专题55立体几何空间几何体的表面积和体积
【考点讲解】
具本目标：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.
二、知识概述：
1.体积公式：
柱体：，圆柱体：。
斜棱柱体积：（其中，是直截面面积，是侧棱长）；
锥体：，圆锥体：,台体：
圆台体：,球体：。
正方体的体积；正方体的体积.
2.侧面积：
直棱柱侧面积：，斜棱柱侧面积：；
正棱锥侧面积：，正棱台侧面积：；
圆柱侧面积：，圆锥侧面积：，
圆台侧面积：，球的表面积：。
3.几个基本公式：
弧长公式：（是圆心角的弧度数，>0）；扇形面积公式：；
圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：；
圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：；
球面上两点间的距离公式：。
4.几何体的表面积：
圆柱的表面积；圆锥的表面积；圆台的表面积
球体的表面积.
柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
【温馨提示】1.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
3.（1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
4.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.
【常考题型】以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
【真题分析】
1.【2015高考课标2】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=900,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC
体积的最大值为36，则球O的表面积为()
A．36πB.64πC.144πD.256π
【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥
的体积最大，设球的半径为，此时，
故，则球的表面积为，故选C．
【答案】C
2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A.B.C.D.
【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.
【答案】C
3.【2016高考新课标3】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
A.B.C.90D.81
【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积是：，故选B．
【答案】B
4.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）
A． B． C． D．
【解析】本题的考点是根据三视图还原立体图形后求体积的问题，由三视图可知，原立体图形是一个组合体，是圆锥的一半与一个三棱锥的组合，圆锥的底面半径是1，三棱锥的底面是以2为底边的等腰直角三角形，两锥体的高是3.体积为.
【答案】A
5.【2017山东，理13】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为.
【解析】由三视图可知长方体的长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径是，高也为1.长方体的体积为，圆柱一半的体积为：.几体的体积为：
【答案】
6.【2018年天津卷】已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为__________.
【解析】根据题中给出的条件，要求四棱锥的体积，首先要求出四棱锥的底面积，然后求出四棱锥的高.
观察图形可得底面四边形是边长为的正方形，面积为.顶点到底面四边形的距离为，所以四棱锥的体积为.
【答案】
7．【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
【解析】先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.
由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为.
【答案】
8．【2018年全国卷II】已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
【解析】本题先要根据三角形的面积公式求出母线的长，再根据母线与底面所成角求出圆锥的底面半径，最后求出圆锥的侧面积.由母线所成角的余弦值为，可求得母线所成角的正弦值，由的面积为，设母线的长为，可知，由三角形的面积公式可得，所以可得，又因为与圆锥底面所成角为45°，
底面半径为，圆锥的侧面积为.
【答案】
【模拟考场】
1.【2015高考新课标2】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()
A．B．C．D．
【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D．
【答案】D
2.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）
A． B． C． D．
【解析】因底面边长为,故底面中心到顶点的距离是,即球的截面圆的半径为,所以,其表面积为,故应选B.
【答案】B
3.【2015高考课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20，则r=（）
A.1B.2C.4D.8
【解析】由正视图与俯视图可以看出，此几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱与球的半径都是，圆柱的高为2，表面积为.可得.
【答案】B
4.【原题】（必修2第28页习题1.3第3题）如图将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比。
【解析】由题可设长方体的长、宽、高分别为；a,b,c.
则，而长方体体积为；
剩下几何体体积为；，则；
【原题解读】本题以最为熟悉的几何体长方体为背景，进行截取并求体积。可采用
分解的思想，即求出长方体和三棱锥的体积，而剩下体积可减出。从而求出体积比。体现了基本运算能力、空间想象能力和分解与组合的思想。
5.【原题】（必修2第37复习参考题B组2）一个长、宽、高分别是80cm、60cm、55cm的水槽中有水200000.线放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？
【解析】水槽的容积V=80×60×55=264000(cm3)，
木球的体积，，
∴水不会从水槽中流出．
【原题解读】本题以物理中漂浮现象为背景，需要我们分析出利用体积，即水槽中水的体积加球体水中部
分的体积之和与长方体体积比较，来解答。体现了数学建模能力和应用意识与运算能力。同时可延伸拓展
为球体与多面体内接域外切问题.
6.一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在这容器内注入水并且放入一个半径为的铁球,这时水面恰好和球面相切,问将圆锥内的铁球取出后,圆锥内水面的高是多少?分析:欲求取出后圆锥内水面的高度为,先求出因为
【解析】设球未取出高PC=h,球取出后水面高PH=x
球取出后水面下降到EF,水的体积为
而即
所以球取出后水面的高为.
7.
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
【解析】由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD;(1)
(2)该四棱锥有两个侧面VAD.VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为,
另两个侧面VAB.VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为.
因此.8.【原题】（必修2第29习题1.3B组1）如图是一个奖杯的三视图，是根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积（尺寸如图，单位：cm，π取3.14，结果分别精确到1cm2，1cm3，可用计算器）。
【解析】由三视图画出奖杯的草图如图可知，
可知球的直径为4cm，则球的半径R为2cm，
所以球的表面积和体积分别为：
S球=4π=4π?22=16π（），V球=43πR3=43π?23=323π（）．
而四棱柱（长方体）的长为8cm，宽为4cm，高为20cm，
所以四棱柱（长方体）的表面积和体积分别为：
S四棱柱=（8×4+4×20+8×20）×2=272×2=544，V四棱柱=8×4×20=640。
该四棱台的高为2cm，上底面为一个边长为12cm的正方形，下底面为边长为20cm的正方形．四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上、下底面面积的总和．所以关键的是求出四棱台四个侧面的面积，我们先求出四棱台ABCD面上的斜高，过点A作AE⊥CD，AO垂直底面于点O，连接OE，已知AO=2cm，则AE为四棱台ABCD面上的斜高：∴AE=20-1222+22=25cm，所以四棱台的表面积和体积分别为：
S四棱台=S四棱台侧+S上底+S下底=4×12+202×25+12×12+20×20=（1285+544），
V四棱台=1312×12+12×12+20×20+20×20×2=23544+434．
表面积是表示几何体表面的大小；体积是几何体占空间的大小．所以分别将球体、四棱柱和四棱台的表面积相加不是奖杯的表面积．应将相加起来的和减去四棱柱的两个底面面积才是奖杯的表面积：
∴奖杯的表面积S=S球+S四棱柱+S四棱台-2×S四棱柱底面=16π+544+1285+544-2×（4×8）=16π+1024+1285≈1360，
奖杯的体积V=V球+V四棱柱+V四棱台=323π+640+23434+544≈1052．
【原题解读】：本题在考察三视图的同时，进而要求计算常见几何体的体积和表面积，而题中几何体由常见几何体组合而成，可采用分解的思想，化为基本几何体体积和表面积的和来计算。注意算表面积时，几何体接触部分需减去。
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