第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛部分
复赛部分
决赛第一试
决赛第二试
团体决赛口试
（1）光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米。问：光从太阳到地球要用几分钟（得数保留一位小数）？
[分析]知道距离和速度，求通过全程的时间，这是很容易做的一道题。但是因为给出的数字很大，同学们在大数算术运算时一定要注意计量单位，不然便会出错。
[解法1]将距离单位换为“万千米”，时间单位用“分”。
光速=30万千米／秒=1800万千米／分，
距离=1亿5千万千米=15000万千米，
时间=距离÷速度=15000÷1800
[解法2]如果时间单位用“秒”，最后必须按题目要求换算为“分”．
光速=30万千米／秒，
距离=15000万千米，
时间=15000÷30=500（秒），
8.3分钟。
（2）计算
[分析]这是一道很简单的分数四则运算题，但要在30秒钟内算出正确答案，需要平时养成简捷的思维习惯。同学们可以比较一下后面的两种解法。
[解法1]先求出30，35，63的最小公倍数。30=2×3×5；35=5×7；63=3×3×7；所以公倍数是2×3×3×5×7=630。原式通分，有
2〕
[注]两种解法同样都用到通分和约分的技巧，只有一点小区别：解法2在通分时不急于把公分母算出来，而是边算边约分。这一点小小的不同，却节省了求连乘积的运算，约分也简单些，使计算快了不少哩！
（3）有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83公斤、85公斤和86公斤。问：其中最轻的箱子重多少公斤？
[分析]如果将3个箱子按重量区分为大、中、小，在草稿纸上可以这样写：
83=中+小，
85=大+小，
86=大+中．
这样分析后，便很容易想到简单的解法。
[解法1]（83＋85＋86）是3箱重量之和的2倍，所以小箱重量是
[解法2]（83＋85）=中+大+2×小，所以小箱重量=（83+85-86）×
答：最轻的箱子重41公斤。
[注]我们当然可以用列方程的方法求解这道题，例如设3箱的重量分别是x，y，z，再列出方程。思维过程同上面的分析是一样的，不过速度可能会慢些。
[分析]这一道题，主要是检查同学们将循环小数化成分数的熟练程度。
[解法]
5）将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。
[分析]我们知道，底面半径r、高h的圆柱体表面积是S=2πr2＋2πrh．本题的物体由三个圆柱组成，如果分别求出三个圆柱的表面积，还得注意减去重叠部分的面积，算起来便麻烦多了。但是仔细观察后会发现，向上的三块表面积之和恰好是大圆柱的一个底面面积，这样便想到了简单的解法。
[解法]物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
2×π×1.52＋2×π×1.5×1＋2×π×1×1+2×π×0.5×1
=4.5π+3π＋2π＋π
=10.5π（平方米）
取π值为3，上式等于41.5（平方米）。
答：这个物体的表面积是41.5平方米。
[注]因为三个圆柱的高都是1米，所以求三个圆柱侧面积之和时，还可以再简便些：
2π×（1.5＋1+0.5）＝6π。
中学生学过提取公因子知识，更应该想到这样简化的算法。这小小的简化可以使计算时间缩短几秒钟，这在初赛时可是很有用的哩！
（6）一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？
[分析]顺风跑时的速度等于无风时速度与风速之和，逆风跑时的速度等于它们的差。这样便可以根据题目给出的条件计算无风时的速度，然后再求出解答。
[解法1]
顺风时速度=90÷10=9（米／秒），
逆风时速度=70÷10=7（米／秒），
100米需要100÷8=12.5（秒）．
答：无风时跑100米需要12.5秒。
[解法2]当然也可以列方程求解。
v，或是逆风跑时的速度加上风速v。列出方程
x=12.5（秒），v=8（米／秒）．
[注]比较两种解法，解法1直接快当，解法2表达清楚，但花时间多些。所以在初赛时，列方程求解往往要慢些。
（7）一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米。问：矩形的面积是多少平方厘米？
[分析]考察黄、绿两个三角形，它们的底边都等于矩形的一边，它们的高相加恰好等于矩形的另一边，所以它们的面积之和等于矩形面积的一半。
[解法1]黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50％，而绿色三角形面积占矩形面积的15％，所以黄色三角形面积占矩形面积的50％-15％=35％。已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面积等于21÷35％=60（平方厘米）
[解法2]用记号S黄、S绿和S分别表示黄色三角形、绿色三角形和矩形的面积，根据上面的分析知道
S黄＋S绿=S／2，
或S黄=S／2-S绿．
题目给出
60平方厘米。
（8）有一对紧贴的传动胶轮，每个轮子上都画有一条通过轴心的标志线。主动轮的半径是105厘米，从动轮的半径是90厘米。开始转动时，两个轮子上的标志线在一条直线上。问：主动轮至少转了几转后，两轮的标志线又在一条直线上？
[分析]我们将两轮紧贴的点叫做接触点。通过观察不难看出，当两轮各有一个标志线端点在接触点相遇时，两轮的标志线便会在同一直线上。所以这道题是问：在开始转动后，第一次出现有两个标志线端点同时到达接触点时，主动轮转了多少转？
[解法1]两个传动胶轮的转数与它们的半径成反比，所以
为了叙述方便，用n1和n2分别代表主动轮和从动轮标志线端点通过接触
点，所以
当主动轮标志线第6次通过接触点时，从动轮标志线端点恰好通过接触点7次，这时主动轮转了3转。
[解法2]主动轮标志线两端点间的圆弧长恰是半个圆周，即πR，从动轮标志线两端点间的圆弧长是πr，它们的比是
πR∶πr＝R∶r＝105∶90，
求两个标志线端点同时到达接触点的问题，可以化成求105和90的公倍数问题。它们的公倍数是630，630÷105=6。所以主动轮转了6个半圈，即转了3转。
答：主动轮转了3转。
（9）小明参加了四次语文测验，平均成绩是68分。他想在下一次语文测验后，将五次的平均成绩提高到70分以上，那么，在下次测验中，他至少要得多少分？
[分析]对于这道题，只需知道总分=平均分×次数，便很容易做出来。
[解法1]要想五次测验平均成绩至少70分，那么五次总分至少是70×5=350分。前四次总分是68×4=272分，所以第五次测验至少要得350-272＝78分。
[解法2]要从平均68分提高到至少70分，前四次测验总分少了（70-68）×4=8分。所以第五次至少要得70+8=78分。
答：第五次测验至少要得78分。
[注]比较两种解法，解法2当然要简便些。在初赛和决赛口试时，时间很宝贵。即使是简单的题目，也要用尽量快捷的方法，以便赢得哪怕是几秒钟的时间。
北京市一位小同学来信对这道题的叙述提出意见：“将五次的平均成绩提高到70分以上”究竟是否包含70分？这意见提得很好。为了表达更明确，这句话应改为“将五次的平均成绩提高到最少70分。”谨向那位小同学致谢。
（10）图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。
[分析]一看到题目，当然会先试试计算黑、白两种小三角形的个数，这是很容易做到的。
[解法]
[思考]用同样的图形，可以问不少有趣的计数问题。例如：设小三角形面积为1，那么在图中面积为4（或9，或16）的三角形有多少个？你能想出简便的算法吗？
（11）下面的算式里，每个方框代表一个数字。问：这6个方框中的数字的总和是多少？
[分析]像这样类型的题目，一般都要先抓住式中的某些特点，确定其中的一、两个数字，再逐步推断其余的数，最后给出解答。
[解法1]每个方框中的数字只能是0～9，因此任两个方框中数字之和最多是18。现在先看看被加数与加数中处于“百位”的两个数字之和。这个和不可能小于18，因为不管它们后面的两个二位数是什么，相加后必小于200，也就是说最多只能进1。这样便可以断定，处于“百位”的两个数字之和是18，而且后面二位数相加进1。
同样理由，处于“十位”的两个数字之和是18，而且两个“个位”数字相加后进1。因此，处于“个位”的两个数字之和必是11。
6个方框中数字之和为18＋18＋11=47。
[解法2]被加数不会大于999，所以加数不会小于1991-999=992。同样，被加数不会小于992。也就是说，加数和被加数都是不小于992，不大于999的数。这样便确定了加数和被加数的“百位”数字和“个位”数字都是9，而两个个位数字之和必是11。
9×4+11=47。
答：总和为47。
（12）在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个？
[分析]适合要求的两位数中，个位数字小于十位数字。试将它们列出来：
十位数字个位数字
10
20，1
30，1，2
………
90，1，2，…，8
一找出规律，便很容易求出答案了。
[解法]适合要求的两位数共有
45个。
（13）有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含50％酒精的溶液。先将乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯。问这时乙杯中的酒精是溶液的几分之几？
[分析]对这类关于浓度计算的问题，只要能搞清楚溶质（这里是酒精）含量和溶液总量的变化，便很容易解决。
[解法]列出每一次变化时二杯中溶液总量和酒精含量的数值：
14）射箭运动的箭靶是由10个同心圆组成，两个相邻的同心圆半径之差等于最里面的小圆半径。最里面的小圆叫做10环，最外面的圆环叫做1环。问：10环的面积是1环面积的几分之几？
[分析]10环部分是一个圆，1环部分是一个圆环，面积都很容易计算。虽然题目没有给出各圆的半径，但因为只问面积比，所以知道各圆半径的关系便足够了。
[解法]设10环小圆半径r=1，那么1环的外圆半径是10，内圆半径是9。
10环面积=πr2=π
1环面积=π×102-π×92=19π，
[思考]如果进一步去思考，这个箭靶中还会有不少数学问题哩！例如设10环面积是1，那么很容易算出10，9，8，…，2，1环的面积依次是1，3，5，…，17，19，是一串很有规律的奇数，你能想出其中的道理吗？
华罗庚爷爷曾说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”如果你敢于思考，善于思考，光是在体育竞赛项目中，你就会发现许许多多美妙的数学问题。
（15）王师傅在某个特殊岗位上工作、他每上8天班后，就连续休息2天。如果这个星期六和星期天他休息，那么，至少再过几个星期后他才能又在星期天休息？
[分析]这个星期六和星期天休息，下次休息星期天可能有两种情况：或者在星期六和星期天休息，或者在星期天和星期一休息。我们要注意对这两种情况分别讨论。
[解法]在第一种情况，相当于每隔9天休息1天，问什么时候再休息星期天？这是求7与10的最小公倍数问题。它们的最小公倍数是70，而70÷7=10，所以要再过10周才会又在星期六和星期天休息。
在第二种情况下，假如再过n周后休息星期天和星期一，那么7n+1应是10的倍数，所以n只能是7，17，27，…，n至少是7。
综合两种情况，便能得到答案。
答：至少再过7周。
[思考]将题目略为改动一下，变成：“每上8天班连续休息3天，这个星期五、六、日休息。”其它依旧。问题便稍为复杂一些，你会解吗？
???复赛试题与解答
1．计算：
[分析]分数、小数合在一起的四则运算，是小学数学的重要训练内容，要求算得准、算得快。这个题目，是用繁分的形式给出了加、减、乘、除的混合运算，它的另一个形式是
算这个题时，要注意两点：
（1）在乘、除运算中，代分数要化为假分数，及时约分；
（2）在加、减运算中，如果分数、小数同时出现，要么都化为分数，要么都化为小数。
[解法1]
[解法2]
[注]两种方法的共同之处是在前两步中，都将乘、除运算中的带分数化
种方法的不同之处是解法1运用了乘法对加法的分配律，解法2则是采用了化简繁分式的通常方法——分子、分母乘以同一个不为零的数。这里，还要
0.375，0.625，0.875，一定要很熟悉，在具体计算时，可以节省时间。
2．某年的10月里有5个星期六，4个星期日。问：这年的10月1日是星期几？
[分析]这个题目，主要考查逻辑推理能力。解决这个题的关键是要判定：10月里的第一个星期六或者第一个星期日是10月几日？这个问题一解决，10月1日是星期几就很容易推算出来。当然，解这个题，还应当知道：10月是大月，有31天。我们知道，一年中的大月是1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月。人们会发现其中的不协调：到7月为止，都是单月为大月，但后面却突然改双月为大月了。为什么这么改呢？这里还有一段故事呢！原来，现在的历法，开始制定于古罗马时代。当时，有一个罗马皇帝，叫奥古斯特，他出生于8月，为了显示他的不平凡和尊贵，下令将8月改成大月，于是后面的双月都是大月了，这个划分一直沿用至今，在英语中，8月是August，读出来就是“奥古斯特”。
[解法1]10月有31天，而31=4×7＋3，所以，这个月有4个星期零3天。
要判定10月1日是星期几，可以先推算这个月的第一个星期六是几日：
如果10月1日是星期六，那么10月2日、9日、16日、23日、30日都是星期日，出现了5个星期日，与题设的“10月里有…4个星期日”不符，所以10月1日不是星期六。用同样的方法，可以推算出10月2日也不是星期六。
如果10月3日是星期六，那么，10月4日、11日、18日、25日是星期日，恰好有4个星期日，符合题目条件。倒推回去，可以知道10月1日是星期四。
[解法2]可以先判定10月里的第一个星期日是10月几日。请少年朋友们自己去完成。
[注]从解法1，我们可以清楚地看出来，问题的解决是以判定10月里第一个星期六是10月几日为突破口的，所使用的方法，叫做反证法，这是很重要的数学方法。少年朋友们尽可能及早熟悉这个方法。此外，还应该指出：除了判定10月里的第一个星期六或星期日是10月几日之外，也可判定第一个星期五、星期四……星期一是10月几日。
3．电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里。一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里。问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？
[分析]认真读两遍题，仔细研究一下右边的图，便不难发现：不管是红跳蚤、还是黑跳蚤，不管它们是从哪一个圆圈起跳，只要是沿着一个方向跳，每一步都跳到相邻的圆圈中，那么，一共12个圆圈，跳12步就回到开始起跳位置，又重复进行前面的过程，这样，不管它跳的步数有多么大，只要算出跳了多少圈（这个圈是指大圆圈）又多少步，就知道它落在标有数字多少的圆圈中了。当然，要注意它跳的方向。
[解]电子跳蚤每跳12步就回到了原来位置。
∵1991=165×12＋11
∴红跳蚤从标有数字“0”的圆圈出发，按顺时针方向跳了1991步时，是跳了165个12步后跳到了标有数字“11”的圆圈。
同理，由1949=165×12+5知道黑跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了162个12步后跳到了标有数字“7”的圆圈。
∴所求的乘积是11×7=77。
答：乘积是77。
[思考]电子跳蚤“每跳12步回到原来位置”，这是一种周期变化。在日常生活中有周期现象的事物还有许多，如：一周是7天，一天是24小时，一年是12个月，又如：钟摆的运动，日、月的运动等，研究周期现象，也是数学的一个重要任务呢！
这个题目，还可以变得更复杂一些，如：电子跳蚤跳步时有这样的周期性：第一步跳1个小圆圈（即到相邻圈），第二步跳2个小圆圈（即到隔1个圈的小圆圈处），第三步跳3个小圆圈（即到隔2个圈的小圆圈处），如此重复下去，……其它条件同原题一样，那么，怎么解呢？相信少年读者们能自己解决。
4．173□是个四位数字．数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
9整除？被11整除？被6整除？这里，要注意：被6整除，就是被2和3整除——一定是被3整除的偶数。
〔解〕∵能被9整除的四位数的各位数字的和是9的倍数，并且四位数173□的数字的和是
1＋7＋3+□=11+□，
□内的数字最大不超过9，
∴□内只能填7．
∵能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得到的差是11的倍数。
∴（7+□）－（1＋3）＝3＋□
应是11的倍数。
∵□内的数字最大不超过9，
∴□内只能填8。
∵能被6整除的自然数是偶数，并且数字和是3的倍数，而
1＋7＋3+□=11+□
∴□内只能填4。
7+8＋4=19
答：所求的和是19。
〔注〕这个题目中，考查了能被9，11，6整除的三类自然数的特征。下面给出能被2、4、5、7、8整除的自然数的特征：
如果自然数A能被自然数a整除，我们就写作a｜A．下面就用这个符号来说明问题——
当A的个位数字是0、2、4、6、8这五个数中的一个时，2｜A；
当A的最后两位数是4的倍数时，4｜A；
当A的个位数字是0或5时，则5｜A；
当去掉A的个位数字后得到的新数与A的个位数字的2倍的差是7的倍数时，7｜A；
当A的最后三位数是8的倍数时，8｜A。
上面这些结论，少年朋友们要尽可能记住。
5．我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？
300的自然数中的“完全平方数”，求出它们的和，再从前300个自然数的总和中减去这个和，就得到结果了。
〔解〕不超过300的完全平方数，有：
1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289．它们的和是1785。
前300个自然数的和是
45150-1785=43365．
答：剩下的自然数的和是43365。
〔思考〕上面的解法中，求前300个自然数的和，用的是少年朋友们十分熟悉的少年时代的高斯的算法。即：
如果n是自然数，那么，
1＋2＋3＋…＋298＋299＋300，当然比逐个累加要快得多了！由此，少年朋友们很容易会想到：
求12＋22＋32＋…＋152＋162＋172
有没有公式呢？
答案是：有！这就是
用这个公式算不超过300的完全平方数的和是很容易的：
这个公式的推导，只要用一个公式
（x＋1）3=x3＋3x2＋3x＋1
就可以了：在这个公式中，我们依次用1，2，3，…，n-2，n-1，n去替换x，得到n个等式
23=13+3·12＋3·1＋1
33=23＋3·22＋3·2＋1
43＝33＋3·32＋3·3＋1
……
（n－1）3=（n－2）3＋3（n-2）2＋3（n－2）＋1
n3=（n-1）3＋3（n-1）2＋3（n-1）＋1
（n＋1）3=n3＋3n2＋3n＋1
将这n个等式加起来，那么
等式的左边=13+23+33＋…＋n3＋（n＋1）3，
等式的右边包含四部分：
第一列的和是13+23＋33+…＋（n－1）3＋n3；
第二列的和是3（12＋22＋33＋…＋n2），读者已经看到，括号里正是要推导的公式的左边；
第三列的和是3（1＋2＋3+…＋n），这就是
第四列的和是n个1相加，当然得n．
根据加、减法的概念，可以得到
也就是
从这个等式中，可以得到
12+22＋32＋…+n2
6．如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？
〔解〕容器的底面积是
（13-4）×（9-4）=45（平方厘米），
高为2厘米，所以容器的体积是
45×2=90（立方厘米）．
答：容器的体积是90立方厘米。
7．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数。甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙的总环数。
题目告诉我们：
每射一箭的环数，只能是下列11个数中的一个
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。
而甲、乙5箭总环数数的积1764≠0，这说明在甲、乙5箭得到的环数里没有“0”和“10”，而
1764＝1×2×2×3×3×7×7
是由5箭的环数乘出来的，于是推知每有两箭中的环数都是“7”，从而可知另外3箭的环数是5个数
1，2，2，3，3
经过适当的分组之后相乘而得到的，读者不难分析出可能的情形有5种：
（1）1，4，9；
（2）1，6，6；
（3）2，2，9；
（4）2，3，6；
（5）3，3，4。
下面、只要根据甲、乙的总环数之差是4这一条件即可求出结果了。
〔解〕∵每人的环数的积=1764≠0，
∴两人每箭射中的环数里没有“0”和“10”．
∵每箭射中的环数都是1764的因子，而
1764=1×2×2×3×3×7×7，
并且环数是不超过10的自然数∴必有两箭是7环，其它3箭的环数是1·2·2·3·3因子。
如果最小的因子是1，那么，另外两个因子是4、9或者是6、6；
如果最小的因子是2，那么，另外两个因子是2，9或者是3、6；
如果最小的因子是3，那么，另外两个因子是3、4。
因此，两人5箭的环数有5种可能：
7，7，1，4，9，和=28；
7，7，1，6，6，和=27；
7，7，2，2，9，和=27；
7，7，2，3，6，和=25；
7，7，3，3，4，和=24；
∵甲、乙的总环数相差4，甲的总环数少，
∴甲的总环数是24，乙的总环数是28。
答：甲、乙的总环数分别是24、28。
〔注〕1990年，第十一届亚运会在我国首都北京举行，我们中国人民为此感到骄傲，全国的少年朋友们当然更是欢欣鼓舞。为了纪念这件事，第三届华杯赛主试委员会立意要编几个与体育比赛有关的题目，复赛部分的第七、八、十五题正是在这样的目的下编出来的。
8．下图中有6个点，9条线段．一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点。行进中，同一个点或同一条线段只能经过1次。这只甲虫最多有多少种不同的走法？
A出发只有3种走法，即先走AB；先走AE；先走AD。
往下，再作类似的分析，即可求解。
〔解〕从A点出发，经过的第一条线段，有3种可能（1）AB；（2）AE；（3）AD。
在每一种可能情形下，各有3种走法。所以，一共有3×3＝9种走法．
答：共有9种走法。
〔注〕这个题目已经简化了，原来出的题要复杂一些：仍是6个点，但是多了两条线段（如图）。
请少年朋友自己做吧。
9．下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
（1）同底等高的两个三角形的面积相等。
（2）平行的两条直线间的距离处处相等。
〔解〕设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是
所求的三角形可分两种情形：
（1）三角形的一边长2，这边上的高是3。这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有
2×4×4=32（个）；
（2）三角形的一边长3，这边上的高是2，这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线。其中，与（1）重复的三角形不再算入，这样的三角形有
8×2=16（个）
答：所求的三角形共48个（包括图中开始给出的三角形）．
〔注〕解这个题目，容易出现两种错误，一是“少”：如忽略了底是3、高是2的三角形，这样就少了16个；二是“多”：在计算底是3、高是2的三角形时，没有考虑其中有16个在情形（1）中已经计算了，于是得出错误结果：54．
10．已知：
求：S的整数部分。
12个分数进行通分求和，那实在是太繁了。
由于题目只要求S的整数部分，所以只要知道S在哪两个整数之间就可以了。困难在于S的分母含有12个分数，太多了！必须设法减少分数的个数！
我们发现：
之间，于是，达到了目的！
〔解〕根据“一个分数，当分子不变而分母变大时，分数值变小；如果分子不变而分母变小时，分数值变大。”这个原理，可以知道
S的整数部分是165。
〔思考〕上面的解法中，主要是运用了“放”、“缩”的思想，这个思想很有用。本题中是用来进行数值估计。下面是两个类似的题，读者自己练习：
2）请在下面等式的方框中填上相同的一个自然数，使等式成立：
11．今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明的年龄的5倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明的年龄的4倍。求：祖父今年是多少岁？
说“祖父的年龄是小明的年龄的a倍”，实际就是说“祖父与小明的年龄差是小明年龄的（a-1）倍”，因为小明的年龄是自然数，所以也就是说“祖父的年龄是a-1的倍数”，这是二．只要把握住以上这两点，这个题目就可以迎刃而解了．
〔解〕祖父的年龄比小明的年龄大，这个年龄差是不变的．
∵今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍，
∴年龄差是小明年龄的5倍，一定是5的倍数，
同理，由
“几年后，祖父的年龄是小明的年龄的5倍”，
“又过几年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4倍”，知道年龄差是4，3的倍数，所以，一定是
5×4×3=60
的倍数．而60的倍数是：60，120，…，合理的选择是60．于是，今年
小明的年龄是60÷5=12（岁）
祖父的年龄是12×6=72（岁）
答：祖父今年是72岁。
〔思考〕会代数的少年朋友，可以用列方程或方程组的方法解这个题目：
设今年小明x岁，那么今年祖父6x岁。
y年后，祖父的年龄是小明的年龄的5倍，所以
5（x＋y）=6x＋y即x=4y
又过z年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4倍，所以
4（x＋y＋z）=6x＋y＋z即2x=3y＋3z
∵祖父今年6x岁，
∴6x≤100（想一想：这个100是怎么来的？）
x=4y
∴x≥4（想一想：为什么？）
12．某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：
求这个班的学生数．
短跑达到优秀的人数中，包含了4部分人：
短跑、游泳、篮球都达到优秀的人，
短跑、游泳达到优秀但篮球没达到优秀的人，
短跑、篮球达到优秀但游泳没达到优秀的人，
短跑达到优秀但游泳、篮球没达到优秀的人。
如果要求其中一部分人，就要排除另外几部分人。
明白了上面的道理，题目就不难求解。
在具体求解时，可以运用图形，使题目中的数量关系变得直观，一目了然．
〔解〕先求至少有一个项目达到优秀的学生人数，看下面这个图：
图中时三个圆圈分别代表短跑、游泳、篮球达到优秀的学生人数，其中的
“1”表示三个项目都优秀的人数，是：2；
“2”表示篮球、游泳达到优秀，但短跑没有达到优秀的人数，是：6-2=4；
“3”表示篮球、短跑达到优秀，但游泳没有达到优秀的人数，是：5-2＝3；
“4”表示游泳、短跑达到优秀，但篮球没有达到优秀的学生数，是：6-2=4；
“5”表示只有短跑一项达到优秀的人数，是：
17-（2＋3＋4）=8；
“6”表示只有游泳一项达到优秀的人数，是：
18-（2＋4＋4）=8；
“7”表示只有篮球一项达到优秀的人数，是：
15-（2＋4＋3）=6，
∴只有一个项目达到优秀的人数是
2＋4＋3＋4＋8＋8＋6=35
还有4个人在三个项目上未达到优秀，所以全班学生数是35+4=39
答：这个班有39名学生。
〔注〕集合，是很有用的数学概念。它的一个用途就是分类。在上面的解法中，我们正是运用分类的思想将“至少有一个项目达到优秀”学生人数分为7类，从而求出了正确结果．在作分类时，应注意使任意两类没有相同的部分。
13．恰好能被6、7、8、9整除的五位数有多少个？
6、7、8、9整除，只须能被它们的最小公倍数整除，求出这个最小公倍数之后，在五位数中，即从10000到99999的自然数中，推算那个最小公倍数的倍数有多少个，即是问题的答案了。
〔解〕6、7、8、9的最小公倍数是504；
五位数中，最小的是10000，最大的是99999；
504整除的最小的五位数是
504×20=10080；
504整除的最大的五位数是
504×198=99792；
∴五位数中，能被504整除的有
（99792-10080）÷504＋1=179（个）．
答：有179个．
〔注〕解这个题目时，容易出现的错误是：以为“能被6、7、8、9整除”就必须“能被6×7×8×9=3024整除”，这样求得的结果只是正确结果的一部分。
14．计算：1-3+5-7＋9-11+…-1999+2001
3种基本思路：
（1）将题中各数的顺序变动一下，即：从第二个数开始，相邻两数交换位置，得到
1＋5-3+9-7+13－11+…＋2001-1999
可以看出在1这个数的后面是500个2的和。
（2）将加上的数，减去的数分别集中：
（1＋5+9+13＋…＋2001）-（3+7＋11＋…+1999）
（3）从代数的角度来看，原式是
（1-3）＋（5-7）+（9-11）＋…＋（1997-1999）＋2001
＝-2×500+2001＝1001
〔解〕：原式=1+（5-3）＋（9-7）+（13-11）＋…＋（2001-1999）。
从1到2001共有1001个奇数，1不在内，则有1000个奇数，上面的每个括号内都是“相邻奇数，大减小”，所以，共有500个括号，每个括号内的值都是2，所以
原式=1＋500×2=1001
15．五环图由内圆直径为8，外圆直径为10的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等．已知五个圆环盖住的总面积是112．5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率π取3．14）。
8个小曲边四边形盖住的面积就是这个整体的较小的部分，这两个部分的和就是整体。只要认识到这个关系，就很容易求解了．
〔解〕每个圆环的面积是
π（52-42）=9π，
如果五个圆环彼此没有重合的部分，则它们的总面积是
5×9π=45π
∵题设五环盖住的总面积是122．5
∴每个小曲边四边形的面积是
答：每个小曲边四边形的面积是1．1。
〔注〕题中的五环图是大家熟悉的奥林匹克运动会的标志。“奥林匹克”已经成了“在公正的条件下竞争”的代名词，华罗庚金杯少年数学邀请赛，就是奥林匹克智力运动会，她吸引了数百万少年数学爱好者。我们编这么一个小小的题目，正是为了表明这样一个意愿：要在“华杯赛”中永远弘扬奥林匹克精神，鼓励我国千百万的少年以华罗庚爷爷为榜样，以坚强的毅力，在攀登科学的道路上，永远奋进。
16．下图中8个顶点处标注的数字：a、b、c、d、e、f、g、h，
求：（a＋b+c+d）-（e+f＋g＋h）的值。
a＋b＋c+d）-（e＋f＋g＋h）中没有一个具体的数，而且只含有加减运算，在题设的条件下，如果这个式于有值的话，这个值一定是零。
〔解〕：由题设条件知道
1）＋（2）＋（3）+（4），是
2（a＋b＋c＋d）＋（e+f＋g＋h）=3（a＋b＋c＋d）
就是e+f＋g＋h=a＋b＋c＋d
∴所求的值是0。
???决赛第一试
〔分析与讨论〕这一题如果直接计算，需要先通分，公分母很大，最后还要约分．所以应该寻找像上面这样较简捷的算法．
2．说明：360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？
〔解〕360=2×2×2×3×3×5，所以360的任何一个约数都等于至多三个2（可以是零个，下同），至多两个3和至多一个5的积。如果我们把下面的式子
（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）
展开成一个和式，和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。由前面的分析不难看出，360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。由于第一个括号里有4个数，第二个括号里有3个数，第三个括号里有2个数，所以这个展开式中的加数个数为4×3×2=24，而这也就是360的约数的个数。另一方面，360的所有约数的和就等于这个展开式的和，因而也就等于
（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）
=15×13×6=1，170
答：360的约数有24个，这些约数的和是1，170。
〔分析与讨论〕把360的24个约数都列出来的做法是相当费时间的，因而是不可取的。有的同学先把这些约数分类，例如按能否被2，4或8整除来分类，这样可以简化一些。如果再考虑能否被3，9或5整除，即考虑所有质数幂因数，那就可以最终简化成上面的方法了。这是数论中常用的一种技巧。
3．观察下面数表（横排为行）：
在这一行中，它位于由左向右的第几个？
2，第二行的每个数的分子、分母之和等于3，…，第五行的每个数的分子、分母之和等于6．由此可以看到一个规律，就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1。
其次，很明显可以看出，每行第一个数的分母是1，第二个数的分母是2，…，即自左起第几个数的分母就是几。
4．将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明．
2块．画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块（增加了2块），否则只能划分成3块．类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同（即没有3条直线交于一点），则将圆形纸片划分成7块（增加了3块），否则划分的块数少于7块．下图是画3条直线的各种情形
由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同．这时增加的块数等于直线的条数。（为什么？）这样划分出的块数，我们列个表来观察：
直线条数纸片最多划分成的块数
11＋1
21＋1＋2
31+1+2+3
41+1＋2+3+4
51＋1＋2+3+4+5
……
不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。（为什么？）我们把问题化为：自第几行起右边的数不小于50？我们知道
1+1+2+3＋…＋10＝56，1+1＋2＋3＋…＋9=46，可见第9行右边还不到50，而第10行右边已经超过50了。
答：至少要画10条直线。
5．某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时．这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，更立刻上车驶向学校，在下午2点40分到达．问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？
A是学校，B是工厂，C是汽车和劳模相遇的地点．
2倍．汽车从A到C用了40分种÷2＝20分钟，而劳模从1点钟开始步行，从B走到C一共用了1小时+20分钟=80分钟，是20分钟的4倍。这就是说，劳模走汽车的一半路程，用了4倍于汽车的时间．因此汽车的速度是劳模步行速度的4×2=8（倍）
答：汽车速度是劳模步行速度的8倍。
6．在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子．一个同学进行这样的操作：从黑子开始，按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚．当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？
995枚白子．下一次取走黑子后面一个子（即顺时针方向第一个子）．由于995是奇数，第二圈操作最后取的仍是黑子前面的一个子，（为什么？）共
=249枚白子，还剩下248枚白子．由于248是偶数，第四圈操作最后取走黑
答：圆周上还剩下124枚白子。
〔分析与讨论〕在上面的讨论中我们看到了这样的规律：除第一圈操作取走白子的一半外，以后每圈操作有两种可能情形：
甲）若白子数是奇数，则取走棋子数的一半，且不取走黑子；
乙）若白子数是偶数，则取走白子数的一半，并且最后取走黑子。
这样我们只需要依次检查每圈操作后剩下的白子数就行了。有兴趣的同学不妨试做下面几个问题：
1）若先从黑子起按顺时针方向数200个棋子，再开始每隔一枚取走一枚的操作，答案应该是什么？
2）若把1990换成2046，答案应该是什么？
3）若改为每隔两枚棋子取走一枚，答案应该是什么？
下向一个问题就难些了：
4）在黑子取走后仍继续操作，最后剩下的棋子是哪一枚？
??决赛第二试
1．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。
〔解〕如果自然数n是某一个自然数m的平方，即n=m2，则称自然数n为完全平方数。
从约数的性质可知：具有奇数个约数的自然数一定是完全平方数。从360到630的自然数中，完全平方数为361，400，441，484，529，576和625。因此这7个完全平方数即为所求。
答：它们分别是361，400，441，484，529，576和625。
〔分析〕我们简要说明一下，为什么具有奇数个约数的自然数一定是完全平方数。
设a是自然数n的约数。根据约数的性质可知有自然数b使得n=a×b。因此b也是n的约数。
当a≠b时，a与b成对出现。因此共有偶数个约数．按题意n有奇数个约数，因此必定有一个约数a使得a=b，也就是说，n＝a×a=a2，这就证明了n必为完全平方数。
2，四边形ABCD被AC和DB分成甲，乙，丙，丁4个三角形。
已知：BE=80cm．CE=60cm，DE=40cm，AE=30cm．
问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？
〔解〕由三角形面积公式可知：同高的两个三角形的面积之比等于底边长之比．
从三角形BDA可知：甲∶丁=80∶40=2∶1，
从三角形BDA可知：乙∶丁=60∶30=2∶1，因此
甲+乙=4×丁．
再由三角形BCA可得丙∶甲=60∶30=2∶1，所以
丙=2×甲=4×丁．
由此可得
（丙+丁）∶（甲+乙）=5丁∶4丁=5∶4。
问：a除以13所得余数是几？
1〕用试除的方法可知：199119911991可以被13除尽。原数a有1991个1991。因为1991除以3余2，所以a与19911991除以13所得余数相同。容易看出：19911991除以13余8，因此a除以13的余数也是8。
答：a除以13所得余数为8。
〔解法2〕充分利用自然数同余的性质。
我们先注意1001是13的倍数，同样8008也是13的倍数，而9999=1991＋8008，所以9999与1991除以13所得余数相同。利用同一理由可知：数
与数a同余，因此只要求b除以13的余数就可以了。
我们可以将b改写成
111111=1001×111
能被13除尽。而（1991×4）除以6所得余数为2，所以数b与99同余。容易看出99除以13余8，所以b除以13也余8，也就是说，a除以13余8。
4．某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男、女生各自的平均成绩是75．5分、81分。问：这个班男、女生人数的比是多少？
78分，而男生平均成绩为75．5分，因此每个男生比平均分少（78-75．5）分，而每个女生比平均分多（81-78）分。
男生总共少的分数应该等于女生总共多的分数，所以有（78-75．5）×男生数=（81-78）×女生数移项可得男生数：女生数=（81-78）∶（78-75．5）=6∶5
答：男女生人数比为6∶5。
〔分析与讨论〕此题当然也可以用代数方法去解，其基本想法是一样的。同学们可以试一试，看看有什么相同和不同的地方。
5．某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面。当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在位置相同时，它们就被看作是同一种积木块。试说明：最多能涂成多少种不同的积木块？
按题意，每种颜色各涂两个面，因此我们可以根据同一颜色的两个面所处的位置将所有积木块分成以下儿种不同的情形。
（Ⅰ）同色的两个面均为相对面，即红红相对，黄黄相对，蓝蓝相对．
这种情形只有一种。其理由是：首先可以将红色面放在顶面和底面的位置上，然后．可以将黄色面放在正面和背面的位置上，这样，左面和右面就只是蓝色面了。冈为所有这样的积木（同色面相对）都可以放成上面这种位置，所以只有1种。
（Ⅱ）3种颜色中有两种颜色，其同色的两面为相对面。
这时，第三种颜色的两个面也必然相对，因此这就是第一种情形。
（Ⅲ）3种颜色中，只有1种领色的两个面为相111对面。
这种情形共有3种不同的积木块。理由如下：
首先不妨设红色的两个面为相对面。将这两个面置于顶面和底面，这样4个侧面就为黄色和蓝色，并且同1种颜色的两个面相邻。我们通过适当的转动，总可以将黄色面放在正面和右面，而蓝色面放在左面和背面，因此只有1种积木块。
但是相对的面也可能黄色或蓝色，因此又各有1种积木块，显然这3种积木块是不相同的（因为任何转动都不能将相邻面变成相对面，也不能将相对面变成相邻面），所以共有3种不同的积木块。
（Ⅳ）最后一种情形，每种颜色的两个面均为相邻面。
这种情形有两种不同的积木块。这是比较困难的一种情形。
首先我们可以看出积木块的3组相对面的颜色只能是（红、黄），（红、蓝），（黄、蓝）。为了使积木块固定不动。我们先通过适当转动使得顶面为红色，底面为黄色。然后再将侧面适当转动使得正面为红色，背面为蓝色，这样积木块就不能再动了。这时积木的左面和右面可以分别是黄色和蓝色，也可以是蓝色和黄色，这代表了两种不同的积木块．
总结上述讨论，总共有6种不同的积木。
答：共有6种不同的积木块．
〔分析与讨论〕这是在决赛题中大家认为比较难的一道题，只有一个同学给出了比较满意的解答。也有一些同学的思路接近正确的解答．
同学们以往可能很少碰到这类问题，特别是在书本上很少接触到．但是在日常生活中肯定已多次见过类似的情况，只是没有太留心罢了．
例如：工厂生产的钢珠，一般只以直径来区分。同一直径的都看成一种，而并不关心放成什么位置。同样道理，一盒乒乓球总是看成一样的．
球是最简单的图形，而立方体则是比球稍稍复杂一点的图形，也是可以“翻来倒去”的．
这道题的主要目的是看看同学们的空间想象力，这是数学中最基本的能力之一．如果在每个参赛的小朋友面前放一个积木块．让大家看着实物做，也许会有不少小朋友能得到正确的答案，但凭空想象就难多了。
有兴趣的同学们不妨找一些旧木块（或旧纸盒子），自己在桌上摆摆看，一边摆一边想，对提高空间想象力是颇有好处的．
在弄明白了这道题以后，如果再有兴趣，可以将题目中的限制“每色各涂两个面”这句话去掉，也就是说，每种颜色涂的面数不限，问有多少种不同的积木块？
祝你成功！
6．一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7公里。从早晨7点开始，有18列货车由第十一站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都是每小时60公里。早晨8点，由第一站发出一列客车，向第十一站驶去，时速是100公里。在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站。问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇？
就会遇到一列货车。若客车在某两个相邻站A和B之间遇到3列货车，那么
由于A和B相距7公里，客车和其中第一列货车相遇的地点与A站的距离不
面已经没有3列货车了）。
7的倍数就行了。（为什么？）我们可以依次计算货车的列数n（按发车次序）和客车遇到货车时与前一站的距离S（公里）：
车了，不可能再与3列货车相遇。
答：在第五、六两站之间，客车与3列货车相遇。
〔解法2〕我们考虑客车在到达各站时，与前方各列货车的距离．由于货车的速度是客车的60％，在客车从某一站A行驶到下一站B时（行驶7公里），各列货车行驶了7公里×60％=4．2公里．因此，在客车到达A站时，客车前方11．2公里以内的各列货车，在客车到达B站前都能与客车相遇．若在A站和B站间客车遇到3列货车，那么其中第三列与A站的距离至多为11．2公里而与其中第一列货车的距离为5公里×2=10公里，所以其中第一列货车与A站的距离不超过11．2公里-10公里=1．2公里。反过来，若客车在到达A站时前方1．2公里以内有一列货车，则客车在到达B站前一定能遇到3列货车。我们可以把客车到达各站时与前方第一列货车的距离列一个表，表中第一行是车站编号，第二行是客车与前方第一列货车的距离（公里）
1234567891011
无3.82.61.40.242.81.6无无
这个表的规律是：第二行除第一个数外，每个数等于它前面一个数加上一个5的倍数再减11．2。（为什么？）其中有两个数小于1．2，相应的站分别为第5站和第9站。但客车在到达第九站时前方只有1列货车了，故只能在第五、六两站之间3列货车相遇。
答：在第五、六两站之间，客车与3列货车相遇。
〔分析与讨论〕（1）我们可以将各相邻站间与客车相遇的货车列数标在表上，其中第一行是车站编号，第二行是与客车相遇的货车列数。
1234567391011
1222322220
（2）本题也可以这样解：考虑客车与各列货车相遇的时间，以及客车到达各站的时间，从中找到规律，并讨论客车到达各站后再过多少时间与前方第一列货车相遇，等等．这个解法与第一种解法在原理上相近，但计算更复杂些．
（3）在第一种解法里，若将客车遇到货车时与前一站的距离乘以8，得到的都是整数。这些整数可以这样得到：将货车的列数加1，再乘以25，然后除以56，所得的余数就是该货车所对应的整数．（为什么？）因此，本题就化成这样的问题：
找一个25的倍数，它除以56的余数不大于6。
在第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛第十二题的解法中，我们也可以看到这样的问题．
????团体决赛口试
1．一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道红条，如图阴影所示部分，红条宽都是2厘米。问：这条手帕白色部分的面积是多少？
〔解法〕我们可以这样想：把竖的两个红条位置平行挪动一下，使它们紧贴在一起，再移到紧贴正方形的右端边上；把横的两个红条也做同样的位置挪动，但它们是紧贴在正方形下端边上，如下图所示。这样挪动红条后所得图形的白色部分的面积不变。这时白色部分的面积一目了然，它等于边长为14厘米的正方形面积，即196平方厘米。
答：这条手帕白色部分的面积是196平方厘米。
〔讨论〕此题解法很多，比如：
（1）先算正方形手帕面积，再减去4条红条盖住的部分面积。
（2）可以想象手帕上的9个小白色部分都是一样大小的正方形，求出其中一个面积，再乘以9便是答案。
同学们可以比较各种解法，看一看哪一个更巧妙些。
2．伸出你的左手，从大拇指开始如图所示的那样数数字，1，2，3，……，问：数到1991时，你数在那个手指上？
〔解法〕按所给的规则数数字，数到1991时，数在哪个手指上？解此题需要精于推理和计算，找出规律，算出结果．比如，数在大拇指上的数字规律是1，9，17，25……．这是一串被8除余1的数．1991除以8余7，所以1991数在中指上。
答：1991这个数数在中指上．
〔讨论〕还有其他的算法，请同学们找一找，比较一下．
3．有3个工厂共订300份吉林日报，每个工厂订了至少99份，至多101份。问：一共有多少种不同的订法？
〔解法〕此题关键在于对题目的理解，题目理解清楚了，解法不难．为叙述方便起见，不妨设这3个厂为甲、乙、丙厂．我们从分析甲厂订报情况入手，甲厂只有3种订法：99份、100份和101份．
（1）如果甲厂订99份，那么，乙厂有100份和101份两种订法，丙厂随之而定．所以，这种情况下，3个厂有两种订法．
（2）如果甲厂订100份，那么乙厂有99份、100份和101份3种订法，丙厂随之而定．所以，这种情况下，3个厂有3种订法．
（3）如果甲厂订101份，那么，乙厂有99份和100份两种订法，丙厂随之而定．所以，这种情况下，3个厂有2种订法．
综合上述分析，3个厂共有2＋3＋2=7种订法。
答：总共有7种不同的订法．
〔讨论〕此题在抢答场上抢答者没答对，台下参赛的小朋友也没答对，这是出人意料之外的。这可能首先是因为对问题的理解不够清楚。像这样的实际问题，在思考分析时，往往还要经过数学的抽象。虽然是很简单的抽象，但很重要，只有在这种抽象的基础上，才便于逻辑推理。我们常见到对某问题的叙述，人们常说“换句话说，它就是……”。这实际上是把某问题的叙述，抽象成大家所熟悉的模式，再在此基础上去思考分析它。本题若换成这样的说法：把300元钱分给甲、乙、丙3个人，每人至多得101元至少得99元，问共有多少种不同的分法？也许同学们觉得容易理解多了，就是这个道理。
4．图上有两条垂直相交的直线段AB、CD，交点为E．已知：DE=2CE，BE=3AE．
在AB和CD上取3个点画一个三角形。问：怎样取这3个点，画出的三角形面积最大？
〔解法〕在两条线段上取3个点，如果这3个点在同一条线段上，那么它们不能画出一个三角形。因此，本题要在两条线段上取3个点画出一个三角形，必是两个点在一条线段上，另一点在另一条线段上。
如果两个点是取在AB上，那么CD上除E点外，任何一点都能与这两点组成一个三角形，其中面积最大者必是D点。也就是说在AB上任意取两点，CD上必是D点与它们画成的三角形面积最大．因此D点就确定了。一旦D点确定，AB上取两点与D点组成三角形中面积最大者必是两个端点A和B。结论是如果两个点是取在AB上，所取的3个点，必是A、B和D，它们画出的三角形面积最大（几何直观上，这是很清楚的）。
同样，如果两个点是取在CD上，所取的3个点，必是C，D和B。
现在只要比较三角形ABD和三角形CDB的面积大小了。
CDB面积＞三角形ABD面积。
答：取C，D，B3个点画出的三角形面积最大．
5．图上有两个红色的圆，两个蓝色的圆，红色圆的直径分别是1992厘米和1949厘米，蓝色圆的直径分别是1990厘米和1951厘米。问：红色二圆面积大还是蓝色二圆面积大？
〔解法〕把蓝色的大小圆分别盖在红色的大小圆上，使圆心与圆心重合．我们立即发现：
①红色大圆面积比蓝色大圆面积大一个圆环。
②红色小圆面积比蓝色小圆小一个圆环。
③这两个圆环宽一样，都是2厘米。
显然，大圆环比小圆环面积要大，因此红色的面积比蓝色的面积要大．
答：红色的面积比蓝色的面积大。
〔讨论〕在理论研究和应用研究中，常常会遇到估值判断问题．这就是一道小小的估值判断题．本题直接计算的方法是不可取的。这里强调“巧”，巧估值，巧在既要直观又快，而且要使人确信所得判断绝对无误．
6．在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如a=5＋3=8．问：填入的81个数字中，奇数多还是偶数多？
〔解法〕自然数和的奇偶性：
奇数+奇数=偶数；
偶数+偶数=偶数；
奇数+偶数=奇数；
因此，第一行填的数中偶数比奇数多1外，
第二行填的数中偶数比奇数少1个，
第三行填的数中偶数比奇数多1个，
第四行填的数中偶数比奇数少1个，
……
可见，前8行中奇数和偶数的个数一样多，而第九行偶数多。所以，81个数字中偶数多。
答：填入的81个数字中，偶数的个数多。
7．能不能在下式：
1□2□3□4□5□6□7□8□9=10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？
〔解法〕在一个只有加减法运算的自然数式子中，如果把式于中减法运算改成加法运算，那么所得结果的奇偶性不变。因此无论在给出的式子每个方框中怎样填加减号，所得结果的奇偶性，与在每个方框中都填入加号所得的结果的奇偶性一样。但是，每个方框中都填入加号所得结果是45，是个奇数。而式子的右边是10，是个偶数。也就是说从奇偶性上判断，要使题中式子成立是不可能。
8．把一个时钟改装成一个玩具钟，使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈．开始时3针重合。问：在时针旋转一周的过程中，3针重合了几次？（不计起始和终止的位置）．
〔解法〕我们先看时针和分针重合的情形。
假设时针和分针第一次在B点重合。从开始到重合，时针走了路程AB，而分针走了一圈后又走了AB。已知分针速度是时针速度的16倍．因此AB
这两组刻度的公共点就是三针重合的位置，不难看出，它们就是
因此，3针共重合了4次。
答：在时针旋转一周的过程中，3针共重合了4次．
9．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分成3组，分别计算各组数的和。已知这3个和互不相等，且最大的和是最小的和的2倍。问：最小的和是多少？
〔解法〕这8个数的总和为36，已知三组数的和各不相同。所以介于中间的和数比最小的和数大又比最大的和数小。又已知最大的和是最小的和的
只能是8。
答：最小的和为8。
10．这是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上。问：共有多少种不同的放法？
〔解法〕对于黑子每一种确定的位置，白子都有6个不同的放法。而黑子总共有12个不同位置，所以共有
12×6=72
种不同的放法。
11．这是两个圆，它们的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90％．问：大圆的面积是多少？
〔解法〕大圆周长=2πR
小圆周长=2πr
因为两圆周长之比=0.9，
所以两圆半径之比也是0.9，
因此小圆与大圆的面积之比是0.81．已知两圆面积之和=1991平方厘米，所以大圆面积为1991÷1.81=1100（平方厘米）
答：大圆的面积是1100平方厘米。
〔讨论〕有的同学用代数方法做这道题，假设大圆间积为X，由此上分析得小圆面积为0.81X，所以
X+0.81X=1991
1.81X=1991
X=1100
这与以上解法基本上一致。
〔讨论〕这道题如果用减法去做，那就不胜其繁了。这里又一次强调了“妙”字。
13．这是一个楼梯的截面图，高2.8米，每级台阶的宽和高都是20厘米。问：此楼梯截面的面积是多少？
〔解法〕如果把楼梯截面补成如图所示的矩形，那么，此矩形高2.8米，宽3米。它的面积恰好是所求截面的2倍。所以楼梯截面面积为
〔讨论〕（1）用以上方法求解要细心，有的同学思路上对了，答案却是3.92平方米．问题出在补上一块不是原截面一样大的面积，他补成了一个边长为2.8米的正方形。算答案时，仍取正方形面积的一半，所以错了。
（2）有的同学利用高斯求和法，从上到下一阶一阶的算，其和为
这也是比较好的方法．
6个不同的自然数，分别填入6个方框中，使这个等式成立。
〔解法〕本题有许多不同的解答，要写出所有解答当然不是一件容易的事，但只求一组解并不困难．举例如下：
由此可知
答：3，4，6，9，12，18为所求的一组自然数。
例2，利用下列等式
2，4，8，16，24，48为符合条件的一组自然数．
〔分析与讨论〕本题是求6个不同的自然数，我们也可以问下列更一般的问题：
对于k＞3，求k个不同的自然数，使得它们倒数的和等于1．
当k=3时，只有一组解（2，3，6）．我们给它一个证明：
设不同的3个自然数为a，b和c，使得
不妨设a＜b＜c．首先a必须为2（a=2），
否则就有3＜a＜b＜c
b=3，所以c=6．
当k=4时有以下6个解：
（2，3，7，42），（2，3，8，24），（2，3，9，18）
（2，3，10，15），（2，4，5，20），（2，4，6，12）可以证明也只有以上6组解，有兴趣的同学可以试一试。证明过程要用到上届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题解析，决赛一试第七题〔分析和讨论〕中的一个结果（参看《第二届“华罗庚金杯’少年数学邀请赛试题解析》，中国少年报编，海燕出版社出版，P95）：
x，y，z为自然数，求x，y，z的一般形式。
k＞5时，解就更多了，在此我们不再讨论它了。
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