专题03函数与导数大题部分
【训练目标】
理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法；
掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题；
掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式；
掌握指数函数和对数函数的图像与性质；
掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系；
熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用；
熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题；
理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取值范围；
会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。
【温馨小提示】
本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。
【名校试题荟萃】
1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数
（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）试讨论函数在区间上最大值；
（3）若时，函数恰有两个零点，求证：
【答案】（1）（2）（3）见解析
【解析】（1）由，，由于函数在处的切线与直线平行，故，解得。
（2），由时，；时，，所以
①当时，在上单调递减，故在上的最大值为；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，故在上的最大值为
；
又，，故成立。
2、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若有两个不相等的实数根，求证
【答案】
（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）略
【解析】（I）
当时，恒成立，所以在上单调递增.
当时，解得解得
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增.
当时，在上单调递减，在上单调递增.
而
令
所以在单调递增.
3、（山东省新泰二中2019届高三上学期12月月考数学（理）试卷）已知函数,
（1）讨论函数的单调性;
（2）当时,函数在是否存在零点?如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）不存在零点
【解析】（Ⅰ）函数的定义域为,
=
（2）时，方程有两解或
①当时，
∴时，，在、上单调递减.
时，，单调递增.
②当时，令，得或
当时,时恒成立,上单调递增;
（ⅱ）当时,
∴时，，在、上单调递增.
时，，单调递减。
（ⅲ）当时，
∴时，，在、上单调递增.
时，，单调递减.
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时,上单调递增；
当时,的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由（1）可知当时，的单调递增区间为，单调递减区间为,在处取得极大值也是最大值。
等价于
，，令得，所以
，所以先增后减，在处取最大值0，所以．
所以进而,所以
即,。
又所以函数在不存在零点．
4、（山东省新泰二中2019届高三上学期12月月考数学（理）试卷）设,
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.a＞－时，在上存在单调递增区间；
（2）
【解析】
（1），由题意得，在上能成立，只要
即，即＋2a＞0，得a＞－，所以，当a＞－时，在上存在单调递增区间.
（2）0＜a＜2，在[1，4]上取到最小值－，而的图象开口向下，且对称轴x＝，∵f′（1）1＋1＋2a＝2a＞0，f′（4）16＋4＋2a＝2a－12＜0，则必有一点x0∈[1，4]，使得f′（x0）0，此时函数f（x）[1，x0]上单调递增，在[x0，4]上单调递减，
∵f（1）＋＋2a＝＋2a＞0，∴f（4）×64＋×16＋8a＝－＋8a＝－?a＝1.此时，由?或－1（）f（x）maxf（2）.
5、（辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题）已知函数．
（1）确定函数在定义域上的单调性；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
在上单调递增，在上单调递减；
（2）
（2）由在上恒成立得：在上恒成立．
整理得：在上恒成立．
令，易知，当时，在上恒成立不可能，
∴，又，，
（i）当时，，
又在上单调递减，
∴在上恒成立，则在上单调递减，
又，∴在上恒成立．
又，∴在上恒成立，
∴在上恒成立不可能．综上所述，．
6、（湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2019届高三12月联考数学（理）试题）已知函数.
（Ⅰ）当时，求在区间的最大值；
（Ⅱ）若函数有两个极值点,求证.
【答案】（1）当时，的最大值为，当时，的最大值为
（2）略
【解析】（Ⅰ）由已知得的定义域为,，
当时,，在上单调递增,的最大值为.
当时,在上单调递增,在单调递减，
的最大值为.
综上，当时，的最大值为，
当时，的最大值为.
设,其中,
由得,由于，
∴在上单调递增,在上单调递减,
即的最大值为，
从而成立.
7、（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三12月月考数学（理）试题）已知，.
（1）当时，求证：；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）设，，由故增且，所以，在上递增，所以
（2）即<0，，则，，
所以在上单调递增，
（ⅰ）当时，在上为单调递增函数，故，
所以：
当时，恒成立，不合题意
综上所述：
8、（河北省承德市第一中学2019届高三上学期第三次月考数学（文）试题）已知函数f（x）＝x2－2lnx.
求f（x）的单调区间；
若在x（0,1]内恒成立，求t的取值范围．
函数f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1）（－∞，1]（1）函数的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝2x－＝，
由f′（x）>0，得x>1，
由f′（x）<0，得0
所以，函数f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1）．
（2）由f（x）≥2tx－对x（0,1]恒成立，得2t≤x＋－
令h（x）＝x＋－，
则h′（x）＝，
x∈（0,1]，x4－3<0，－2x2<0,2x2lnx<0，x4>0，
h′（x）<0，h（x）在（0,1）上为减函数．
当x＝1时，h（x）＝x＋－有最小值2，
得2t≤2，t≤1，
故t的取值范围是（－∞，1]．
9、（吉林省汪清县第六中学2019届高三上学期第二次月考数学（文）试题）已知函数，函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
增区间，减区间
（2），即在上恒成立
设，考虑到，在上为增函数
∵，，
∴当时，在上为增函数，恒成立
当时，，在上为增函数
，在上，，递减，，这时不合题意，
综上所述，（201·兰州调研）设函数f（x）＝x－－a，aR.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a>0时，记f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）<1.
（1）解f（x）的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝1＋－a＝－a
＝，
当a≤0时，f′（x）>0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
当a>0时，当x（0，a），f′（x）<0，f（x）单调递减；
当x（a，＋∞），f′（x）>0，f（x）单调递增.
综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
当a>0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增.
（2）证明由（1）知，f（x）min＝f（a）＝a－－a＝a－alna－，
即g（a）＝a－alna－.
要证g（a）<1，即证a－alna－<1，
即证：lna＋＋－1>0，
令h（a）＝lna＋＋－1，
则只需证h（a）＝lna＋＋－1>0，
h′（a）＝－－＝＝.
当a（0，2）时，h′（a）<0，h（a）单调递减；
当a（2，＋∞）时，h′（a）>0，h（a）单调递增；
所以h（a）min＝h（2）＝ln2＋＋－1＝ln2－>0，
所以h（a）>0，即g（a）<1.
。
若是的极值点，求的值。
已知函数，若在区间（0,1）内有零点，求的取值范围。
【答案】（1）（2）（-）
①当时，
恒成立，单调递减，又
因此函数在区间内没有零点。
②当时，单调递增
时，单调递减
又，因此要使函数在区间内有零点，必有，
所以
解得，舍去
③当时，，，单调递减
又，因此要使函数在区间内有零点，必有，
解得满足条件
综上可得，的取值范围是（-）.
12、（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学（理）试题）已知．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）若有2个不同零点，求的取值范围.
【答案】
（1），；
（2）
，，为减函数,，，为增函数
而，∴当，，使,当时，∴∴，∴
取，∴,∴函数有个零点
当时，,令得，
①，即时,当变化时，变化情况是
∴,∴函数至多有一个零点，不符合题意;
②时，，在单调递增,∴至多有一个零点，不合题意；
③当时，即以时,当变化时，的变化情况是
∴，时,,,∴函数至多有个零点
综上：的取值范围是.
13、（201·广州质检）已知x＝1是f（x）＝2x＋＋lnx的一个极值点.
（1）求函数f（x）的单调递减区间.
（2）设函数g（x）＝f（x）－，若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求a的取值范围.（0，1）[－3，＋∞）.
【解析】（1）f（x）＝2x＋＋lnx，定义域（0，＋∞）.
f′（x）＝2－＋＝.
因为x＝1是f（x）＝2x＋＋lnx的一个极值点，
所以f′（1）＝0，即2－b＋1＝0.
解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.
所以f′（x）＝2－＋＝，
令f′（x）<0，得0
所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）.
所以a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，
所以a≥（－2x2－x）max，x[1，2].
因为在[1，2]上，（－2x2－x）max＝－3，所以a≥－3.
所以a的取值范围是[－3，＋∞）.
已知函数
是偶函数.
（1）求的值；
（2）若函数的图像与直线没有交点，求的取值范围；
（3）若函数，，是否存在实数，使得最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
（2）
（3）0
【解析】（1）∵，即对于任意恒成
立.∴∴∴
∵，∴∴的取值范围是
（3）由题意，令，
∵开口向上，对称轴，
当，即，
当，即，（舍去）
当，即，（舍去）
∴存在得最小值为0.
已知函数,.
求的最大值;
当时,函数,（）有最小值.记的最小值为求函数的值域.
最大值
（2）,由1及得:
①当时,,,单调递减,
当时,取得最小值.
②当,,,
所以存在,且,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以的最小值为.
令,
因为,
所以在单调递减,此时.
综上,.
设和是函数的两个极值点其中．
（I）求的取值范围;
（II）若,求的最大值．
（2）
（Ⅱ）解:当时,.若设,则.
于是有
构造函数（其中）,则.所以在上单调递减,.故的最大值是设集合存在正实数，使得定义域内任意都有．
（1）若，试判断是否为中的元素，并说明理由；
（2）若，且，求的取值范围；
（3）若（），且，求的最小值．
（1）（2）（3）
（3）由,
即：
∴对任意都成立
当时，；
当时，；
当时，.
综上：
湖北省宜昌市（东湖高中、宜都二中）2019届高三12月联考数学（文）知
.
（1）当求函数单调间；
（2）设不等式对任意的成立，求实数取值范围.
时，在定义域递减；时，函数单调递增区间为递减区间为.
（2）
综上所述，时，在定义域递减；时，函数单调递增区间为，递减区间为.
（2）由（1）知当函数区间递减，所以当，
.
问题等价于：对任意的恒有成立，.
因为，则，∴，
设，则当取得最小值
所以，实数取值范围是.2018年荆州中学高三数学测试题已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．
求a的取值范围；证明：．
（2）略
当时，由解得，
即在内为增函数，内为减函数，
故即可，解得
综上可知a的取值范围为；证明：由知：当时，恒成立
上式n个式子相加得：
即
又，．
已知函数f（x）＝＋－x（x）＝2x＋ax为实
（1）求g（x）的单调区间；
（2）当a＝－1时证明：（0）使得y＝f（x）和y＝g（x）的图象在x＝x处的切线互相平行．
（2）当a＝－1时（x）＝－－x（x）＝2－3x
当x0∈（0）使得y＝f（x）和yg（x）的图象在x＝x处的切线互相平行．
即（0）使得f′（x）＝g′（x）且f（x）≠g（x）
令h（x）＝f′（x）－g′（x）＝－－x－2＋3x（0）＝－2<0（1）＝－－2＋3>0
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