专题54立体几何空间几何体的三视图
【考点讲解】
具本目标：
①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。
②会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
③会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.
二、知识概述：
1.空间几何体的直观图
简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面：
在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
(2)画几何体的高：
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
2.空间几何体的三视图
三视图：几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
3.三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别.揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.
4.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．
在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．
三、备考策略：
1.以考查三视图、几何体的结构特征以及几何体的面积体积计算为主，三视图基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；几何体的结构特征往往在解答题中考查，与平行关系、垂直关系等相结合.
2.与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用的.
3.备考重点：
(1)掌握三视图与直观图的相互转换方法是关键；(2)掌握常见几何体的结构特征.
四、常考题型：三视图是高考重点考查的内容，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力，期间需要灵活应用几何体的结构特征．
【真题分析】
1.【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A.2B.4C.6D.8
【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.
根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.
【答案】C
2.【2018年理新课标I卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径
中，最短路径的长度为（）
A.B.C.3D.2
【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.
根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.
【答案】B
3.【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）
A.1B.2C.3D.4
【解析】将三视图还原几何体，将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，利用勾股定理求出此立体图形的各棱长，再利用勾股定理的逆定理判断直角三角形的个数.由题中给出的三视图可得四棱锥为，在四棱锥中，可以得到，由勾股定理求出：
，四棱锥中直角三角形有，，共三个，故选C.
【答案】C
4.【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）
A.AB.BC.CD.D
【解析】分析：观察图形可得。观擦图形图可知，俯视图为，故答案为A.
【答案】A
5.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A.60B.30C.20D.10
【解析】本题主要考查的将三视图还原成几何体后求体积的问题。该几何体是三棱锥，如图：
图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是，故选D.
【答案】D
6.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组
成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积
之和为（）
A．10 B．12 C．14 D．16
【解析】由题意可得这个几何体的直观图是由一个三棱锥与三棱柱组成的，如图所示，这个向何体的平面内只有两个相同的梯形的面，所含梯形的面积的和为.
【答案】B
7.【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）
B．C．D．
【解析】由题意可得这个几何本是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，体积为，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，体积为，所以这个几何体的体积为.
【答案】B
8.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是()
A． B． C． D．
【解析】本题的考点是根据三视图还原立体图形后求体积的问题，由三视图可知，原立体图形是一个组合体，是圆锥的一半与一个三棱锥的组合，圆锥的底面半径是1，三棱锥的底面是以2为底边的等腰直角三角形，两锥体的高是3.体积为.
【答案】A
9.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）
A．3B.2C.2D.2
【解析】由题意可知，结合三视图可还原的几何体是一个四棱锥，图中可看出最长的棱为正方体的体对角线，所以长度为.
【答案】B
【模拟考场】
1.在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为()
【解析】由几何体的主视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体，故其左视图应为D.
【答案】D
2.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()．
【解析】A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.
【答案】D
3.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体的表面积及体积为（）
A.，B.，
C.，D.以上都不正确
【解析】此几何体是个圆锥，，.
【答案】A
4.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）
A.①②B.①③C.①④D.②④
【解析】试题分析：②中正视图和侧视图相同，④中正视图和侧视图相同，可得②④正确，故选D.
【答案】D
5.【新课标全国卷Ⅱ】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()
【解析】在空间直角坐标系O－xyz中画出三棱锥，由已知可知三棱锥O－ABC为题中所描叙的四面体，而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO，故选A.
【答案】A
6.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是
形.
【解析】将直观图还原原平面图形为图2，可求原图中的长度
,,，可得原图形是菱形.
【答案】菱形
7.水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知则边上的中
线的实际长度为_______.
【解析】由于在直观图中，则在原图形中
,AC=3,BC=4,斜边＝5，故斜边上的中长为2.5.
【答案】2.5.
8.小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图1所示，他发现自己的影子的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两灯之间的距离为10m（两路灯高度是一样的）.
求：（1）路灯的高度
（2）当小迪走到B路灯下他在A灯下的身影有多长？
【解析】如图2所示，设A,B为两路灯，小迪从MN移动到PQ，
并设C、D分别为A、B的底部。
由题中已知得MN=PQ=1.6m，NQ＝5m,CD=10m,
(1)设CN=x，则OD＝5-x，路灯高BD为h
∽,
即①
又∽,即
②
由①②得.即路灯高为6.4m
（2）当小迪移到BD所在线上（设为DH），连AH交地面于E，则DE长即为所求的影长。
∽
解得.
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