专题24三角函数的图象和性质1（正弦型）
【考点讲解】1.能画出的图象；
了解三角函数的周期性.理解正弦函数在区间的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等）.
一、具本目标：1.会用“五点法”作图；
2.备考重点：(掌握正弦函数及正弦型函数的图象；掌握正弦函数及正弦型函数的周期性、单调性、对称性以及最值.
二、知识概述：
1.正弦函数的图象与性质：性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当时，． 周期性 奇偶性 ,奇函数 单调性 在上是增函数；在上是减函数． 对称性 对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。
的图象，先列表，令，求出对应的的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
4.近几年高考在考查三角恒等变换的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，常常把恒等变换与图象和性质相结合来考查.三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度为中低档，对基础知识与基本技能加强了考查的力度，分值分配合理，更重视细节给分，其中对函数的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期，注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移.
5.确定函数当时函数的单调性：对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.
的单调区间的步骤：化为正．(2)将看成一个整体，由三角函数
的单调性求解．
【】解答三角函数的问题时，不要漏了“”.∪”联结．求解三角函数的单调区间时若的系数为负应先化为正，同时切记不要
6.确定函数的对称性时，先将函数化成的形式再求解．，图象与直线的交点是图象的对称中心,所以要记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想，就可经求出三角函数的．7.对于函数的奇偶性判断：如果为偶函数，就有;
如果为奇函数，就有.
求的周期的方法（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；
（2）公式法：使用此法时先将函数转化为的形式，最小正周期是.
(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；
(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定.如的周期都是,但的周期为，而，的周期不变.
2.使用周期公式，或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值。
在函数的图象平移变换中要注意人“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，向左平移个单位得的图象．
【真题分析】1.【2017山东，文7】函数最小正周期为（）
B.C.D.
【答案】C
【变式】【2017课标II，文3】函数的最小正周期为（）B.C.D.
【解析】由题意可知函数的.
【答案】C
2.【2018年天津卷的图象向右平移个单位长度，上单调递增B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减
【解析】本题考点三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，考查学生的转化能力和计算求解能力.本题可先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间完成题的要求.由函数图象平移
变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：也就是.可以求出函数的单调递增区间，，，.同理可以求出函数的单调递减区间，，，，所以正确的选项是A选项.
【答案】A
3.【2018届江西省六校高三上学期第五次联考】是偶函数的充要条件是（）
A.B.
C.D.
【答案】C
4.【2017天津，文理】设函数，，其中，.若，
，的最小正周期大于，
A.， B， C， D.，，这里，所以有，由题中的条件可知，函数的最小正周期大于，也就是，所以有当时，，可得，由题中的条件，得到.
【答案】
9.【2017北京，文16】已知函数.（I）f(x)的最小正周期；
（II）求证：当时，．
（本题满分14分）已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sinxcosx（xR）．
（）求的值．
（）求的最小正周期及单调递增区间．
【解析】（）法一：直接求值：
法二：此法可为第二个问题提供便利，将原函数化简：f（x）=sin2x–cos2x–sinxcosx
【模拟考场】
1.若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）
AB.
C.D.
【解析】：由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选【答案】B
为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度
【解析】
试题分析：，所以只需把的图象上所有的点向左平移个单位.
【答案】A
将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）
A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增
【答案】B
将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（）
A.B.C.D.
【解析】
试题分析：向右平移个单位后，得到，
又，
∴不妨，，，
又，
，故选D.
【答案】D.
【2017课标3，文6】函数的最大值为（）
A． B．1 C． D．
【答案】A
6.【2015高考福建，理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.
(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．
（1)求实数m的取值范围；
（2)证明：
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（1）；（2）详见解析．
(2)1)
（其中）
依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是.
2)因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，.
当时，
当时,
所以
解法二：(1)同解法一.
(2)1)同解法一.
2)因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，.
当时，
当时,
所以
于是
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