2019年高考数学(文)高频考点揭秘与仿真测试 (37)

专题52不等式基本不等式2

【考点讲解】

一、具本目标：基本不等式：.

（1）了解基本不等式的证明过程.

（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.

考点剖析：利用基本不等式求函数的最值.备考重点：含参数的不等式恒成立问题.基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．

二、知识概述：

基本不等式

1.如果，那么（当且仅当时取等号“=”）（）.

2.如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.（，.

.

【方法提示】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

注意：形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．

1）在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．

（2)多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．

4.利用基本不等式解决实际问题时的一般步骤为：

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

，当且仅当时取等号；（2），，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.

【答案】A

若直线2ax＋by－2＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则＋的最小值是()

A．2－B.－1

．3＋2D．3－2

(1,2)在直线2ax＋by－2＝0上，a＋b＝1，

＋＝·(a＋b)＝3＋＋≥3＋2.＝，a＝2－，b＝－1

【答案】C

若ab>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点共线，求ab的最小值．

4.某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

m＝0，x＝1()，

∴1＝3k?k＝2，∴x＝3，

1.5×(元)，∴2016y＝1.5x×8－16x－m

＝[＋(m＋1)]＋29(m≥0)．



中，角对的边分别为,．

（1）当成等差数列时，求的面积；

（2）设为边的中点，求线段长的最小值．

【解析】（1）因为成等差数列，所以，

由余弦定理，得，解得，

从而.

（2）方法一：因为为边的中点，所以，

则



，

当且仅当时取等号，所以线段长的最小值为.

方法二：因为为边的中点，所以可设，

由，得，

即，

又因为，

即，所以，

故，当且仅当时取等号，

所以线段长的最小值为.

6.已知函数

（1）当时,求函数的最小值及相应的的值；

（2）,求实数的取值范围.

【解析】（1）当时,

,

当且仅当,即时,取得最小值0.