵A（，-3），∴P（4,6）.②当△PDA∽△ACO时，∴=，∴=，∴y=x-4,又∵P在抛物线上，∴，∴x-11x+8=0，∴（x-8）（x-）=0,∴x=,x=，解得：或,∵A（，-3），∴P（,-）.综上，P点坐标为（4,6）或（,-）.（3）解：∵A，∴AC=,OC=3，∴OA=2,∴=·OC·AC=·OA·h=，∴h=，又∵=，∴△AOQ边OA上的高=3h=,过O作OM⊥OA,截取OM=，过点M作MN∥OA交y轴于点N，过M作HM⊥x轴,（如图），∵AC=,OA=2,∴∠AOC==30°，又∵MN∥OA，∴∠MNO=∠AOC=30°，OM⊥MN，∴ON=2OM=9，∠NOM=60°，即N（0,9），∴∠MOB=30°，∴MH=OM=,∴OH==,∴M（，），设直线MN解析式为：y=kx+b，∴，∴∴直线MN解析式为：y=-x+9，∴，∴x-x-18=0,（x-3）（x+2）=0,∴x=3,x=-2，∴或，∴Q点坐标（3，0）或（-2，15），∴抛物线上是否存在点Q，使得.?
【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，含30度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用??
【解析】【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式得到一个二元一次方程方程组，解之即可得抛物线解析式.（2）设P（x，y），根据点的坐标性质结合题意可得PD=y+3，CO=3，AD=x-，AC=，分情况讨论：①当△ADP∽△ACO时，根据相似三角形的性质得=，代入数值可得y=x-6，又P在抛物线上，联立解一个二元一次方程组得点P坐标（4,6）.②当△PDA∽△ACO时，根据相似三角形的性质得=，代入数值可得y=x-4,又P在抛物线上，联立解一个二元一次方程组得点P坐标P（,-）.（3）根据点A坐标得AC=,OC=3，由勾股定理得OA=2,根据三角形面积公式可得△AOC边OA上的高h=，又=得△AOQ边OA上的高为；过O作OM⊥OA,截取OM=，过点M作MN∥OA交y轴于点N，过M作HM⊥x轴,（如图），根据直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半，从而求出N（0,9），在Rt△MOH中，根据直角三角形性质和勾股定理得M（，）；用待定系数法求出直线MN解析式，再讲直线MN和抛物线解析式联立即可得Q点坐标.
22、解：（1），，：，：.
（2）①若点在轴的上方，且时，则与抛物线的交点即为所求的点，设直线的解析式为：.
∴，解得，∴直线的解析式为：.
联立，解得或，∴；
若点在轴的下方，且时，则直线关于轴对称的直线与抛物线的交点即为所求的点.
设直线的解析式为：.
∴，解得，
∴直线的解析式为：.
联立，解得或，
∴；
∴符合条件的点的坐标为或.
②设直线的解析式为：，
∴，解得，∴直线的解析式为：，
过点作于点，则，
∴，
，，
，
当时，的最大值为21.
∵，当时，；
当时，；
当时，的取值范围是.
23、解：（1），解得
（2）由题意得二次函数解析式为：
∵二次函数与x轴有两个交点
∴
∴
∴
（3）∵，
把带入中得：
∴
把带入中得：
∴
∴
∵F的纵坐标为
∴
过点A作AG⊥DB于G.
根据勾股定理可求出：
∵
∴△ADG∽△AFG
∴
∴
∴
∴
24、解：（1）由题可得：解得，，.
二次函数解析式为：.
（2）作轴，轴，垂足分别为，则.
，，，
，解得，，.
同理，.
，
①（在下方），，
，即，.
，，.
②在上方时，直线与关于对称.
，，.
，，.
综上所述，点坐标为；.
（3）由题意可得：.
，，，即.
，，.
设的中点为，
点有且只有一个，以为直径的圆与轴只有一个交点，且为切点.
轴，为的中点，.
，，，
，即，.
，.
25、解：（1）设抛物线解析式为：.
∵过，∴，∴.
∴.
（2），.直线为.
∵，∴.
①过作交抛物线于，
又∵，∴直线为.
.
解得；.∴.
②设抛物线的对称轴交于点，交轴于点.，∴.
过点作交抛物线于，.
直线为.
∴.
解得；.
∴，.
满足条件的点为，，.
（3）存在满足条件的点，.
如图，过作轴，过作轴交于，过作轴交于.
则与都是等腰直角三角形.
设，，直线为.
∵，∴.
∴.
等腰，∴.
又∵，∴.
如果四边形为正方形，
∴，∴.
∴，∴，.
正方形边长为，∴或.
26、
27、
28、
29、（1）证明：∵M为BD中点
Rt△DCB中，MC=BD
Rt△DEB中，EM=BD
∴MC=ME
（2）∵∠BAC=50°
∴∠ADE=40°
∵CM=MB
∴∠MCB=∠CBM
∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM
同理，∠DME=2∠EBM
∴∠CME=2∠CBA=80°
∴∠EMF=180°-80°=100°
（3）同（2）中理可得∠CBA=45°
∴∠CAB=∠ADE=45°
∵△DAE≌△CEM
∴DE=CM=ME=BD=DM，∠ECM=45°
∴△DEM等边
∴∠EDM=60°
∴∠MBE=30°
∵∠MCB+∠ACE=45°
∠CBM+∠MBE=45°
∴∠ACE=∠MBE=30°
∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°
连接AM，∵AE=EM=MB
∴∠MEB=∠EBM=30°
∠AME=∠MEB=15°
∵∠CME=90°
∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM
∴AC=AM
∵N为CM中点
∴AN⊥CM
∵CM⊥EM
∴AN∥CM
30、解：（1）由题意得(1，3)(3，3）(2，4)
????????????????(0，3)(1，1)
????????????????则
（2）延长，交于点
?(3，3)，(1，1)
????????直线的解析式为:?
????????????设(，)，,则(m，m)
????????????分析可得，当取最大值时，取最大值
?????????????
?????????????????
?????????????当，PN取最大值
?????????????∴(，)，(，)
构造与轴夹角为的直线OM，如图所示
M
? 则，即,
当时，
?????????????????????????
（3）∵OM的解析式为,HM⊥OM,且HM过点H
∴HM的解析式为:
∴(0，3-）?
又∵(0，3)
????????在中，
?????????
?????????(-1，3)
?①以为边,此时(-1，3-)；(5，3)；(-1，3+)；
?????????
②以为对角线，此时(-1，8)
????
【点评】此次二次函数的压轴题与前几年的中考题的考查基本类似.
第(1)问与16、17年的中考第一问略有区别,之前考查的是求一次函数的解析式或者求点的坐标,今年考查的是求线段的长度,虽然题目的问法有所改变,但是题目的难度却降低了
第(2)问的考查从15年开始基本上就没有变化,考查的都是双最值的问题.前半部分求面积的最大值要把它转化成求线段的最大值.后半部分为三条线段和最小问题,相对前两年考查方向一致,不过,其中一条线段的长度前面带有系数.求解过程中,若可以想到利用点到直线的距离公式求线段长,则计算会简化很多.
第(3)问持续考查特殊图形的存在性问题(今年考查菱形的存在性问题),学生要学会从已知的线段为边或对角线两种情况进行讨论.
整体来说成绩较好的学生本题可以拿到8-10分.
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31、解答：(1)
(2)
32、解答：(1)第一问易得：
?(2)与轴相切就是与轴只有一个交点
有相等的实数根，即
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(3)
33、
34、
35、
36、
37、
38、
39、
40、
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