专题56立体几何空间点、线、面的位置关系
【考点讲解】
具本目标：
1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；
2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
二、知识概述：
1.平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2.空间两直线的位置关系
直线与直线的位置关系的分类
直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3.异面直线所成的角
异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．
②范围：.
4.异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．
【真题分析】
1.【2016高考浙江文数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
【解析】由题意知，．故选C．
【答案】C
2.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（）
A．B．
C．D．
【解析】本题考点是线面平行的判断问题，由题意可知：第二个选项中∥，在直线∥平面，第三个选项同样可得∥，直线∥平面，第四个选项有∥，直线∥平面，只有选项A不符合要求
【答案】A
3．【2017课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（）
A． B． C． D．
【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若
，那么，很显然不成立；B.若，那么，显然不成立；C.若，那么，成立，反过来时，也能推出,所以C成立，D.若，则，显然不成立，故选C.
【答案】C
4.【2018年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）
A.B.C.D.
【解析】利用正方体的性质可∥，将异面直线与所成角转化为共面直线与所成角的正切值，在中进行计算就可以了.
在正方体中有∥，所以异面直线与所成角为，设正方体的边长为，因为为棱的中点，所以有，，.
【答案】C
5.【2017课标II，理10】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【解析】将直三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成的角为，由题意可知，，，因此
【答案】C
6.【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△，直线AC与所成角的余弦的最大值是______．
【解析】设直线与所成角为．设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，，，作于，翻折过程中，始终与垂直，，则，，因此可设，则，与平行的单位向量为，
所以＝，所以时，取最大值．
【答案】
7.【2017天津，文17】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.
（I）求异面直线与所成角的余弦值；
（II）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
【分析】
（Ⅰ）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，，所以即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明，所以；（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，做，连结,即为所求.
【解析】（Ⅰ）解：如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.
【模拟考场】
1．空间中，可以确定一个平面的条件是（）
A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形D．三个点
【解析】不共线的三点确定一个平面，C正确；A选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D选项，不共线的三点确定一个平面.
【答案】C
2.在三棱锥A－BCD的棱AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩HG＝P，则点P（）
A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上，也不在直线BD上
【解析】如图所示，∵EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD.又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，
故选B.
【答案】B
3.已知平面α和直线l，则在平面α内至少有一条直线与直线l()
A.平行 B.垂直C.相交 D.以上都有可能
【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线l与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l平行，故A错误；若直线l∥平面α，则在平面α内不存在直线与l相交，故C错误；对于直线l与平面α相交，直线l与平面α平行，直线l在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，故选B.
【答案】B
4.不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且Aα，给出以下三个命题：①△ABC中至少
有一条边平行于α；②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.
【解析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，如图，三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.
【答案】①
5.如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为（）
A．B．C．D．
【解析】设，则，过作交于，则，过作交于
，则即为为所求，如图所示，过作交于，连接，则四边形是梯
形，其中，，过作交于，则
，在中，则
，所以，故选A.
【答案】A
6.已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.
(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，可得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
7.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM＝AN＝1.
（1）证明：M，N，C，D1四点共面；
（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.
【解析】本题考点是多点共面的证明，平面分几何体的体积之比.
（1）证明：连接A1B，
在四边形A1BCD1中，A1D1∥BC且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1B∥D1C.
在△ABA1中，AM＝AN＝1，AA1＝AB＝3，所以，
所以MN∥A1B，所以MN∥D1C.所以M，N，C，D1四点共面.
（2）记平面MNCD1将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，连接D1A，D1N，DN，则几何体D1－AMN，D1－ADN，D1－CDN均为三棱锥，
所以V1＝＝S△AMN·D1A1＋S△ADN·D1D＋S△CDN·D1D
＝××3＋××3＋××3＝.
从而V2＝－V1＝27－＝，所以，
所以平面MNCD1分此正方体的两部分体积的比为.
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