专题17导数及其应用导数的应用1（函数的单调性、极值、最值）
具本目标：
导数在研究函数中的应用①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间对多项式函数一般不超过三次。
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值对多项式函数一般不超过三次2.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题问题1)熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；
(2)熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.
二、知识概述：
一）函数的单调性：
1.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果，则函数y=f(x)为增函数；如果f''(x)<0，则函数y＝f(x)f''(x)＝0，y=f(x)为常函数.
2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．
3.f(x)在区间I上可导，那么是f(x)为增函数的充分条件，例如f(x)=x3是定义于R的增函数，
但f''(0)=0，这说明f''(x)>0非必要条件．为增函数，一定可以推出，但反之不一定．
4.讨论可导函数的单调性的步骤：
（1）确定的定义域；
（2）求，令，解方程求分界点；
（3）用分界点将定义域分成若干个开区间；
（4）判断在每个开区间内的符号，即可确定的单调性.
5.我们也可利用导数来证明一些不等式．如f(x)、g(x)[a、b](a，b)h(x)＝f(x)－g(x)h(x)也在[a，b](a，b)x∈(a，b)h''(x)>0且h(a)≥0，则当x∈(a，b)h(x)>h(a)=0，从而f(x)>g(x)对所有x∈(a，b)函数的
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
函数的
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
2017·鸡西模拟函数的单调递增区间是()
A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)
【答案】D
的导函数为，令，则有，解得，所以函数的单调递增区间为
【答案】
2.【优选题】已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
，
因为函数在上是减函数，在上在上在上，当且仅当是取等号，所以，故选C．
【答案】C
【变式】若在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()
A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－1)
【答案】C
函数的极小值点，则=()
A.-4B.-2C.4D.2
【解析】本题考点是函数导数与极值.
，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故极小值为，由已知得，故选D.
【答案】D
4.【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（）
A.B.C.D.1
【解析】求导可得，
整理得：，因为是函数的极值点，可得，有，导函数为.
令，解得，所以在单调递增，令，解得，所以在单调递减，所以的极小值为.
【答案】A
的前项的和为，则的极大值为（）
A．2B．3C．D．
所以函数为，求得导函数为.
令可得的单调递增区间为和，令可得的单调递减区间为，所以函数在处取得极大值.
【答案】D
【优选题】若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
，令，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在取得最小值为，又因为函数在和解得，所以的取值范围为.
【答案】C
5.设函数，则是()
A.奇函数，且在（0,1）上是增函数B.奇函数，且在（0,1）上是减函数
C.偶函数，且在（0,1）上是增函数D.偶函数，且在（0,1）上是减函数
【解析】，函数的定义域为（-1，1），所以函数是奇函数．
，在（0,1）上，
所以在(0,1)上单调递增，故选A.
【答案】
6.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】D
7.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是(）
A． B． C． D．
【解析】因为函数有两个极值点，由.所以有两个不同的正实数根，令，所以.
令所以（小于零不成立）.所以可得，解得.综上所以.故选B.
【答案】B
,若是的一个极大值点,则实数的取值范围为．
【解析】因,
即,
由题设条件及导函数的图象可以推知方程的两根在的两边,
即,也即,所以.
【答案】
9.设函数，其中.讨论函数极值点的个数，并说明理由；
当时，，在恒成立，所以函数在上单调递增无极值；
时，
①当时，，，所以，函数在上单调递增无极值；
②当时，.设方程的两根为
因为，所以，.
由可得：
所以，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
因此函数有两个极值点．
当时，，由可得：；
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减；
因此函数有一个极值点.
综上：当时，函数在上有唯一极值点；
当时，函数在上无极值点；
当时，函数在上有两个极值点
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